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Caderno de AtividadesTecnologia em Gestão de Recursos Humanos

Disciplina Matemática

Coordenação do CursoJefferson Levy Espindola Dias

AutoraProfª. Ivonete Melo de Carvalho

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© 2012 Anhanguera PublicaçõesProibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma. Diagramado no Brasil 2012.

Como citar esse documento:

CARVALHO, Ivonete Melo de. Matemática. Valinhos, p. 1-128, 2012.

Disponível em: <www.anhanguera.com>.

Acesso em 01/02/2012

Chanceler

Ana Maria Costa de Sousa

Reitora

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Coordenadora de Controle Didático-Pedagógico EAD

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Núcleo de Produção de Conteúdo e Inovações Tecnológicas

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Coordenadora de Processos Acadêmicos

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Coordenadora de Ambiente Virtual

Lusana Verissimo

Coordenador de Operações

Marcio Olivério

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Glossárioza b

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Leitura Obrigatória

Agora é a sua vez

Vídeos

Links Importantes

Ver Resposta

Finalizando

Referências

Início

Legenda de Ícones

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Desde sua fundação, em 1994, os fundamentos da “Anhanguera Educacional” têm sido o principal motivo do seu crescimento.

Buscando permanentemente a inovação e o aprimoramento acadêmico em todas as ações e programas, ela é uma Instituição de Educação Superior comprometida com a qualidade do ensino, pesquisa de iniciação científica e extensão.

Ela procura adequar suas iniciativas às necessidades do mercado de trabalho e às exigências do mundo em constante transformação.

Esse compromisso com a qualidade é evidenciado pelos intensos e constantes investimentos no corpo docente e de funcionários, na infraestrutura, nas bibliotecas, nos laboratórios, nas metodologias e nos Programas Institucionais, tais como:

· Programa de Iniciação Científica (PIC), que concede bolsas de estudo aos alunos para o desenvolvimento de pesquisa supervisionada pelos nossos professores.

· Programa Institucional de Capacitação Docente (PICD), que concede bolsas de estudos para docentes cursarem especialização, mestrado e doutorado.

· Programa do Livro-Texto (PLT), que propicia aos alunos a aquisição de livros a preços acessíveis, dos melhores autores nacionais e internacionais, indicados pelos professores.

· Serviço de Assistência ao Estudante (SAE), que oferece orientação pessoal, psicopedagógica e financeira aos alunos.

· Programas de Extensão Comunitária, que desenvolve ações de responsabilidade social, permitindo aos alunos o pleno exercício da cidadania, beneficiando a comunidade no acesso aos bens educacionais e culturais.

A fim de manter esse compromisso com a mais perfeita qualidade, a custos acessíveis, a Anhanguera privilegia o preparo dos alunos para que concretizem seus Projetos de Vida e obtenham sucesso no mercado de trabalho. Adotamos inovadores e modernos sistemas de gestão nas suas instituições. As unidades localizadas em diversos Estados do país preservam a missão e difundem os valores da Anhanguera.

Atuando também na Educação a Distância, orgulha-se de oferecer ensino superior de qualidade em todo o território nacional, por meio do trabalho desenvolvido pelo Centro de Educação a Distância da Universidade Anhanguera - Uniderp, nos diversos polos de apoio presencial espalhados por todo o Brasil. Sua metodologia permite a integração dos professores, tutores e coordenadores habilitados na área pedagógica com a mesma finalidade: aliar os melhores recursos tecnológicos e educacionais, devidamente revisados, atualizados e com conteúdo cada vez mais amplo para o desenvolvimento pessoal e profissional de nossos alunos.

A todos bons estudos!

Prof. Antonio Carbonari NettoPresidente do Conselho de Administração — Anhanguera Educacional

Nossa Missão, Nossos Valores

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Sobre o Caderno de AtividadesCaro (a) aluno (a),

O curso de Educação a Distância acaba de ganhar mais uma inovação: o caderno de atividades digitalizado. Isso significa que você passa a ter acesso a um material interativo, com diversos links de sites, vídeos e textos que enriquecerão ainda mais a sua formação. Se preferir, você também poderá imprimi-lo.

Este caderno foi preparado por professores do seu Curso de Graduação, com o objetivo de auxiliá-lo na aprendizagem. Para isto, ele aprofunda os principais tópicos abordados no Livro-texto, orientando seus estudos e propondo atividades que vão ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos das aulas. Todos estes recursos contribuem para que você possa planejar com antecedência seu tempo e dedicação, o que inclusive facilitará sua interação com o professor EAD e com o professor-tutor a distância.

Assim, desejamos que este material possa ajudar ainda mais no seu desenvolvimento pessoal e profissional.

Um ótimo semestre letivo para você!

José Manuel Moran

Diretor-Geral de EADUniversidade Anhanguera – Uniderp

Thais Sousa

Diretora de Desenvolvimento de EAD Universidade Anhanguera – Uniderp

Caro Aluno,

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Este roteiro tem como objetivo orientar seu percurso por meio dos materiais disponibilizados no Ambiente Virtual de Aprendizagem. Assim, para que você faça um bom estudo, siga atentamente os passos seguintes:

1. Leia o material didático referente a cada aula.

2. Assista às aulas na sua unidade e depois disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem para você; (sugestão: Assista às aulas na sua unidade e também no Ambiente Virtual de Aprendizagem).

3. Responda às perguntas referentes ao item “Habilidades” deste roteiro.

4. Participe dos Encontros Presenciais e tire suas dúvidas com o tutor local.

5. Após concluir o conteúdo dessa aula, acesse a sua ATPS e verifique a etapa que deverá ser realizada.

Caro Aluno,Este Caderno de Atividades foi elaborado a partir do livro Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, de Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto, Editora Cengage, 2012, Livro-Texto 59.

Roteiro de Estudo

Profª. Ivonete Melo de Carvalho Matemática

ícones:

CONCEITO DE FUNÇÃO

Tema 1

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Conteúdos e HabilidadesConteúdo

Nesta aula, você estudará:

• Os elementos que antecedem a função: produto cartesiano e relações binárias.

• Leis de formação e funções propriamente ditas.

• A representação gráfica das funções.

• Propriedades fundamentais das funções: raízes, sentido de crescimento, representação gráfica.

Habilidades

Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Para que as funções são utilizadas no campo de atuação da matemática?

• Que tipos de gráficos fazem parte do seu cotidiano?

• Quais são as informações que podem ser obtidas a partir da análise de tabelas e gráficos?

AULA 1

Assista às aulas nos polos presenciais e também disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem para você.

Controladoria – Controle e Gerenciamento

Para que você possa se apropriar do conceito de funções da maneira correta e consistente, este material apresenta um resumo a respeito da Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos, que são a base da Teoria de Funções. Além disso, será realizada uma introdução ao estudo de funções, incluindo


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a definição de alguns conceitos pertinentes a este universo.

Teoria dos Conjuntos

De acordo o Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa (FERREIRA, 1986), conjunto é “qualquer coleção de seres matemáticos”. Para a matemática, conjunto é qualquer coleção de objetos bem definidos.

A partir dessa definição, é possível dizer que uma caixa de lápis de cor é um conjunto cujos elementos são lápis de cor; uma cesta de frutas é um conjunto cujos elementos são frutas; um álbum é um conjunto de fotografias.

Conjuntos são formados por elementos. Exemplo: A = {a, e, i, o, u}. Elementos pertencem – ou não – a conjuntos. Exemplos: (o elemento a pertence ao conjunto A); (o elemento b não pertence ao conjunto A). Outra forma de representar conjuntos é por meio dos Diagramas de Venn (balões). Veja os exemplos:

Os conjuntos podem receber denominações. Esses nomes podem ser aleatórios quando os conjuntos são estudados sem rigor matemático: guarda-roupa, cômoda, baú, cesto, entre outros. Matematicamente falando, conjuntos serão sempre denominados por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, e assim por diante.

Da mesma forma, os elementos podem ser denominados com nomes comuns: peças de roupas, brinquedos, frutas; ou, matematicamente, sempre utilizando letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c, e assim por diante.

Para determinar um conjunto, há duas possibilidades: (1) citando (ou enumerando) cada um de seus elementos. Exemplo: ou (2) descrevendo as características dos elementos que o compõem. Exemplo: A = {três principais raças que formam o povo brasileiro}.

Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Conjunto universo é o conjunto formado pela totalidade dos elementos de uma mesma categoria.

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Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.

Conjunto vazio é aquele que não tem elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou ø.

Dados dois conjuntos A e B, pode acontecer que todos os elementos de A sejam também elementos de B. Nesse caso, considera-se que A está contido em B ( A ⊂ B ) ou que B contém A ( B ⊃ A), ou seja, A é subconjunto de B.

São propriedades dos conjuntos:

1. Todo conjunto está contido em si mesmo.

2. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.

Se A é subconjunto de B, pode-se definir que:

• Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto chamado de complementar de A em relação a B e representado por: .

• Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que também pode ser designado como sendo a diferença B – A.

Dados dois conjuntos quaisquer, pode-se definir:

• União como sendo o conjunto formado por todos os elementos que formam o conjunto A e o conjunto B.

• Interseção como o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A e B.

• Diferença: considerando B ⊂ A , diferença é o conjunto formado por todos os elementos que estão no conjunto A e não estão em B.

• Complementar de A em relação a B: é o conjunto formado por todos os elementos que estão no conjunto A e não estão em B.

O número de elementos de um conjunto A denomina-se cardinal do conjunto A e é representado por n(A).

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).

Conjuntos dos Números Naturais

Números naturais exprimem a ideia de quantidade e são representados por símbolos especiais: os algarismos. Os dez algarismos formam a base decimal de numeração.

O conjunto dos números naturais é ordenado do menor para o maior elemento. É possível representá-lo

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utilizando uma reta ordenada:

Quanto mais à direita, maior é o número; quanto mais à esquerda, menor é o número.

Operações com Números Naturais

As operações que podem ser realizadas com números naturais são: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As seguintes propriedades operatórias devem ser observadas: comutatividade, associatividade, distributividade, cancelamento e elemento neutro. O resultado de qualquer operação envolvendo números naturais será sempre um número natural.

A seguir, observe algumas características dos números naturais que devem ser sempre lembradas.

Outras Propriedades Importantes Sobre Números Naturais

Um número natural é primo quando for divisível por ele mesmo e pelo número 1.

Número composto é aquele que admite divisão exata por mais de um número primo.

Decompor em fatores primos ou fatorar um número natural significa escrever o número dado na forma de um produto em que todos os fatores são números primos.

Divisores de um número natural são números naturais que dividem exatamente o número dado. O máximo divisor comum de um conjunto de números naturais é definido como o maior entre os divisores comuns dos números tomados.

O algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessivas) é um dos métodos para determinar o MDC (máximo divisor comum). Esse método consiste em dividir o maior pelo menor número. Se a divisão for exata, o MDC é o menor entre os dois números. Caso contrário, a divisão deve ser realizada até a obtenção do resto zero.

Veja os exemplos:

120 80 40 60 40 20 90 20 1040 1 2 20 10 2 10 40 2

0 0 0

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Para determinar os múltiplos de um número natural, basta multiplicá-lo por outro número natural.

Mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor entre os múltiplos de dois, ou mais, números naturais. Para calcular o mínimo múltiplo comum (MMC), basta decompor os números envolvidos em fatores primos. O MMC é formado pelo produto de todas as potências, com os maiores expoentes, que compõem os números dados. Veja, no exemplo a seguir, o cálculo do MMC (120, 90, 80, 60):

120, 90, 80, 60 260, 45, 40, 30 230, 45, 20, 15 215, 45, 10, 15 215, 45, 5, 15 35, 15, 5, 5 35, 5, 5, 5 51, 1, 1, 1

MMC (120, 90, 80, 60) = 24.32.5 = 720

Conjunto dos Números Inteiros

Os números inteiros também exprimem a ideia de quantidade, mas vão além disso, pois relacionam a quantidade a um determinado referencial.

Historicamente, o surgimento do conjunto dos números inteiros relativos relaciona-se aos primeiros livros de registros contábeis; débitos e créditos são um excelente caminho para esclarecer “negativo” e “positivo”.

As principais características do conjunto dos números inteiros são:

• Os números precedidos pelo sinal “+” são denominados “números inteiros positivos”. Os números precedidos pelo sinal “–” são denominados “números inteiros negativos”.

• O conjunto formado pelos inteiros positivos, inteiros negativos e o zero denomina-se “conjunto dos números inteiros” e é representado pela letra Z. Tal qual o conjunto dos números naturais, Z também é ordenado do menor para o maior elemento. Comparando o conjunto dos números naturais com o conjunto dos números inteiros, pode-se concluir que N ⊂ Z .

Módulo de um número inteiro: é denominada de módulo ou valor absoluto de um número inteiro, a distância entre esse número e a origem (o zero).

Representa-se o módulo por duas barras verticais.

Propriedade:

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A =a,a ≥ 0−a,a,0⎧⎨⎩

Dois números são opostos (simétricos) quando possuem o mesmo módulo.

Operações com Números Inteiros

As operações que podem ser realizadas com números inteiros são as mesmas realizadas com os números naturais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As seguintes propriedades operatórias devem ser observadas para essas operações: comutatividade, associatividade, distributividade, cancelamento e elemento neutro.

Conjunto dos Números Racionais

Um número é dito racional quando é da forma pq, peq ∈ Z,q ≠ 0..

As principais características do conjunto dos números racionais são: os números precedidos pelo sinal “+” são denominados “números racionais positivos”. Os números precedidos pelo sinal “–” são denominados “números racionais negativos”. O conjunto formado pelos racionais positivos, racionais negativos e o zero é chamado de conjunto dos números racionais e representado pela letra Q.

Tal qual o conjunto dos números naturais e inteiros, Q também é ordenado do menor para o maior elemento.

Comparando o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros com o conjunto dos números racionais, pode-se concluir que N ⊂ Z ⊂ Q.

Assim como nos números inteiros, os racionais admitem o cálculo do módulo.

Operações com Números Racionais

As operações que podem ser realizadas com números racionais são as mesmas realizadas com os números naturais e inteiros: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As seguintes propriedades operatórias devem ser observadas para essas operações: comutatividade, associatividade, distributividade, cancelamento e elemento neutro. A seguir, relembre algumas características especiais a respeito de operações com frações e decimais:

Para adicionar e subtrair frações com denominadores iguais, o denominador deve ser conservado e os numeradores devem ser adicionados/subtraídos. Se os denominadores forem diferentes: (1) calcula-se o MMC; (2) as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador: (3) os numeradores devem ser adicionados/subtraídos.

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Na multiplicação de frações, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. Para dividir duas frações: a primeira fração deve ser conservada e multiplicada pela segunda fração invertida.

Raízes e potências devem ser aplicadas tanto ao numerador quanto ao denominador.

Exemplos:

• Adição ou subtração: 45+23=3*4+2*5

15=12+1015

=2215

• Multiplicação: 83* 14=812

=23

• Divisão: 12+13=12* 31=32

• Potenciação: 23⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

=22

32=49

• Radiciação: 827

3 =83

273=23

Para adicionar e subtrair decimais, é necessário colocar vírgula embaixo de vírgula e completar as casas decimais com zeros. Para multiplicar decimais, a multiplicação é efetuada de forma convencional: contam-se as casas decimais dos fatores e aplica-se o número de casas decimais obtido no produto. Para dividir dois decimais, primeiramente, os números de casas decimais do dividendo e divisor são igualados, as vírgulas são desprezadas e a divisão é efetuada normalmente.

Outra característica importante do conjunto dos números racionais é o fato de ele ser formado por todos os números naturais, inteiros, fracionários propriamente ditos, decimais finitos e dízimas periódicas.

Conjunto dos Números Reais

A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é chamada de conjunto dos números reais (não revisto nesta unidade).

Operações com Números Reais

As operações que podem ser realizadas com números racionais são as mesmas realizadas com os demais: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As seguintes propriedades operatórias devem ser observadas para essas operações: comutatividade, associatividade,

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distributividade, cancelamento e elemento neutro.

Em seguida, serão listadas as propriedades de potenciação e radiciação, que facilitarão seu trabalho:

Potenciação: é o produto de fatores iguais an = a*a*...*a .

Propriedades operatórias:

a0=1 a1=a am.an=am+n

am:an=am-n (am)n=amn (a.b)n = an.bn

ab⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟n

=an

bn amn = amn a−n = 1

an

Radiciação: é a operação inversa da potenciação. Propriedades operatórias:

an = b⇔ bn = a a.bn = an . bn ab

n =an

bn

amn = an.m an.mn = am an . am = am+nn.m

Hierarquia das operações: numa expressão numérica, sempre devem ser resolvidos, em primeiro lugar, os operadores especiais: parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem; depois, potências e radicais (da esquerda para a direita); a seguir, multiplicações e divisões, da esquerda para a direita; e, por último, adições e subtrações, também da esquerda para a direita.

Funções – caso geral

Antes da introdução sobre o conceito formal de funções, as estruturas matemáticas que suportam tal teoria serão abordadas. Acompanhe, a seguir, o conceito de produto cartesiano e relação binária entre os elementos de dois conjuntos.

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Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. É chamado de produto cartesiano de A por B (indicado como A x B) o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que a ∈ A e b ∈ B .

AxB = a,b( ),a ∈ A e b ∈ B{ }Se A ou B forem vazios, o produto A x B também será vazio.

Propriedades:

Se A ≠ B⇒ A x B ≠ B x ASe n(A) = n e n(B) = m n(A x B) = n*m.

Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio A x B é infinito.

Par Ordenado

Ao selecionar, ao acaso, um elemento de cada um dos conjuntos estudados, é formado um par.

Par é todo conjunto formado por dois elementos. Ampliando esse conceito, pode-se falar de par ordenado que, segundo Iezzi et al. (1991, p. 65), pode ser assim determinado: “Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha (a, b) = (c, d) a = c e b = d”.

A representação gráfica do par ordenado se dá por intermédio do plano cartesiano.

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si, no ponto 0.

Veja a figura:

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Entre o conjunto dos pontos P do plano e o conjunto de pares ordenados (xP, yP), existe uma correspondência biunívoca, isto é, cada ponto corresponde a um único par e cada par corresponde a um único ponto.

Relações Binárias

Uma relação binária é um subconjunto do produto cartesiano. É representada por R: “R é uma relação binária de A em B se, e somente se, R ⊂ A x B .”

Conforme Iezzi e Murakami (1994): “[...] utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas:

A = conjunto de partida ou domínio da relação R.

B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R”.

Funções

Função é uma relação binária na qual todo elemento do primeiro conjunto (domínio) deve formar par, mas cada elemento deve formar um único par.

Para verificar graficamente se uma relação binária é, ou não, uma função, basta verificar se as retas x = a, , encontram, sempre, o gráfico da relação em um único ponto.

Para indicar uma função, será utilizada uma entre as seguintes notações:

f :A→ B A f⎯→⎯ B f :A→ Bt.qx f(x)

ou

x f(x)

ou

y = f(x)

“Se (a,b) ∈ f(...) , o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, e indicamos: f(a) = b que se lê ‘f de a é igual a b’” (IEZZI; MURAKAMI, 1994, p. 85).

Domínio e Imagem

Conforme Iezzi e Murakami (1994, p. 88-90): “Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x ∈Apara os quais existe y ∈ B tal que (x,y)∈ f” ”. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, o Domínio é igual ao conjunto de partida.

Imagem é o subconjunto do contradomínio (conjunto de chegada).

Zeros ou Raízes de uma Função

Zero de uma função real (ou raiz da função) é todo número x cuja imagem é nula, isto é, x é o zero de y ⇔ f(x) = 0.

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Crescimento e Decrescimento de Funções

Seja f: A→ B

xy = f(x)

F é crescente se:

Sendo x1, x2 ∈ A, tem-se: x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Gráfico inclinado para a direita (a curva sobe da esquerda para a direita).

Considera-se que f é decrescente se:

Sendo x1, x2 ∈ A, tem-se: x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

Gráfico inclinado para a esquerda (a curva desce da esquerda para a direita).

Composição de Funções

De acordo com Di Pierro Netto et al. (1979, p. 129):

Sejam A, B e C conjuntos não vazios dados e mais as funções f :A→B e g :B→C .

A cada elemento X ∈ A está associado um único elemento Y ∈ B pela função f, isto é, y= f(x) ; a cada elemento y∈B está associado um único elemento Z∈C pela apli-cação g, isto é, Z=g(y). Desse modo, a cada elemento x∈A está associado um único elemento z∈C, Z=g(y) = g(f(x)); temos, pois, uma função h de A em C.

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A nova função h : A → C será indicada por g º f(leia-se “g bola f”), isto é,

h : A → C

h : x (g º f)(x) = g(f(x))

Repete-se: h é a composta de g e f.

Veja o exemplo: seja f(x) = 3x+2 e g(x) = x2-1. Escreva f(g(x)): :

Resolvendo:

f(g(x)) = 3(g(x)) + 2 = 3(x2-1)+2= 3x2 - 3 + 2 = 3x2 - 1

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INSTRUÇÕES

Para uma aprendizagem eficaz, é imprescindível estudar sistematicamente.

Para alcançar esse objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória”, que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para a solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

A Matemática é, certamente, a disciplina escolar mais simples por possuir um conjunto de regras que, basicamente, nunca se alteram, embora tentem complicá-la mais do que o necessário. Ela nasceu de problemas práticos da vida do homem e deve atendê-lo nos mais diferentes aspectos de sua vida.

Leia e resolva o problema proposto em seguida sem se preocupar com o rigor matemático; depois, resolva os demais, utilizando as ferramentas abordadas na “Leitura Obrigatória”.

Situação-problema: Para ajudar nas despesas de casa, Mariana resolveu produzir bombons para vender na escola. Por experiência, ela sabe que, para produzir 20 bombons caseiros, gasta, em média, R$ 25,00, entre chocolate, recheio e embalagem, considerando outros elementos, tais como água, gás, eletricidade (geladeira). Considerando o preço de venda de cada bombom de R$ 2,50, quantos ela deverá produzir e vender se quiser lucrar R$ 1.200,00 em um mês?

Agora é com você! Responda às questões a seguir para conferir o que aprendeu!


Questão 1 (IEZZI et al, 1990, adaptado) Sendo o conjunto universo o conjunto dos Estados do Brasil e sendo:

A = {x | x é o Estado onde a língua oficial é o alemão}.

B = {x | x é o Estado onde não existem praias}.

C = {x | x é o Estado banhado pelo Oceano Pacífico}.

D = {x | x é o Estado cujo nome começa pela letra T}.

