Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá

FEG - UNESP

Departamento de Engenharia Civil

Momentos de Inércia

Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil

Guaratinguetá

Outubro de 2009

Momentos de Inércia

1. Introdução e Definições

Ao analisarmos a distribuição de forças ou tensões em elementos

estruturais, como vigas e seções transversais, é comum encontramos um

tipo de integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de

área. Essa integral é chamada Momento de Inércia ou Momento de

Segunda Ordem, tal que o momento de inércia tem usos na análise

estrutural, mecânica dos fluidos entre outros.

Para exemplificar, vamos considerar uma viga sob ação de momento M e

tensão, tal que as forças aplicadas estão comprimindo a viga, conforme

mostrado na figura.

Considerando que a força aplicada esteja a uma

altura y do eixo x, temos que,

R

R

A

R

A

dF kydA

F dF

F kydA

F k ydA

A integral A

ydA se refere ao centro de gravidade

da viga, isso, ao momento estático, tal que,

0

RF k ydA

y

Conforme visto, temos que a viga está em equilíbrio de forças, analisando o

momento que atua na viga,

2

2

A

A

M ydF

M ky dA

M k y dA

Portanto, conforme falado anteriormente,temos uma integral que relaciona o

quadrado da posição com o elemento de área, isso é o momento de Inércia.

Nos resta definir esse conceito de momento de inércia.

Seja a área A, situada no plano xy, definimos como momento de inércia de um

elemento de área dA, em relação aos eixos xy, como sendo 2

xdI y (em

relação ao eixo x) e 2

ydI x (em relação ao eixo y). Portanto integrando as

funções, temos que,

2

x

A

I y dA (em relação ao eixo x)

2

y

A

I x dA (em relação ao eixo y)

Podemos expressar o momento de inércia de outras formas, na forma polar ou

na forma de integral dupla.

Forma Polar

A forma polar é usada quando se quer analisar barras sob torção ou elementos

estruturais que tendam a ter torção.

Para o cálculo do momento de inércia polar,

consideraremos os eixos xy, tal que, o elemento

de área dA, está distante de da origem.

Conforme visto o momento de inércia relaciona o

quadrado da posição com o elemento de área.

Como a posição é , temos que, o momento de

inércia polar, 0J ,

2

0

A

J dA

Mas, se quisermos relacionar as posições em x,y, temos que,

2 2 2

2

0

2 2

0

2 2

0

A

A

A A

x y

J dA

J x y dA

J x dA y dA

Como as integrais são o momento de inércia em relação a x e y,

0 x yJ I I

O momento polar de inércia é, portanto, a soma dos produtos de inércia em

relação aos eixos x e y.

Forma de Integral Dupla

Uma forma de determinarmos o momento de inércia é usarmos integrais

duplas, sendo que, esse processo é usado quando tivermos uma região

definida no plano, como em figuras geométricas (como triângulos, quadrados e

outros).

Para tanto, consideremos, a região limitada por {( , ) | 0 ,́0 ´}D x y x x y y ,

sendo x´ pode ser função de y ou um ponto na região e y´ pode ser função de x

ou um ponto na região, tal que,

´´

2

0 0

´´

2

0 0

yx

x

yx

y

I y dxdy

I x dxdy

Exemplo 1.1

Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em

relação ao eixo x.

Repostas

Como a base é b e a altura é h, temos que a região

é {( , ) | 0 ,0 }D x y x b y h , portanto, o momento de inércia em relação ao

eixo x é,

2

0 0

2

0 0

3

0

3

1

3

1

3

b h

x

b h

x

b

x

x

I y dxdy

I y dy dx

I h dx

I bh

Então, um retângulo qualquer tem momento de inércia(em relação ao eixo x),

31

3xI bh

Exemplo 1.2

Determinar o momento polar de inércia para uma seção circular de raio r.

Respostas

Podemos considerar um elemento circular, distante do centro, tal que, a

distância desse elemento percorre do centro até o a distância do raio r e

considerando que o ângulo percorrido é de 2 . Temos que, a região é

{( , ) | 0 ,0 2 }D r , portanto,

2

2

0

0 0

r

J dA

Usando o jacobiano (transformação de sistema de

coordenadas), temos que,

2

2

0

0 0

2

3

0

0 0

2

4

0

0

4

0

. .

