Matrizes

Hiron Pereira Farias

Friday, February 03, 2017

Hiron Pereira Farias Matrizes Friday, February 03, 2017 1 / 13

Introdução

Uma matriz é um arranjo retangular de números denominados entradas,que uma matriz de m linhas e n colunas é dita de tamanho m × n e que onúmero de linhas é sempre escrito em primeiro lugar. Em geral, utilizamosletras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotarentradas.

Assim, uma matriz m × n qualquer pode ser denotada por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

.

Quando queremos uma notação mais compacta, podemos escrever

A = [aij ]m×n ou A = [aij ]

onde a primeira notação é utilizada quando importar o tamanho da matriz ea segunda quando o tamanho é irrelevante.

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Introdução

Uma matriz é um arranjo retangular de números denominados entradas,que uma matriz de m linhas e n colunas é dita de tamanho m × n e que onúmero de linhas é sempre escrito em primeiro lugar. Em geral, utilizamosletras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotarentradas. Assim, uma matriz m × n qualquer pode ser denotada por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

.

Quando queremos uma notação mais compacta, podemos escrever

A = [aij ]m×n ou A = [aij ]

onde a primeira notação é utilizada quando importar o tamanho da matriz ea segunda quando o tamanho é irrelevante.

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Introdução

Uma matriz é um arranjo retangular de números denominados entradas,que uma matriz de m linhas e n colunas é dita de tamanho m × n e que onúmero de linhas é sempre escrito em primeiro lugar. Em geral, utilizamosletras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotarentradas. Assim, uma matriz m × n qualquer pode ser denotada por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . . ...am1 am2 . . . amn

.

Quando queremos uma notação mais compacta, podemos escrever

A = [aij ]m×n ou A = [aij ]

onde a primeira notação é utilizada quando importar o tamanho da matriz ea segunda quando o tamanho é irrelevante.

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Matrizes importantes

Se A é uma matriz m × n ,então a matriz transposta de A , denotada porAT , é a matriz n ×m obtida transformando as linhas de A em colunas; ouseja, a primeira coluna de AT , é a primeira linha de A , a segunda colunade AT é a segunda linha de A, e assim por diante.

Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz soma A+B é amatriz obtida pela soma das entradas de A com as entradascorrespondentes de B.

Se A é uma matriz e c um escalar, então a matriz produto cA é a matrizobtida multiplicando cada entrada de A por c.

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Matrizes importantes

Se A é uma matriz m × n ,então a matriz transposta de A , denotada porAT , é a matriz n ×m obtida transformando as linhas de A em colunas; ouseja, a primeira coluna de AT , é a primeira linha de A , a segunda colunade AT é a segunda linha de A, e assim por diante.

Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz soma A+B é amatriz obtida pela soma das entradas de A com as entradascorrespondentes de B.

Se A é uma matriz e c um escalar, então a matriz produto cA é a matrizobtida multiplicando cada entrada de A por c.

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Matrizes importantes

Se A é uma matriz m × n ,então a matriz transposta de A , denotada porAT , é a matriz n ×m obtida transformando as linhas de A em colunas; ouseja, a primeira coluna de AT , é a primeira linha de A , a segunda colunade AT é a segunda linha de A, e assim por diante.

Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz soma A+B é amatriz obtida pela soma das entradas de A com as entradascorrespondentes de B.

Se A é uma matriz e c um escalar, então a matriz produto cA é a matrizobtida multiplicando cada entrada de A por c.

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Matriz Quadrada

Uma matriz com n linhas e n colunas é dita matriz quadrada de ordem ne dizemos que as entradas a11, a22, . . . , ann formam a diagonal principal damatriz.

Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por tr(A), é asoma das entradas na diagonal principal de A .

Uma matriz quadrada cujas entradas na diagonal são iguais a 1 e as demaisentradas são nulas é dita uma matriz identidade. Denotamos uma matrizidentidade pela letra I, a menos sque seja importante dar seu tamanho,quando então escrevemos In para matriz identidade n × n

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Matriz Quadrada

Uma matriz com n linhas e n colunas é dita matriz quadrada de ordem ne dizemos que as entradas a11, a22, . . . , ann formam a diagonal principal damatriz.

Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por tr(A), é asoma das entradas na diagonal principal de A .

Uma matriz quadrada cujas entradas na diagonal são iguais a 1 e as demaisentradas são nulas é dita uma matriz identidade. Denotamos uma matrizidentidade pela letra I, a menos sque seja importante dar seu tamanho,quando então escrevemos In para matriz identidade n × n

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Matriz Quadrada

Uma matriz com n linhas e n colunas é dita matriz quadrada de ordem ne dizemos que as entradas a11, a22, . . . , ann formam a diagonal principal damatriz.

Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por tr(A), é asoma das entradas na diagonal principal de A .