Atribua V (verdadeiro) ou F (falso) e identifique a alternativa correta:

I. A é vazio. II. B é unitário. I I I . C é vazio. IV. D é unitário.

a) V – V – V – V.

b) F – V – V – V.

c) V – F – V – V.

d) V – V – F – F.

e) F – F – F – F.

Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Agora é a sua vez

21

Questão 2 Simplificando as expressões a seguir pelo uso das propriedades de potência, a alternativa correta é:

a)24*23*2=2048 b)

52

55=125

c) (-1)0 = -1

d)

34⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟2

=169

e)

−13

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3

=127


Questão 3Resolva as seguintes equações exponenciais. A única alternativa correta é:

a) 4 x = 2⇒ x = 2

9x = 13⇒ x = 3

9x = 81⇒ x = 92x = 32⇒ x =1625x = 5⇒ x = 0.5

b)

c) d)

e)


Questão 4 Sejam as funções de R em R definidas por f(x) = 3 – 2x e g(x) = 2x – 1. Determine o valor de f(g(3)):

a) – 12.

b) – 7.

c) – 1.

d) 2.

e) 3.


Questão 5 A função y = –2x:

a) É decrescente.

b) É crescente.

c) É constante.

d) Cresce e decresce.

e) Decresce e cresce.


Questão6 Determine, em cada caso, a função inversa.

a) y = x+ 15

22

b) y =2

2x −1Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão 7 Elabore tabelas com cinco pares ordenados cada uma e, depois, represente graficamente as seguintes funções:

a) y-x+2=0

b) y=x2+2x-8


Questão 8 Determine x, sabendo que n(A) = x+1, n(B) = x e n(AxB) = 6


Questão 9 Dados A={1,2,3,4,5,6} e B = {0,2,4,6,8}, determine R1 = {(x,y) ∈ A x B / y = x - 1}


Questão 10 Com base nas tabelas elaboradas no exercício 7, determine:

a) A função y - x + 2 = 0 é crescente, decrescente ou constante?

b) A função y = x2 +2x - 8 é crescente, decrescente ou constante para valores de x maiores do que 1?


23

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

• Acesse o site do INEP. Disponível em: <www.inep.gov.br>. Acesso em: 11 jul. 2012. Contém exercícios do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), gabaritos e comentários de professores.

• Acesse o site do Prof. Paulo Marques. Disponível em: <http://www.paulomarques.com.br>. Acesso em: 11 jul. 2012. O site apresenta o trabalho do Professor Paulo Marques que, há alguns anos, inovou a discussão de testes de vestibular por meio de sua página pessoal, na

Nesta aula, você estudou a Teoria dos Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Produto Cartesiano, Relações Binárias e a definição ampla de Funções. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Cartesiano: refere-se ao trabalho desenvolvido por Renée Descartes para a Teoria das Funções.

Plano Cartesiano: anteparo para representar funções.

Ponto: representação gráfica do par ordenado.

Caro aluno, agora que o conteúdo desta aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!

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FINALIZANDO

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GLOSSÁRIO

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FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

Tema 2

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• A lei de formação da função do primeiro grau.

• Obtenção da função de primeiro grau.

• A representação gráfica da função do primeiro grau.

• A raiz da função do primeiro grau.

• Algumas aplicações da função de primeiro grau.

Habilidades


• O consumo de combustível do meu carro poderia ser expresso como função do primeiro grau?

• Se eu trabalhasse no comércio, como poderia aproveitar os conceitos de oferta e procura de produtos ou serviços?

• Eu seria capaz de construir uma função que expressasse a capacidade de produção dos funcio-nários da minha empresa?

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AULA 2


Função do Primeiro Grau

Para que você possa se apropriar do conceito de funções do primeiro grau da maneira correta e con-sistente, será apresentado um resumo a respeito desta teoria, com a definição de alguns conceitos e ferramentas importantes para esse estudo.

Denomina-se de função do primeiro grau toda expressão do tipo y=ax + b com a, b∈R . São exemplos de funções do primeiro grau:

y = 3x+4; y=2x+8; y=-x-3; y= 0.5x-3; y= 34

x; y=4

As funções de primeiro grau são classificadas de acordo com os valores de a e b:

• Se a e b são ambos diferentes de zero, esta é uma função afim.

• Se a é diferente de zero e b igual a zero, esta é uma função linear.

• Se a é igual a 1 e b igual a zero, esta é uma função identidade.

• Se a é igual a zero e b diferente de zero, esta é uma função constante.

Domínio, Contradomínio e Imagem da Função do Primeiro Grau

A função do primeiro grau não apresenta restrições naturais: tanto o domínio como o contradomínio são representados pelo conjunto dos números reais, ou seja, . Como para todo valor real de x, da fun-ção de primeiro grau, existirá um correspondente y também real, a imagem da função de primeiro grau também é real, ou seja, .

Vale ressaltar que, no caso da função constante, embora o domínio seja real, a imagem será dada por Im = K, em que K é o valor de b.


26

Gráfico:

O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta. Quando o coeficiente a = 0 reta horizontal (paralela ao eixo x) passando por y=b. Quando o coeficiente a for positivo (a > 0) reta inclinada para cima. Quando o coeficiente a for negativo (a < 0 ) reta inclinada para baixo.

Observe os exemplos a seguir:

• Construa o gráfico da função y = 3x + 2. Note que o coeficiente a = 3, ou seja, (a > 0) reta inclinada para cima (função crescente).

• Construa o gráfico da função y = -x + 1. Observe que o coeficiente a = –1, ou seja, (a < 0) reta inclinada para baixo (função decrescente).

•Construa o gráfico da função y = 3. Observe que escrever y = 3 é o mesmo que escrever y = 0x + 3. Note que o coeficiente a = 0, ou seja, reta horizontal passando por y = 3 (função constante).

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Zeros ou Raízes da Função de Primeiro Grau

É chamado de zero ou raiz da função de primeiro grau o valor de x que torna y = 0 (f(x) = 0) .

Assim, tem-se:

f (x) = 0⇒ ax+b = 0⇒ ax −b⇒ x = − ba

Exemplo: determine a raiz da função y 2x + 6.

2x+6 = 0⇒ 2x = −6⇒ x = −62⇒ x = −3

Crescimento e Decrescimento

Quando a > 0, a função é crescente. Quando a < 0, a função é decrescente. Quando a = 0, a função é constante.

Aplicações de Funções

As aplicações mais comuns da teoria de funções para os cursos de administração e áreas correlatas são o estudo de: demanda, oferta, custo, receita, lucro ou prejuízo e ponto (preço e quantidade) de equilíbrio.

Demanda de Mercado

“Demanda ou procura de mercado de uma utilidade (bem ou serviço) a um determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos os compradores do mercado estão dispostos (e aptos) a comprar, num determinado período de tempo” (MEDEIROS, 1999).

A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o mercado pode absorver é

28

chamada de função demanda de mercado. A representação gráfica desta função é chamada curva de demanda.

Observação importante: como esse conceito está relacionado a preços e quantidades, não faz sentido trabalhar com valores negativos ou com o zero; logo, preço e quantidade são grandezas estritamente positivas. Para estudar a função demanda, é preciso ter em mente que tanto domínio quanto imagem devem ser sempre positivos.

Veja o exemplo:

Suponha que a demanda de um produto (vendido em pacotes de 1 arroba cada um) seja dada por y=4000 - 50x, em que y representa a demanda e x o preço de venda. Nessas condições, determine: o intervalo de variação do preço desse produto e o intervalo de variação da quantidade demandada. A seguir, elabore a curva de demanda deste produto e, por fim, determine a demanda para um preço igual a R$ 40,00 o pacote e verifique o melhor preço para que sejam vendidos 3.500 pacotes do produto. Observe a resolução deste problema por etapas:

• Intervalo de variação do preço desse produto: lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos, pode-se afirmar que 4000 - 50x > 0 ⇒ 4000 > 50x ⇒ 80>x, ou seja, o preço não pode ultrapassar R$ 80,00, portanto, o intervalo de variação do preço é dado por: 0 < x 80.

• Intervalo de variação da quantidade demandada: lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos e invertendo a função demanda, tem-se x = 400− y

50 . Lembrando, ainda, que o

preço máximo não deve exceder R$ 80,00 (item anterior), pode-se afirmar que

0 < 4000− y50

< 80⇒ 0 < 4000− y < 4000(*−1)⇒ 0 > y− 4000 > −4000 ⇒ 4000 > y > 0, ou seja, a quanti-dade não pode ultrapassar 4.000 unidades do produto, portanto, o intervalo de variação é dado por:

0 < y < 4000 .• Elaboração da curva de demanda:

passo para y: 1000 em 1000, passo para x: 10 em 10.

• A demanda para um preço igual a R$ 40,00:y = 4000−50.40 = 4000−2000 = 2000

29

A demanda é de 2.000 unidades de produto se o preço for R$ 40,00.

• O preço para que sejam vendidos 3.500 pacotes do produto: 3500 = 4000−50x ⇒ 50x = 500 ⇒ x =10Para que sejam vendidas 3.500 unidades do produto, o preço deve ser igual a R$ 10,00.

Oferta de Mercado“Oferta de mercado de uma utilidade (bem ou serviço) a um determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos os produtores do mercado estão dispostos (e aptos) a vender, num determinado período de tempo” (MEDEIROS, 1999).A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o mercado deseja oferecer é chamada de função oferta de mercado. A representação gráfica desta função é chamada curva de oferta.Tanto quanto preço e demanda, a oferta, por tratar-se de quantidade, também é função cujo domínio e cuja imagem serão sempre positivos.

Ponto (preço e quantidade) de equilíbrioPreço e quantidade de equilíbrio são aqueles para os quais demanda e oferta coincidem. Graficamente, observa-se que o ponto de equilíbrio é ponto de intersecção entre a curva de oferta e a curva de demanda.

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Agora é a sua vezINSTRUÇÕES



PONTO DE PARTIDA

Lembre-se de que o domínio da matemática abrirá muitas portas para você!


Situação-problema: José trabalha há alguns meses na loja de seu avô e percebeu que determinada mercadoria, cujo preço vinha sendo reduzido, teve aumentada a quantidade vendida. José percebeu que, a cada real a menos no preço, a venda aumentava em 10 produtos. Você seria capaz de escrever a equação da demanda para auxiliar José?



Questão 1 A raiz da função y 4x + 5 é:

a) 0.

b) 1.

c) 1,25.

d) 1,5.

e) 2.


Questão 2 Leia com atenção as afirmações e identifique a alternativa correta:

I. O gráfico da função do primeiro grau será sempre uma reta.

II. Dependendo do valor do coeficiente “a” da expressão , a função será crescente, decrescente ou constante.

III. A função é inclinada para baixo porque representa uma função crescente.

a) Somente I é verdadeira.

b) Somente II é verdadeira.

c) Somente III é verdadeira.

d) Somente I e II são verdadeiras.

e) Todas são verdadeiras.


31

Questão 3Um dos pares ordenados apresentados a seguir não pertence à função y = 3x - 2. Identifique-o.

a) (1, 1).

b) (2, 2).

c) (3, 7).

d) (5, 13).

e) (10, 28).