. .

.

1

4

12

4

r

r

dA d d

J d d

J d d

J r d

J r

4

04

J r

2. Teorema dos Eixos Paralelos

Quando queremos determinar o momento de inércia, muitas vezes é

necessário analisarmos o momento de inércia em uma geometria particular

do elemento estrutural, visto que normalmente, os momentos de inércia são

calculados tendo como referencial eixos traçados usando o centróde. Para

termos práticos, o teorema dos eixos paralelos é usado para o cálculo do

momento de inércia quando temos translação de eixos coordenados.

Para o cálculo do momento de inércia usando o elemento de área dA,

localizado em (x´,y´) tendo como referencial o centróide que dista d da

origem.

A localização do elemento dA é, portanto,

( ´ , ´ )dA x x y y

Para o momento de inércia em relação a x,

temos que, o elemento de momento de inércia

é,

2

´xdI y y dA

O momento de inércia, portanto, é,

2

22

22

´

´ 2. .́

´ 2 ´

x

A

x

A

x

A A A

I y y dA

I y y y y dA

I y dA y y dA y dA

Como ´A

y dA é o momento estático de x´ em relação ao centróide, mas

como, x´ passa no centróide temos que o momento estático é 0, portanto,

22´x

A A

I y dA y dA

Como a primeira integral é o momento de inércia de x´ em relação ao

centróide, temos que,

2

´x xI I Ay

Podemos deduzir analogamente as expressões para o momento de inércia em

relação a y,

2

´y yI I Ax

Na forma polar, analogamente, a expressão deve manter a forma, portanto,

temos a expressão,

2

0 CJ J Ar

3. Raio de Giração

Definimos como raio de giração de uma área A, em relação a um eixo x,

conhecido o momento de inércia em relação a esse eixo, temos que,

2

2

x x

xx

I i A

Ii

A

xx

Ii

A

Para o eixo y, temos a expressão,

y

y

Ii

A

Se for conhecido o momento polar de inércia, temos a expressão para o raio de

giração,

00

Ji

A

Exercícios

Definições

1) Determine o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h,

em relação ao eixo x´ do centróide (considere o eixo x´, o

eixo que passa pelo centro de gravidade, como

mostrado).

(Resposta: 3´

1

12xI bh ¨)

2) Determine o momento de inércia para um triângulo de base b e altura h

em relação ao eixo x.

(Resposta: 3´

1

12xI bh )

Figura 1 - Problema 1

3) Determine o momento polar de inércia de um semi círculo de raio r.

(Resposta: 4

0

1

4J r )

4) Determine o momento polar de inércia de uma elipse com pólo medindo

a e vértice (semi eixo menor) b e pólo (semi eixo maior) a em relação ao

centro.

(Resposta: 2 2

0

1( )

4J ab a b )

5) Determine o momento de inércia da figura mostrada, em relação ao eixo

x e ao eixo y.

(Resposta: 3

21x

abI e

3

5y

a bI )

Teorema dos Eixos Paralelos

6) Determine o momento de inércia da área abaixo da curva na figura

mostrada em relação ao eixo y.

(Resposta: 6 49,25.10yI mm )

7) Determine os momentos de inércia da figura mostrada em relação

ao baricentro, considerando que 2 x yI I e que o momento polar

de inércia no ponto A é 6 422,5.10AJ mm .

(Resposta: 6 41,5.10xI mm e 6 43.10yI mm )

8) Determine o momento polar de inércia da figura mostrada em relação ao

centro O e ao centróide.

(Reposta: 6 4150,5.10 mm e 6 431,8.10 mm )

Figura 2 - Problema 5

Figura 3 - Problema 6

Figura 5 - Problema 7 Figura 4 - Problema 8

Raio de Giração

9) Determine o momento polar de inércia de um triângulo eqüilátero de lado

a e o seu raio de giração em relação a um dos vértices.

(Resposta: 4

0

7 3

96J a e 2

0

7

24i a )

10) Determine o momento polar de inércia e o raio polar de giração na

figura mostrada em relação ao ponto médio do menor lado e do

maior lado.

(Resposta: 4

0 0

17 17,

6 12J a i a e 4

0 0

4 2,

3 3J a i a )

Figura 6 - Problema 10