Uma matriz quadrada cujas entradas na diagonal são iguais a 1 e as demaisentradas são nulas é dita uma matriz identidade. Denotamos uma matrizidentidade pela letra I, a menos sque seja importante dar seu tamanho,quando então escrevemos In para matriz identidade n × n

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Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanhoque A tal que AB = BA = I, dizemos que A é inversível ou não-singular eque B é uma inversa. Se não existir uma matriz B com essaspropriedades,dizemos que A é não-invertível ou singular.

Se A é uma matriz invertível e se B e C são ambas inversas de A entãoB = C , ou seja , uma matriz invertível tem uma única inversa.

Como uma matriz invertível só pode ter uma única inversa, denotamos ainversa de uma matriz invertívelA por A−1. Assim,

AA−1 = I e A−1A = I

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Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanhoque A tal que AB = BA = I, dizemos que A é inversível ou não-singular eque B é uma inversa. Se não existir uma matriz B com essaspropriedades,dizemos que A é não-invertível ou singular.

Se A é uma matriz invertível e se B e C são ambas inversas de A entãoB = C , ou seja , uma matriz invertível tem uma única inversa.

Como uma matriz invertível só pode ter uma única inversa, denotamos ainversa de uma matriz invertívelA por A−1. Assim,

AA−1 = I e A−1A = I

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Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanhoque A tal que AB = BA = I, dizemos que A é inversível ou não-singular eque B é uma inversa. Se não existir uma matriz B com essaspropriedades,dizemos que A é não-invertível ou singular.

Se A é uma matriz invertível e se B e C são ambas inversas de A entãoB = C , ou seja , uma matriz invertível tem uma única inversa.

Como uma matriz invertível só pode ter uma única inversa, denotamos ainversa de uma matriz invertívelA por A−1. Assim,

AA−1 = I e A−1A = I

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Inversa de uma matriz 2 x2

A =[

a bc d

]é invertível se, e somente se,

ad − bc 6= 0

e, nesse caso, a inversa é dada pela fórmula.

A−1 = 1ad − bc

[d −b−c a

]=

dad − bc

−bad − bc−c

ad − bca

ad − bc

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Links

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Para baixar o programa R na web o clique aqui R

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• Download R for Linux• Download R for (Mac) OS X• Download R for Windows

R is part of many Linux distributions, you should check with your Linux package management system in addition to the link above.

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Windows and Mac users most likely want to download the precompiled binaries listed in the upper box, not the source code. The sources have to be compiled before you can use them. If you do not know what this means, you probably do not want to do it!

• The latest release (Monday 2016-10-31, Sincere Pumpkin Patch) R-3.3.2.tar.gz, read what's new in the latest version.

• Sources of R alpha and beta releases (daily snapshots, created only in time periods before a planned release).

• Daily snapshots of current patched and development versions are available here. Please read about new features and bug fixes before filing corresponding feature requests or bug reports.

• Source code of older versions of R is available here.

• Contributed extension packages

Questions About R

• If you have questions about R like how to download and install the software, or what the license terms are, please read our answers to frequently asked questionsbefore you send an email.

What are R and CRAN?

R is ‘GNU S’, a freely available language and environment for statistical computing and graphics which provides a wide variety of statistical and graphical techniques: linear and nonlinear modelling, statistical tests, time series analysis, classification, clustering, etc. Please consult the R project

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Please do not submit binaries to CRAN. Package developers might want to contact Duncan Murdoch or Uwe Ligges directly in case of questions / suggestions related to Windows binaries.

You may also want to read the R FAQ and R for Windows FAQ.

Note: CRAN does some checks on these binaries for viruses, but cannot give guarantees. Use the normal precautions with downloaded executables.

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Frequently asked questions

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Please see the R FAQ for general information about R and the R Windows FAQ for Windows-specific information.

Other builds

• Patches to this release are incorporated in the r-patched snapshot build.• A build of the development version (which will eventually become the

next major release of R) is available in the r-devel snapshot build.• Previous releases

Note to webmasters: A stable link which will redirect to the current Windows binary release is<CRAN MIRROR>/bin/windows/base/release.htm.

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Para ter acesso ao tutorial do R clique [Apostila] (file:///E:/Documents/ESALQ/verao_2017/Landeiro-Introducao.pdf)

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Bibliografias

ANTON, W; BUSBY, R. C.Álgebra linear contemporânea

1. ed.,Porto Alegre: Bookman, 2006.

FERREIRA, D.F.Estatística multivariada

1. ed.,Lavras: Ed. UFLA, 2008.MANLY, B. J. F.Métodos estatísticos multivariados: Uma introdução.3. ed.,Porto Alegre: Bookman, 2008.

MINGOTI, S. A.Análises de dados através de métodos de estatísticosmultivariada: Uma abordagem aplicada.1. ed.,Belo Horizonte: ed. UFMG, 2005.SILVA, A. R.Métodos de análise multivariadaem R.1. ed.,Piracicaba: ed. FEALQ, 2005.Hiron Pereira Farias Matrizes Friday, February 03, 2017 13 / 13