Questão 4 A equação da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (4, 5) é:

a) y = 3x + 1.

b) y = 3x + 5.

c) y = 2x - 1

d) y = 3x + 1

e) y = x + 1


Questão 5 A função demanda pode ser representada por uma função do primeiro grau. Considere, então, a função D = 100 - 2p, em que D representa a quantidade

demandada e p o preço de determinada mercadoria (p e q não negativos). Nestas condições, é correto afirmar que:

a) A demanda é uma função crescente.

b) Sempre haverá demanda, independentemente do preço de venda.

c) Quando o preço é R$ 50,00, a demanda é D = 100.

d) Para existir demanda, o preço deve ser inferior a R$ 50,00.

e) Quando o preço é R$ 20,00, a demanda é D = 80.


Questão6 Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (1, 3) e B (3, 7).


Questão 7 Seja a função D = 45 - 5p, em que p é o preço da unidade do bem e D a demanda de mercado correspondente. Nestas condições, determine os intervalos de variação de p e de D.Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

32

Questão 8 Elabore uma tabela com dois pares ordenados e esboce o gráfico da função D = 45 - 5p . Determine se a função é crescente ou decrescente com base na tabela elaborada.


Questão 9 Suponha que a função demanda de mercado de um produto que é vendido em pacotes de 10 kg seja dada por D = 4000 - 5p . Nestas condições, determine o preço para uma demanda de 3.500 pacotes e determine quantos pacotes seriam vendidos se o preço fosse R$ 40,00.


Questão 10 Suponha que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por S = -30 + 2p, com o preço p ≤ R$ 1.300,00. Determine a partir de que preço a oferta será menor que 2.500 unidades.


33



• Acesse o site do Prof. Paulo Marques. Disponível em: <http://www.paulomarques.com.br>. Acesso em: 11 jul. 2012. O site apresenta o trabalho do Professor Paulo Marques que, há alguns anos, inovou a discussão de testes de vestibular por meio de sua página pessoal, na qual apresenta resumos da teoria, além de exercícios, gabaritos e possibilidades de resolução.

Nesta aula, você estudou a Função do Primeiro Grau. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.


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• A lei de formação da função do segundo grau.

• A representação gráfica da função do segundo grau.

• As raízes e o vértice da função do segundo grau.

• Algumas aplicações da função de segundo grau.

Habilidades


• A distância percorrida entre a cidade onde você mora e a cidade mais próxima poderia ser expressa como função do segundo grau?

• Se você trabalhasse no comércio, seria capaz de prever o lucro máximo na venda de determinado produto?

• A função receita sempre será, pelo menos, do segundo grau?

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FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU

Tema 3

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AULA 3


Função do Segundo Grau

Para que você possa se apropriar do conceito de funções do segundo grau de maneira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito desta teoria, que contém alguns conceitos e ferramentas importantes para esse estudo.

Função do segundo grau ou função quadrática é toda expressão do tipo .

Uma função do segundo grau pode ser completa ou incompleta:

• Será completa quando os coeficientes a, b e c forem, todos, diferentes de zero.

• Será incompleta quando os coeficientes b e/ou c forem iguais a zero.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Por não possuir nenhuma restrição, o domínio e o contradomínio da função quadrática são dados pelo conjunto dos números reais: D = CD = R.

Já o conjunto imagem da função do segundo grau depende do coeficiente a da expressão que a define.

Se a > 0, teremos Im = {y ∈ R | y ≥ yV} .

Se a < 0, teremos Im = {y ∈ R | y ≤ yV} .

Yv indica o valor de y em que a função inverte o sinal de crescimento.

Gráfico da Função de Segundo Grau

O gráfico da função quadrática é denominado parábola. Uma parábola é uma curva que pode estar voltada para cima (no sentido de crescimento do eixo y) ou para baixo (no sentido de decrescimento do eixo y). O valor do coeficiente a determina o tipo de concavidade (curva voltada para cima ou curva voltada para baixo):

Se a > 0 a curva é côncava para cima.


36

Se a < 0 a curva é côncava para baixo.

Veja os exemplos:

• Determine o gráfico da função y = x2 + 3x+ 4 . Observe que o coeficiente a = 1, logo, a > 0, portanto a parábola será côncava para cima.

• Determine o gráfico da função y=−0,5x2+x . Observe que o coeficiente a = -0,5, logo, a < 0, portanto a parábola será côncava para baixo.

Tanto quanto para a função de primeiro grau, para obter o gráfico da função quadrática, é possível utilizar o recurso da construção de tabelas, porém, para que se possa melhor escolher os valores da tabela, é indicado, antes, calcular o vértice da parábola (vértice é o ponto onde a curva inverte o sentido de crescimento).

O vértice da parábola é dado por: Vértice:xV=−b2a

e yV= f (xV ).

Para obter as coordenadas do vértice, é necessário relembrar como se calculam as raízes da função de segundo grau, por meio da fórmula de Báskara

x=−b± b2 − 4ac2a

37

Lembre-se:• “a” é o número que multiplica x2.• “b” é o número que multiplica x.• “c” é o termo independente.

Observe os exemplos abaixo:• Exemplo 1: em , a = 1; b = –5; e c = 6. Na Fórmula de Báskara, os valores de x seriam calculados do seguinte modo: x2 - 5x + 6 = 0 a = 1; b = –5; e c = 6. Na Fórmula de Báskara, os valores de x seriam calculados do seguinte modo:

x=−(−5)± (−5)2 − 4.1.62.1

=5± 25−242

=5± 12

=5±12=x1 =

5+12

=62= 3

x2 =5−12

=42= 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

• Exemplo 2: -2x2 + 4x = 0 . Neste caso, a = –2; b = 4; c = 0. Resolvendo:

x =−4± 42 − 4.(−2).02.(−2)

=−4± 16−0−4

=−4± 0−4

=−4±0−4

=−4−4=1

Observe que, nesse caso, somar zero ou subtrair zero não altera o valor do numerador.A expressão b2-4ac da Fórmula de Báskara é chamada de discriminante da equação, e é representada pela letra grega delta: ∆

Propriedade: Se ∆ > 0, a equação possui duas raízes diferentesSe ∆ = 0, a equação possui uma raizSe ∆ < 0, a equação não possui raizes

O gráfico da função de segundo grau é uma curva chamada de parábola, que pode ser uma curva voltada para cima ou voltada para baixo, dependendo do valor “a” (do número que multiplica x2). Se a > 0, o gráfico será uma curva voltada para cima. Se a < 0, o gráfico será uma curva voltada para baixo.

38

Não existe gráfico para a = 0 (não existe sequer a função, nesse caso).Para desenhar o gráfico, é interessante que também seja elaborada uma tabela. Todavia, ao contrário do gráfico da função do primeiro grau, não serão escolhidos valores aleatórios para x. Antes de construir a tabela, as coordenadas do vértice da parábola serão calculadas. Vértice é o ponto onde a curva muda o sentido de crescimento. É o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Na parábola côncava para cima, a função é considerada decrescente até o vértice e crescente a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva).

Na parábola côncava para baixo, a função é considerada crescente até o vértice e decrescente a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva).

Lembre-se: inclinação para cima indica crescimento; inclinação para baixo indica decrescimento.Para calcular as coordenadas do vértice, a seguinte fórmula é utilizada:

xV=−b2a

e yV= f (xV )

Exemplo: em y=x2−5x+6 , o cálculo é feito do seguinte modo:

xV=−(−5)2

=52=2,5

yV = (2,5)2 −5.2,5+6 = 6,25−12,5+6 = −6,25+6 = −0,25

Para elaborar a tabela, serão utilizados ao menos cinco pares ordenados, sendo que o vértice, necessariamente, deverá ser o centro da tabela. Veja o exemplo:

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x y=x2−5x+6 Cálculo do valor de y

1 2 y=12−5.1+6=1−5+6=−4+6=2

2 0 y=22−5.2+6=4−10+6=−6+6=02,5 -0,25 Já mostrado acima3 0

y=32−5.3+6=9−15+6=−6+6=04 2 y=42−5.4+6=16−20+6=−4+6=2

Observe que, para valores diferentes de x, os valores são iguais para y (se x = 1 ou se x = 4, então y = 2). Essa característica das funções de segundo grau chama-se simetria, ou seja, os dois “braços” da parábola são absolutamente idênticos entre si.Graficamente: a figura esperada é voltada para cima, pois a = 1.

Os pontos em destaque são os da tabela. A curva é idêntica em ambos os “lados”. Veja também que a função decresce até o vértice e cresce a partir dele (veja a inclinação das partes da curva!). Matematicamente, escreve-se: crescente: x > 2,5 e decrescente: x < 2,5.No outro exemplo, o cálculo é realizado do seguinte modo: y=−2x2+4xNeste caso, o gráfico esperado é côncavo para baixo, a = –2.

Calculando o vértice: xV=−b2a= −42(−2)

=−4−4=1 . Na tabela:

40

x y=−2x2+4x Cálculo dos valores de y

–1 –6 y=−2(−1)2+4(−1)=−2.1−4=−2−4=−6

0 0 y=−2.02+4.0=−2.0+0=0+0=0

1 2 y=−2.12+4.1=−2.1+4=−2+4=2

2 0 y=−2.22+4.2=−2.4+8=−8+8=0

3 –6 y=−2.32+4.3=−2.9+12=−18+12=−6 Os pontos em destaque são os da tabela. Veja também que a função cresce até o vértice e decresce a partir dele (veja a inclinação das partes da curva!). Matematicamente, escreve-se: crescente: x < 1 e decrescente: x > 1.

No gráfico:

Aplicações de Funções

Conforme já explicado no Tema 2 – Função do Primeiro Grau, as aplicações mais comuns da teoria de funções para os cursos de administração e áreas correlatas são o estudo de: demanda, oferta, custo, receita, lucro ou prejuízo e ponto (preço e quantidade) de equilíbrio.

Receita Total

Por definição, receita total é a função dada por , em que: RT = receita total, x = preço de venda, q = quantidade vendida.

Custo Total

A função custo total é definida pela soma do preço fixo de produção de uma determinada mercadoria (ou bem) ao custo variável de sua produção, ou seja, , em que CT = custo total, CF = custo fixo e CV

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= custo variável.

Lucro Total

A função lucro total é definida pela diferença entre as funções receita total e custo total. Se essa diferença for positiva, é considerada como lucro propriamente dito. Caso contrário, recebe o nome de prejuízo.

Ponto de Nivelamento

É aquele para o qual receita total e custo total são iguais entre si.

42

INSTRUÇÕES



PONTO DE PARTIDA

A função de segundo grau é uma ferramenta que abre diferentes portas na matemática. Estude com afinco!


Situação-problema: José gostou mesmo de trabalhar com o avô. Nesse inverno, ele observou que a cada grau reduzido no termômetro, o número de cobertores vendidos crescia na razão do inverso da queda da temperatura elevada ao quadrado. Você seria capaz de escrever a equação de venda para José?



Questão 1 Entre as alternativas apresentadas em seguida, uma não diz respeito à função de segundo grau. Identifique-a:

a) O gráfico será sempre uma parábola ou arco de parábola.

b) O número de raízes reais será, no máximo, igual a dois.

c) Possui um único vértice.

d) O vértice pode ser um ponto que representa o máximo ou o mínimo da função do segundo grau.

e) A base da potência deve ser sempre positiva.


Questão 2 As raízes da função são:a) x1 = x2 = 0.b)x1 = x2 = 2.c)x1 = x2 = -2.d)x1 = 0 e X2 = 2.e)x1 = -2 e X2 = 2.


Questão 3A respeito da concavidade e do vértice da parábola determinada pela função , pode-se afirmar:

Agora é a sua vez

43

a) Concavidade para cima e vértice igual a V = (0, -4).

b) Concavidade para cima e vértice igual a V = (-4, 0).

c) Concavidade para baixo e vértice igual a V = (0, -4).

d) Concavidade para baixo e vértice igual a V = (-4, 0).

e) Concavidade para cima e vértice igual a V = (0, 4).


Questão 4 Com relação à função , pode-se afirmar:

a) É crescente até x = 0.

b) É decrescente até x = 0.

c) É crescente até x = 2.

d) É decrescente até x = 2.

e) É decrescente até x = -2.


Questão 5 Leia as afirmações e identifique a alternativa correta:I. Toda função do segundo grau pode apresentar

intervalos de crescimento e de decrescimento. II. O vértice da função de segundo grau determina

sempre um ponto que representa o máximo. III. Toda função do segundo grau apresenta duas

raízes reais e distintas entre si.a) As afirmações I e II são verdadeirasb) As afirmações I e III são verdadeiras.c) As afirmações II e III são verdadeiras.d) As afirmações I e II são falsas.e) As afirmações II e III são falsas.


Questão6 Represente graficamente a demanda de mercado dada por D = -q2 + q + 18 e calcule o valor da demanda máxima.


Questão 7 Determine o ponto de nivelamento nos seguintes casos:a) RT=0,6q CT=2+0,5q 0≤q≤30

b) RT=1,5q CT=4+0,5q 0≤q≤5Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão 8 Sabendo que a função oferta de mercado de determinado produto é dada por S = p2 - 64, para p ≤ 20 (S de oferta e p de preço), determine a partir

44

de que preço haverá oferta.


Questão 9 Dadas as funções D = 16 - p2 (demanda de mercado) e S = -3,5 + 3,5p (oferta de mercado), determine o preço e a quantidade de equilíbrio.


Questão 10 Calcule o valor máximo da receita total (RT = p*D) ,sabendo que D = 48 - 2p.


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• Quer saber mais sobre o assunto? Então:

• Acesse o site do INEP. Disponível em: <www.inep.gov.br>. Acesso em: 11 jul. 2012. Contém exercícios do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), gabaritos e comentários de professores


Nesta aula, você estudou a Função do Segundo Grau. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Concavidade: menor região do plano delimitada pela parábola.

Ponto de inflexão: ponto onde o sentido de crescimento da curva é invertido.


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• Função exponencial.

• Domínio, imagem e gráfico.

• Crescimento e/ou decrescimento.

• Aplicações da função exponencial.

Habilidades


• Como estudar a função exponencial a partir do fator multiplicativo e em sua forma geral?

• Como analisar, entre outras, as aplicações da função exponencial no cálculo de juros compostos, na depreciação de uma máquina e no crescimento populacional?

• Como interpretar e esboçar o gráfico da função exponencial?

AULA 4


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FUNÇÃO EXPONENCIAL

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Função Exponencial

Para que você possa se apropriar do conceito de função exponencial da maneira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito desta teoria. Preste muita atenção aos conceitos pertinentes a este universo, pois eles lhe ajudarão muito em Matemática Financeira.

Função exponencial é toda expressão do tipo y = a f (x), a > 0 .

O domínio D depende de f(x). O conjunto Imagem (Im) depende de f(x). O gráfico não possui nome especial.

As funções exponenciais são crescentes geralmente quando a > 1 e decrescentes, geralmente quando 0 < a < 1.

Antes de dar prosseguimento aos estudos sobre funções exponenciais, será útil relembrar o conceito de potência.

Para obter o gráfico da função exponencial é necessário compor uma tabela com, no mínimo, 5 pares ordenados.

Veja os exemplos:

1. Faça a representação gráfica de y = 2x .

x y = 2x

Cálculo do valor de y

–2 0,25

y=2−2= 1

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

=12

22=14=0,25

–1 0,5

y=2−1= 1

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1

=11

21=12=0,5

0 1 y=20=1

1 2 y=21=2

2 4 y=22=4


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No gráfico:

A função é crescente – o gráfico é inclinado para cima.

2. Faça a representação gráfica de y=2−12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x

.

x

y=2− 1

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x Cálculo do valor de y

–2 –2

y=2− 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−2

=2−22=2−4=−2

–1 0

y=2− 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−1

=2−21=2−2=0

0 1

y=2− 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0

=2−1=1

1 1,5

y=2− 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1

=2−12=4 −12=32=1,5

2 1,75y=2− 1

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

=2−14=8−14=74=1,75

49

Graficamente:

50

INSTRUÇÕES


Para alcançar este objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória”, que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para a solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

Neste momento, tenha em mente que as propriedades de potenciação e a função exponencial serão ferramentas imprescindíveis para a Matemática Financeira e para a Análise Orçamentária.


Situação-problema: Mariana prestou serviços de digitação a uma grande empresa da cidade onde mora e por isso recebeu um pagamento de R$ 2.000,00. Resolveu guardar o dinheiro na Caderneta de Poupança que rende, aproximadamente, 0,6% ao mês de juros. Ajude Mariana a descobrir qual será o saldo disponível na caderneta um ano após ter feito o depósito.


Questão 1 A população P de um país tem seu crescimento

dado pela lei P(n) = 2.000.000*1,03n , em que n é o número de anos decorridos após esse país ultrapassar dois milhões de habitantes. Observe a base da potência e esboce o gráfico dessa função. Ache a população estimada desse país para n = 2.


Questão 2 A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1.000*0,9x . Observe a base da potência e esboce gráfico dessa função. Quantas unidades foram produzidas no segundo ano desse período recessivo?


Questão 3Num certo ano, uma passagem aérea entre Rio de Janeiro e Lisboa custava mil dólares. Daí para frente, esse preço vem sofrendo reajustes anuais de 10%. Expresse a lei que dá o preço da passagem aérea entre Rio e Lisboa em função do tempo.Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão 4 O preço de um automóvel novo é P0 (em reais).

Agora é a sua vez

51

Ele sofre uma desvalorização de 10% ao ano. Expresse a lei que dá o preço desse automóvel após n anos de uso.


Questão 5 O preço de uma mercadoria no início do ano era de R$ 50,00 e evoluiu com a inflação, de acordo com a função P = 50*1,02n , em que P é o preço e n é o tempo em meses, a partir do início de janeiro.

a) Calcule o preço dessa mercadoria no início de março, abril e junho.

b) Em que mês do ano o preço atingiu R$56,30?

c) Faça o gráfico dessa função.


Questão6 Um laboratório, ao lançar um novo produto de beleza, estabelece uma função que dá a quantidade y procurada do produto no mercado em função da quantidade x de caixas com certa quantidade de amostras, que foram distribuídas entre donas de casa. A função estabelecida foi y = 200*1,2x .

a) Qual foi a procura do produto antes da distribuição de amostras? E após a distribuição de duas caixas? E após a distribuição de quatro caixas?

b) Quantas caixas de amostras devem ser distribuídas para que a quantidade procurada seja 2.000?


Questão 7 Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula C = D*(1 + t)n , em que C representa o capital acumulado, D o valor depositado, t a taxa de juro ao mês e n o número de meses. Supõe-se que, ao final de cada mês, os juros capitalizados são sempre acumulados ao depósito (sistema de juro composto).

a) Para um depósito de R$ 200,00, a uma taxa de 4% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de dois meses? E ao fim de seis meses?

b) Se a taxa fosse de 5% ao mês, qual seria o capital acumulado nos mesmos perío-dos?


Questão 8 Considere que certo país troque de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge 900%. A nova moeda vale sempre 1.000 vezes mais que a moeda antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quantos meses esse país trocará de moeda?

52


Questão 9 Num certo país, a taxa de inflação vem se mantendo em 0,7% ao mês. Qual será a inflação acumulada em 12 meses?


Questão 10 Uma pintura abstrata, historicamente importante, foi comprada em 1922 por U$ 200,00 e seu valor vem sendo dobrado a cada 10 anos desde a sua compra. Determine a taxa à qual o seu valor original será acrescido em 2002.


53




vNesta aula, você estudou a Função Exponencial. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Potência: é o produto de fatores iguais.


LINKS IMPORTANTES

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GLOSSÁRIO

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• Logaritmos e suas propriedades operatórias.

• Função logarítmica.

• Domínio; imagem e gráfico.

• Crescimento e/ou decrescimento.

• Aplicações da função logarítmica.

Habilidades


• Como identificar o logaritmo como uma operação inversa da potenciação e que permite conhecer o valor desconhecido do expoente?

• Como compreender que o logaritmo possibilita a simplificação dos cálculos por meio de suas propriedades operatórias?

• Como estudar a função logarítmica como inversa da função exponencial?

• Como analisar, entre outras, as aplicações da função logarítmica no cálculo de juros compostos e prazos de aplicação?

• Como interpretar e esboçar o gráfico da função logarítmica?

ícones:

LOGARITMOS, FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Tema 5

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AULA 5


Logaritmos, Função Inversa e Função Logarítmica

Para que você possa se apropriar do conceito de função logarítmica da ma-neira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito desta teoria. Preste muita atenção aos conceitos pertinentes a este universo, pois eles lhe ajudarão muito em Matemática Financeira.

Seja um número real positivo. Dado um inteiro n > 0, a potência é definida como o produto de n fatores iguais ao número a . Ou seja: an = a.a.a....a (n fatores).

Dado um número real a > 0, o logaritmo de um número x > 0 na base a é o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que ay = x. . Escreve-se y = loga x e lê-se “y é o logaritmo de x na base ª”.

O sinal ⇔ é usado para exprimir que as duas afirmações são equivalentes (isto é, têm o mesmo significado). É possível escrever, então: loga x=y⇔ay=x .

Ou seja, dizer que y = loga x é o mesmo que afirmar que ay = x.

Assim, é possível inferir que logx x=1 e logx1=0 .

Propriedades de Logaritmos

Com base nas definições, observe, a seguir, as demais propriedades operatórias do logaritmo, considerando a,c > 0; b > 0 e b ≠ 1.

a) logba+logbc=logb(ac)

b)

logba−logbc=logb

ac⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

c) logban=nlogba


56

d)

log

bna=1nlogba

e) logb alogb c

=logca (mudança de base, neste caso, c ≠1).

Veja o significado da definição:

log28=3⇔ 23=8

log10010=12⇔100

12= 100=10

Na verdade, um logaritmo é um expoente em condições muito especiais: tanto base quanto potência devem ser números necessariamente positivos e a base deve necessariamente ser diferente de 1.

A mesma definição propicia o cálculo de dados. Veja:

log4 16 = x⇒ 4 x =16⇒ 4 x = 42 ⇒ x = 2

log5 x = 3⇒ 53 = x⇒125 = x

logx 256 = 2⇒ x2 = 256⇒ x = 256⇒ x =16

Exemplos de Utilização das Propriedades de Logaritmos

Veja os exemplos: Calcule o valor de P em:

log2 P =12log2 5−2 log2 4 − 3log2 3

log2 P = log2 512 − log2 4

2 − log2 33

log2 P = log2 5 − log216+ log2 27( )log2 P = log2 5 − (log2(16.27))

log2 P = log2 5 − log2 432

log2 P = log25

432

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒ P = 5

432

Com base no que foi estudado a respeito de logaritmos, reflita sobre os problemas a seguir:

• Uma pessoa deposita R$ 5.000,00 a 4% de juros. Quanto ela terá (principal + juros) após 10

57

anos: (i) se os juros são pagáveis anualmente, e (ii) se os juros são pagáveis trimestralmente?

(i) y = x(1+ i)n = 5000(1+0,04)10

log y = log5000+10 log1,04 = 3,6690+ (10)(0,0170) = 3,8690y = R$7.396,67

(ii) y = x(1+ i

k)nK = 5000(1+ 0,04

4)40

log y = log5000+10 log1,01= 3,6690+ (40)(0,0043) = 3,8710y = R$7.430,00

• Com base nas vendas esperadas e em dados para companhias similares, o Diretor de Pessoal das Indústrias Nacionais predisse que o número de empregados pode ser descrito pela equação N = 200 (0,04)0,5t

em que N é o número de empregados após t anos. Admitindo que ele esteja correto, quantos empregados as Indústrias Nacionais terão após três anos? Quantos empregados a companhia empregou inicialmente? Quantos empregará quando atingir seu desenvolvimento máximo?

Resolução:

A companhia emprega (200)*(0,04) = 8 pessoas inicialmente e 200 quando tiver atingido seu tamanho máximo. Após três anos, ela empregará:

N = (200)(0,04)0,53

logN = log200+0,53 log0,04= 2,3010+ (0,0125)(−1,3979) = 2,1263

N =133,75

A resposta é: aproximadamente 134 pessoas.

Função Inversa

Iezzi e Murakami (1993, p. 235) definem a função inversa do seguinte modo: “Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A denominada função inversa de f e indicada por f -1 ”.

Assim, f e f -1 são inversas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra. O domínio da função f -1 é B, que é a imagem da função f. A imagem da função f -1 é A, que é o domínio da função f.

58

Propriedades: os gráficos de duas funções inversas entre si são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Função Logarítmica

Função logarítmica é toda expressão do tipo:

y = logb f (x), ondeb > 0, b ≠1f (x) > 0,∀x ∈ D( f )

⎧⎨⎩

O domínio D da função dependerá de f(x), lembrando que essa deverá ser sempre positiva. O conjunto imagem (Im) também dependerá de f(x).

O gráfico da função logarítmica não possui um nome especial.

A função logarítmica será crescente quando, geralmente, b > 1, e decrescente quando, geralmente, 0 < b < 1.

Para estudar função logarítmica, primeiramente é necessário transformá-la em função exponencial (porque elas são inversas entre si). Para isso, basta isolar x. Veja em exemplo:

y = log2 (x+2) ⇒ log2 (x+2) = y⇔ 2y = x+2⇒ x = 2y −2

No caso da função logarítmica, ao invés de escolher o valor de x e calcular y, deve-se proceder ao contrário: escolhe-se y e calcula-se x.

y x = 2y −2 Cálculo do valor de x

–2 –1,75

x = 2−2 −2 = 1

4−2 = 1−8

2=−74= −1,75

–1 –1,5

x = 2−1 −2 = 1

2−2 = 1− 4

2=−32= −1,5

0 –1 x = 2

0 −2 =1−2 = −11 0

x = 21 −2 = 2−2 = 0

2 2 x = 22 −2 = 4 −2 = 2

59

Graficamente:

A função é crescente, pois o gráfico é inclinado para cima.

Observe os outros exemplos a seguir (lembre-se de construir uma tabela para conferir as figuras):

• Construa o gráfico de y = log(x+ 3) .

60

• Construa o gráfico de y = log3(2 – x).

61

INSTRUÇÕES


Para alcançar esse objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória” que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

Neste momento, tenha em mente que as propriedades de logaritmos e a função logarítmica serão ferramentas imprescindíveis para a Matemática Financeira e para a Análise Orçamentária.


Situação-problema: Mariana prestou serviços de digitação a uma grande empresa da cidade onde mora e, por isso, recebeu um pagamento de R$ 2.000,00. Guardou o dinheiro na Caderneta de Poupança que rende, aproximadamente, 0,6% ao mês de juros. Algum tempo depois, foi ao banco e verificou que possuía um saldo de R$ 2.232,00. Calcule o tempo durante o qual o dinheiro ficou aplicado.


Questão 1 O valor de x, em log2 32 = x é:

a) 16.

b) 8.

c) 5.

d) 3.

e) 2.


Questão 2 O valor de x, em log2 (2* x) = 5 é:

a) 2,5.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

e) 16.


Questão 3O valor de x, em log2 x+ log2 64 = 9 é:

a) 3.

b) 8.

c) 9.

Agora é a sua vez

62

d) 16.

e) 25.Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão 4 O valor de x, em log5x 125 = 3 é:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.


Questão 5 Calcule o valor de x em log10 25+ log10 4 = x :

a) 0,5.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

e) 10.


Questão6 Um a pessoa aplicou R$ 1.500,00 a juros compostos de 15% ao trimestre, durante um ano. Escreva a função que descreve o montante como função do tempo n (em trimestres) e faça o gráfico dessa função.


Questão 7 No exercício anterior, calcule o montante após:

a) Um trimestre.

b) Dois trimestres.

c) Quatro trimestres.


Questão 8 Se, no exercício 3, os juros forem pagos em frações de tempo e o dinheiro for aplicado durante apenas um mês, qual será o montante?


Questão 9 Se, no exercício 3, o capital continuar aplicado por tempo indeterminado, em quanto tempo, após a aplicação, a pessoa terá triplicado o seu capital?

63


Questão 10 Esboce o gráfico de:

a) f(x) =2x+1 .

b) y = log3x.


64




Nesta aula, você estudou Logaritmo e Função Logarítmica. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Logaritmo: sinônimo de expoente em condições especiais.


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GLOSSÁRIO

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• Função Exponencial: você aprenderá a utilizar este tipo de função nas aplicações financeiras que envolvam aumento e diminuição do capital, bem como no processo de produção empresarial, quantidades produzidas e de insumos.

• Função Polinomial: ao estudar a derivada destas funções, você entenderá o comportamento das mesmas (taxa de variação, crescimento, decrescimento, inflexão) e preços de produto.

• Função Racional e Inversa: serão analisadas situações de oferta e preço, custo médio, aumentos e depreciação.

Habilidades


• Como aplicar os conceitos matemáticos e seus desenvolvimentos na prática do dia a dia?

• Como reconhecer os diversos tipos de funções e suas utilidades?

• Como elaborar uma tabela construindo o respectivo gráfico e, consequentemente, analisá-lo?

AULA 6


ícones:

FUNÇÃO POLINOMIAL, RACIONAL E POTÊNCIA

Tema 6

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Função Polinomial, Racional e Potência

Para que você possa se apropriar dos conceitos de função potência, de função polinomial e de função racional de maneira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito desta teoria.

Função Potência

Toda função do tipo y = kxn , em que “k” é qualquer número real e “n” é um número inteiro não negativo, é chamada de função potência. Os seguintes exemplos se enquadram nessa definição:

y = x; y = x2;y = x3e assim por diante.

O domínio e o contradomínio da função y = xn são o conjunto dos reais. O conjunto imagem dependerá de como foi definida a função.

O gráfico da função potência é sempre uma curva suave (sem cantos angulosos).

Veja os exemplos: y = 2x(azul); y = x2 (vermelha);y = 0,5x3(verde);y = x4 (preta)

Com relação ao crescimento, a função polinomial poderá: ser somente crescente (y = 2x), ser somente decrescente (y = -x3) ou apresentar mesclas de intervalos de crescimento e de decrescimento (y = x4) .

Dependendo da lei de formação e do domínio apresentado, poderá (ou não) existir raiz. Se o domínio da função for o conjunto dos números reais, sempre haverá raiz e esta será sempre igual a zero (0).


67

Quando se tratar de potência inteira e positiva: os gráficos serão simétricos à origem; serão sempre funções crescentes. Para valores de x entre 0 e 1: quanto maior a potência, menor o valor da função. Para valores maiores que 1, quanto maior a potência, maior a função.

Uma função potência é um caso particular da função polinomial.

Função Polinomial

Toda função do tipo com n natural e y = anxn +an−1x

x−1 + ...+a2x2 +a1x

1 +a0x0 , é chamada

“função polinomial”.

Observe os seguintes exemplos:

1. y = 3x2 + 5x – 4.

2. y = –2x5 + 4x3 – x2.

3. y = x6 – x2.

Verifique, a seguir, algumas propriedades da função polinomial:

1. O grau de um polinômio é sempre igual ao seu maior expoente.

2. Dois polinômios são ditos idênticos se os coeficientes das parcelas de mesma potência são todos iguais.

3. O polinômio identicamente nulo é aquele no qual todos os coeficientes são nulos, ou seja,

y = 0xn +0xx−1 + ...+0x2 +0x1 +0x0 .

4. Teorema do resto: a divisão do polinômio P pelo fator linear (x - r) é igual a P(r) .

5. Teorema de D’Alambert: se um polinômio P é divisível por (x - r), então P(r) = 0, ou seja, r é uma raiz de P. Generalizando o Teorema de D’Alembert, verifica-se que, se P é divisível pelos fatores lineares (x − r1);(x − r2 );...;(x − rn ); , então P também é divisível pelo produto: (x − r1)*(x − r2 )*...*(x − rn ) . Além disso, os números são todos raízes de P.

6. Teorema Fundamental da Álgebra (TFA): todo polinômio de grau n possui n raízes. No TFA, os seguintes itens devem ser considerados:

• A existência de raízes complexas.

• A existência de raízes múltiplas (repetidas).

O gráfico da função polinomial é uma curva suave que, dependendo da lei de formação, será somente crescente, somente decrescente ou apresentará intervalos de crescimento/decrescimento.

68

Veja os gráficos das funções:

1. y = 3x2 + 5x – 4.

2. y = –2x5 + 4x3 – x2.

3. y = x6 – x2.

1. 2. 3

A lei de formação da função também determinará a existência de raízes. Para polinômios de grau maior que três não existem fórmulas com radicais (tais como a fórmula de Báskara) para o cálculo de suas raízes.

Função Racional

Função racional é toda função do tipo y = f (x) = P(x)Q(x) , em que Q (x) ≠ 0 é uma função racional, ou

seja, uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de dois polinômios P(x) e Q(x).

Em razão do domínio restrito (o denominador da função não pode ser igual a zero), o gráfico da função racional pode ter descontinuidades, ou seja, interrupções, nos pontos onde o denominador é igual a zero. O gráfico da função racional é “orientado” por uma reta denominada “assíntota” (que pode ser vertical ou horizontal).

Considerando as restrições de domínio, a função racional pode não ser definida para valores de x que zeram o denominador. Numa vizinhança destes valores que zeram o denominador, os valores funcionais tendem a aumentar ou diminuir muito, fazendo com que os gráficos se aproximem bastante de uma reta vertical (assíntota vertical), sem jamais ultrapassá-la. Existem casos de funções racionais em que, por processo de simplificação, o denominador pode ser simplificado. Nestes casos, a função racional apresenta um (ou vários) “furo(s)” no(s) ponto(s) onde o denominador é igual a zero.

Outra categoria de funções racionais apresenta gráficos cujo início e final se confundem com uma reta horizontal; esses casos são considerados como assíntota ho-rizontal.

69

Outra característica de algumas funções racionais é o fato de algumas delas começarem e/ou terminarem cada vez mais perto de uma reta horizontal (assíntota horizontal).

70

INSTRUÇÕES


Para alcançar esse objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória”, que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

Funções potências, polinomiais e racionais têm lugar especial na formação dos alunos das Ciências Sociais Aplicadas. As funções racionais lhe ajudarão a compreender a Curva ABC e a Lei de Pareto, já as funções potências e polinomiais servirão de auxílio no estudo de custos, receitas, lucro (ou prejuízo) e ponto de nivelamento. Estude com atenção.


Situação-problema: Mariana recentemente abriu uma empresa e, de acordo com seu administrador, para a produção de “x” unidades, a receita obtida é de R(x) = 6000x - x2 e o custo é de C(x) = x2 - 2000x . Considerando que o lucro total da empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção, determine qual deve ser a produção para que Mariana obtenha lucro máximo.


Questão 1 O domínio da função é: y = x+ 3

x+ 3a) Todo conjunto dos números reais.

b) Todo número real maior que 0.

c) Todo número real maior que 3.

d) Todo número real maior que -3.

e) Todo número real diferente de 3.


Questão 2 As raízes da função y = x3 − x2 são:

a) S = {−1, 0,1}S = {−1,1}S = {0,1}S = {−1, 0}S = {0}

.

b) .

c) .

d) .

e) .


Questão 3Indique a alternativa verdadeira:

a) y = x2 + 3x+ 4 é uma função sempre crescente.

b) y = 2x+1 é uma função sempre decrescente.

Agora é a sua vez

71

c) y = x3 cresce até o vértice e decresce depois dele.

d) y = 2x+1 é uma função constante.

e) y = −x3 é uma função sempre decrescente.


Questão 4 Com relação ao grau do polinômio, pode-se afirmar que:

I. É sempre o maior expoente apresentado na expressão.

II. Determina o número máximo de raízes que o polinômio poderá apresentar.

III. Pode ser qualquer número real diferente de zero.

a) Somente I é correta.

b) Somente II é correta.

c) Somente III é correta.

d) Somente I e II são corretas.

e) Todas são corretas.


Questão 5 Com relação à função potência y = 0,5x2 , é correto afirmar que:

I. Se x for um número positivo, a função será crescente.

II. Se x for um número negativo, a função será decrescente.

III. Quando x for igual a zero, o máximo da função será obtido.

IV. Tem uma raiz dupla igual a zero.

a) Somente I, II e IV são corretas.

b) Somente II e IV são corretas.

c) Somente II e III são corretas.

d) Somente II e IV são corretas.

e) Somente II, III e IV são corretas.


Questão6 Calcule as raízes da função y = x4 −5x2 +6 . Dica: faça a substituição x2 = t .


Questão 7 Elabore uma tabela para a função y = x4 −5x2 +6 , na qual apareçam as raízes que você calculou no exercício 6 mais um valor intermediário para cada duas raízes (utilize uma casa decimal para aproximações). Com os pares ordenados obtidos, desenhe o gráfico da função.

72


Questão 8 Estude o crescimento/decrescimento da função

y = x4 −5x2 +6 ..


Questão 9 Elabore o gráfico da função y =

x+11− x .


Questão 10 Estude o crescimento/decrescimento da função

y = x+11− x .


73



• Acesse o site do Prof. Paulo Marques. Disponível em: <http://www.paulomarques.com.br>. Acesso em: 11 jul. 2012. O site apresenta o trabalho do Professor Paulo Marques que, há alguns anos, inovou a discussão de testes de vestibular por meio de sua página pessoal, na qual apresenta resumos da teoria, além de exercícios, gabaritos, possibilidades de resolução e comentários de professores.

Nesta aula, você estudou as Funções Polinomial, Racional e Potência. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações em seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.


LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

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74



• Taxa média de variação.

• Taxa instantânea de variação.

• Regras de derivação.

• Notação de Leibniz.

• Segunda derivada e derivadas de ordem superior.

• Diferencial.

Habilidades


• Para que são utilizadas derivadas de funções no seu campo de atuação?

• Que tipos de derivadas farão parte do seu cotidiano?

• Você é capaz de obter toda a informação disponível ao analisar a derivada de uma função?

AULA 7


ícones:

CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

Tema 7

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Para que você possa se apropriar do conceito de funções da maneira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito da Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos, que são a base da Teoria de Funções. Além disso, você terá uma introdução ao estudo de funções, com a definição de alguns conceitos pertinentes a este universo.

Conceito de derivadas, Regras de Derivação e Diferencial

Para que seja possível construir o conceito de derivada e aprender as principais regras de derivação, é preciso falar de duas estruturas matemáticas: taxa média e taxa instantânea de variação de uma função.

Esta conversa será iniciada com a conceituação de grandeza. Para a matemática, uma grandeza é tudo aquilo que pode ser expresso por meio de um número: seu salário, sua altura, sua massa corporal, o número de horas que você trabalha ou estuda ao longo do dia, a dose de medicamento necessária para o tratamento de determinada doença, dentre outros exemplos.

As taxas médias ou taxas instantâneas de variação medem o quanto uma grandeza varia num determinado intervalo. Por exemplo, se você deseja saber a variação de seu salário nos últimos seis meses, a grandeza “salário” varia num intervalo de tempo.

A letra grega Δ (delta) é utilizada para indicar a variação. Exemplificando: variação de tempo = Δt; variação de altura: Δh; variação de salário: ΔS.

No caso específico das funções, você deve utilizar: Δx para a variável independente e Δy ou Δf para a variável dependente.

Taxa Média de Variação de uma Função

O quociente ΔyΔx

=yf − y ix f − xi

é chamado de taxa média de variação da função y = f(x) quando x passa do

valor xi (inicial) para o valor xf (final) e expressa a variação média sofrida pelos valores da função f(x)

entre estes dois pontos.

Por exemplo: seja a função que mede a produção de determinado di-gitador no escritório de uma grande empresa, em que x é o número de horas trabalhadas e y, o número de arquivos gerados pelo digitador. Para determinar a produção do funcionário entre a segunda e a quarta hora de trabalho, você deve proceder conforme a seguir:


76

xi = 2 então yi = 4 *2+ 3⇒ yi =11ex f = 4 então yi = 4 *4+ 3⇒ yf =19

Para calcular as variações de x e y:Δx = x f − xi ⇒ Δx = 4 −2 ⇒ Δx = 2eΔy = yf − yi ⇒ Δy =19−11 ⇒ Δx = 8

Calculadas as variações de x e y, a variação média da função será então calculada:

ΔyΔx

=yf − y ix f − xi

ΔyΔx

=82

ΔyΔx

= 4

O significado da resposta “4” é que a média de produção do digitador entre a segunda e a quarta hora de trabalho é de quatro arquivos por hora trabalhada.

Observe o gráfico a seguir, que representa a função y = f (x), definida num intervalo real (linha azul):

Nesse gráfico, você pode observar que o coeficiente angular da reta secante à curva nos pontos A e B (linha verde) tem um coeficiente angular dado por:

m = tgα = ΔyΔx

=f (x+h)− f (x)(x+h)− x

=f (x+h)− f (x)

h

77

A expressão m =f (x+h)− f (x)

h , é denominada razão incremental.

Assim, você pode observar que a razão incremental mede a variação da função entre dois de seus pontos.

Nesse mesmo gráfico, quando o incremento h tende a zero, o ponto B tende a coincidir com o ponto A, ou seja, a reta que era secante à curva tende, agora, a tangenciá-la (linha vermelha). Nessa situação, pode-se dizer que ocorre uma variação instantânea da função.

Taxa Instantânea de Variação de uma Função

Para entender a variação e a variação instantânea, pense no velocímetro de um carro que a cada instante de um determinado percurso mede diferentes velocidades, ou seja, pela leitura do velocímetro, é possível dizer exatamente a variação de velocidade de um instante para outro (quando o carro é acelerado ou freado, por exemplo).

Nestas condições, a derivada da função y = f(x) pode ser definida como sendo o limite da razão incremental, quando h tende a zero, ou seja, a derivada da função é determinada pela sua variação

instantânea, isto é, f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

.

Geometricamente, a derivada de uma função determina o coeficiente angular da reta tangente a uma curva em cada um dos seus pontos. Veja o exemplo:

Calcule a equação da reta tangente à curva y = x2 , no ponto de abscissa x = 1 .

Solução:

Para determinar a equação de uma reta, é necessário conhecer dois de seus pontos ou um de seus pontos e o coeficiente angular da reta. Observe a resolução aplicável quando um dos pontos e o coeficiente angular da reta são conhecidos:

• O ponto de tangência é dado por: se x = 1, então y = 12 = 1. Logo Pt = (1, 1).

• Para determinar o coeficiente angular, será utilizado o limite da razão incremental:

mt = f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

mt = limh→0(x+h)2 − x2

h

mt = limh→0x2 +2xh+h2 − x2

h

mt = limh→0h(2x+h)

hmt = limh→0 (2x+h)

mt = 2x+0mt = 2x

78

mt = f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

mt = limh→0(x+h)2 − x2

h

mt = limh→0x2 +2xh+h2 − x2

h

mt = limh→0h(2x+h)

hmt = limh→0 (2x+h)

mt = 2x+0mt = 2x

Como o ponto de tangência tem abscissa igual a 1, o resultado será: mt = 2*1= 2

• Logo, a equação procurada é dada por:

y− y0 = m*(x − x0 )y−1= 2(x −1)y = 2x −1

O exemplo acima nada mais é do que a aplicação mais elementar do cálculo de derivadas.

Embora o cálculo apresentado não seja difícil de ser efetuado, por vezes, pode ser muito trabalhoso. Para evitar trabalho braçal em excesso, serão estudadas as regras de derivação.

Regras de Derivação

É importante que você compreenda que as regras demonstradas a seguir servem exclusivamente para mostrar que todas as regras de derivação são geradas pela aplicação do limite sobre a razão incremental. Você não precisa decorar demonstrações; ao contrário, você deve incorporar as regras de derivação apresentadas ao final deste item. Leia os conceitos a seguir (os quais você utilizará para dar sequência aos seus estudos, numa pós-graduação, por exemplo) mas, por hora, dete-nha-se às regras.

1. Derivada da Função Constante

Considerando o limite sobre a razão incremental f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

, observe a seguir a determinação da derivada da função constante:

Se f (x) = K ,então :

f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

= limh→0

k − kh

= limh→0

0h= lim

h→00 = 0

Em resumo: f (x) = k⇒ f '(x) = 0 .

2. Derivada da Potência de x


f (x+h)− f (x)h , observe como a derivada

da potência de x é determinada:

79

Se f(x) = xn,entãof(x+h)n = xn +nxn−1h+C1x

n−2h2 ++Cmx2hn−2 +nx1hn−1 +hn

logo,

f'(x) = limh→0

xn +nxn−1h+C1xn−2h2 ++Cmx

2hn−2 +nx1hn−1 +hn −xn

hf'(x) = lim

h→0(nxn−1 +C1x

n−2h1 ++Cmx2hn−3 +nx1hn−2 +hn−1)

f '(x) = nxn−1

Em resumo: f (x) = xn ⇒ f '(x) = n* xn−1

3. Derivada da Constante Multiplicada por uma Função Qualquer

Considerando o limite sobre a razão incremental f '(x) = limh→0f (x+h)− f (x)

h , observe como a derivada da função multiplicada por uma constante é determinada:

Se f (x) = Kg(x), então :

f '(x) = limh→0

Kg(x+h)−Kg(x)h

f '(x) = limh→0

K (g(x+h)− g(x)h

f '(x) = limh→0

K g(x+h)− g(x)h

f '(x) = K limh→0

g(x+h)− g(x)h

f '(x) = kg '(x)

Em resumo: f (x) = k * xn ⇒ f '(x) = k *n* xn−1

4. Derivada da Soma de Duas Funções


f (x+h)− f (x)h

, observe como é determinada a derivada da soma de duas funções:

80

Se f (x) = g(x)+ p(x), então :

f '(x) = limh→0

g(x+h)+ p(x+h)− g(x)− p(x)h

f '(x) = limh→0

g(x+h)− g(x)h

+p(x+h)− p(x)

h⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f '(x) = limh→0

g(x+h)− g(x)h

+ limh→0

p(x+h)− p(x)h

f '(x) = g '(x)+ p '(x)

Em resumo: f (x) = u − v⇒ f '(x) = u '− v '

5. Derivada da Diferença de Duas Funções


f (x+h)− f (x)h

, observe como é determinada a derivada da diferença de duas funções:

Se f (x) = g(x)− p(x), então :

f '(x) = limh→0

g(x+h)− p(x+h)− g(x)+ p(x)h

f '(x) = limh→0

g(x+h)− g(x)h

−p(x+h)− p(x)

h⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f '(x) = limh→0

g(x+h)− g(x)h

− limh→0

p(x+h)− p(x)h

f '(x) = g '(x)− p '(x)

Em resumo: f (x) = u − v⇒ f '(x) = u '− v '6. Derivada do Produto de Duas Funções


f (x+h)− f (x)h

, observe a determinação da derivada do produto de duas funções:

Se f (x) = g(x)* p(x), então:

81

f '(x) = limh→0

g(x+h)p(x+h)− g(x)p(x)h

=

f '(x) = limh→0

g(x+h)p(x+h)− g(x)p(x)+ g(x+h)p(x)− g(x+h)p(x)h

f '(x) = limh→0

g(x+h)[p(x+h)− p(x)]+ p(x)[g(x+h− g(x)]h

f '(x) = limh→0

g(x+h)[p(x+h)− p(x)]h

+ p(x)[g(x+h− g(x)]h

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

f '(x) = g(x)p '(x)+ p(x)g '(x)

Em resumo: f (x) = u *v⇒ f '(x) = u '*v+u *v '

7. Derivada do Quociente de Duas Funções


f (x+h)− f (x)h

, observe a determinação da derivada da divisão de duas funções:

Se f (x) = g(x)p(x)

, p(x) ≠ 0, então g(x) = p(x) f (x), então :

f = gp⇒ g = f .p⇒ g ' = f ' p+ fp '⇒ f ' p = g '− fp '⇒

⇒ f ' p = g '− gpp '⇒ f ' p2 = g ' p− gp '⇒ f ' = g ' p− gp '

g2

f '(x) = g '(x)p(x)− g(x)p '(x)g2 (x)

Em resumo: f (x) =uv⇒ f '(x) = u 'v−uv '

v2

Portanto, a derivada do quociente de duas funções resulta no produto da derivada da primeira função vezes a segunda função; o produto da primeira função é subtraído da derivada da segunda e, em seguida, o resultado obtido é dividido pela segunda função elevada ao quadrado.

8. Derivada da função Composta

Sejam y = h(x) = f (g(x)) e u = g(x)Nestas condições, o cálculo é realizado conforme a seguir:

82

Δu = g(x+Δx)− g(x) ⇒ g(x+Δx) = u+ΔueΔh = h(x+Δx)−h(x) = f (g(x+Δx))− f (g(x)) = f (u+Δu)− f (u)

Então:

ΔhΔx

=h(x+Δx)−h(x)

Δx=f (u+Δu)− f (u)

Δx=f (u+Δu)− f (u)

Δu.ΔuΔx

=

=f (u+Δu)− f (u)

Δu.g(x+Δx)− g(x)

Δx

Porém, quando Δx→ 0 ⇒ Δu→ 0

Portanto: f (u+Δu)− f (u)

Δu.g(x+Δx)− g(x)

Δx= f '(u).g '(x) = f '(g(x)).g '(x)

Em resumo: f (x) = u(v)⇒ f '(x) = u '(v)*v '

9. Derivada de ou f (x) = ln(x) ou f (x) = log(x)

Esta derivada é obtida considerando a definição geométrica do logaritmo e da utilização do limite sobre

a razão incremental, f '(x) = limh→0

f (x+h)− f (x)h

.

Pela definição geométrica, o logaritmo natural de um número a é definido pela área da figura formada

pelo eixo x, pelas retas x = 1 e x = a e pela curva f (x) =1x, a >1 . Observe o gráfico:

Para calcular a derivada da função logaritmo, este conceito pode ser ampliado observando a figura formada pelo logaritmo de dois números reais x e x + h. Observe:

83

Observando figurão gráfico, fica fácil deduzir que:Área do retângulo CDFE < área da figura ADFE < área do retângulo ABEF, ou seja:

h. 1x< log(x+h)− log x < h. 1

x+hDividindo toda a expressão por h:hh. 1x<log(x+h)− log x

h<hh. 1x+h

Aplicando o limite sobre a desigualdade:

limh→0

1x< lim

h→0

log(x+h)− log xh

< limh→0

1x+h

⇒1x< lim

h→0

log(x+h)− log xh

<1x

Por transitividade:

f '(x) = limh→0

log(x+h)− log xh

=1x

10. Derivada de f (x) = exp(x) = ex

Esta derivada é obtida levando-se em conta que a função exponencial é a inversa da função logarítmica:Sejam: y = ex e x = ln y, entao :Dex = 1

D ln y=

11y

= y = ex

11. Derivada de f(x) = ax

Essa derivada é obtida levando-se em conta que ax = ex loga :Então: Dax = Dex loga = ex loga loga = ax loga

84

12. Tabela de Regras de Derivação

Função DerivadaK ZeroK*f k*f’f±g f’g’f*g f’*g + f*g’f/g f '*g− f *g '

g2

Xn n*xn-1

f(g) f’(g)*g’eu eu + u’au Ina*au*u’

log u ou Inu 1/u*u’ Ao lidar com regras de derivação, é comum trabalhar com diversas regras associadas. Veja os exemplos, nos quais, na primeira coluna, estão determinados os tipos de funções que predominam no exemplo; na segunda coluna, estão escritas as funções; na terceira coluna, foram aplicadas as regras de derivação; e na última coluna foram simplificadas as derivadas:

86

A Notação de LeibnizDois grandes matemáticos do século XVII, um inglês e outro alemão, ocuparam-se de estudar uma das estruturas matemáticas mais notáveis: cálculo diferencial e integral.Segundo Almeida (2003):

Por vezes é referido que o Cálculo foi inventado por esses dois grandes gênios matemáticos do século XVII, Newton e Leibniz. Na verdade, o Cálculo é o produto de um longo processo evolutivo que começou na Grécia Antiga e continuou no século XIX. Newton e Leibniz foram homens verdadeiramente notáveis e suas contribuições foram de uma importância decisiva, tendo o trabalho destes continuado após o seu desaparecimento. Problemas semelhantes estavam presentes nas mentes de muitos cientistas europeus do século XVII, sendo que cada um colaborou consideravelmente com engenhosos métodos de resolução de problemas.A grande realização de Newton e Leibniz foi reconhecer e explorar a intrínseca relação entre o problema da tangente a uma função, f (x), e a área sob esse mesmo gráfico, que na época ninguém entendia muito bem. Podemos dizer que eles foram os primeiros a entender profundamente o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da área. Este teorema, certamente um dos mais importantes da Matemática, foi descoberto por cada um deles, quase que simultaneamente e independentemente. Porém, sendo o trabalho de Leibniz mais claro, atribuíram-lhe todos os méritos. Os seus sucessores uniram os dois fantásticos raciocínios para criar uma arte de resolução de problemas de poder e versatilidade impressionantes.

Conhecer e saber utilizar a notação de Leibniz trará a você versatilidade para a resolução de problemas de variação, tão importantes na sua área de atuação, na qualidade de gestor público.A notação desenvolvida por Leibniz para a derivada é df

dx(x0 ) , que substitui a na notação desenvolvida

por Newton f '(x0 ) , que até então era utilizada.A diferença essencial entre as duas notações (representações) é que f '(x0 ) deve ser tratada como um símbolo único, enquanto df

dx(x0 ) deve ser entendida como derivada de f em relação à variável x,

no ponto x0, tratando-se de uma relação entre variações.Nestas condições, a derivada que era escrita assim:

y ' = f '(x) = limx→x0

0 f (x)− f (x0 )x − x0

Passa a ser escrita, pela notação de Leibniz, do seguinte modo:

dfdx(x0 ) = limx→x0

0 f (x)− f (x0 )x − x0

Considerando Δx = x − x0 , pode-se dizer que x = x0 +Δx e, com essa notação, a definição de

87

derivada será:dfdx(x0 ) = lim

Δx→0

ΔfΔx

= limΔx→0

f (x0 +Δx)− f (x0 )Δx

Outras notações para derivada podem ser encontradas na literatura:

y '(x0 ) =dydx(x0 ) = Dx f (x0 ) = Dxy(x0 ) =

dfdx(x0 )

Segunda Derivada e Derivadas de Ordem SuperiorConsiderando-se os elementos necessários e suficientes para o cálculo da derivada, pode-se afirmar que a segunda derivada nada mais é do que a derivada da derivada. Dessa forma, a obtenção de sucessivas derivadas é um processo simples:

• A derivada de f’ é a derivada segunda de f e se representa por f ’’.• A derivada de f’’ é a derivada terceira de f e se representa por f’’’.• Continuando o processo, obtêm-se as derivadas de ordem superior de f.

Veja o exemplo: seja a função y = x3 +5x2 + 3 , então:Primeira derivada: y ' = 3x2 +10x .Segunda derivada: y '' = 6x+10 .Terceira derivada: y ''' = 6 .Quarta derivada:yiv = 0 .

Diferencial

Boulos (1974, p. 77-9) define que: Se f é uma função derivável num ponto x, então podemos escrever (para h suficientemente peque-no):f (x+h)− f (x) = f '(x)h+hφ(h)Em que ø é contínua em 0 e limh→0 φ(h) = 0 .Chamaremos de acréscimo de f no ponto x relativamente ao acréscimo h ao número [...] ∆ƒ .O produto f’(x)h será chamado diferencial de f no ponto x relativamente ao acréscimo h e será indicado por [...] df.Em outras palavras: seja y = f(x) uma função derivável em x1 e seja ∆x um incremento de x, então:1. A diferencial de x é dada por dx = ∆x .2. A diferencial de y em x0 é dada por dy = f '(x0 )dx .Veja o exemplo:Obtenha a diferencial da função y = 10x4 para x = 1 e dx = 0,01.Para escrever a diferencial dy = f’(x)dx é preciso, primeiramente, calcular a de-rivada f '(x) = y ' :y ' =10*4x3 = 40x3

Logo, a diferencial será:dy = 40x3dxAo aplicá-la em x = 1 e dx = 0,01, o resultado será:

88

dy = 40*(1)3 *0,01dy = 0,40

Em outras palavras, enquanto a variável independente x varia 0,01, a variável dependente varia 0,40.

89

INSTRUÇÕES

Para uma aprendizagem eficaz, é imprescindível estudar sistematicamente. A fim de alcançar esse objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória”, que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

Pronto! Você chegou a um ponto crucial de seu aprendizado. A apreensão dos conteúdos referentes às derivadas e diferenciais trará para você a base conceitual necessária para a tomada de decisões consciente na sua área de atuação profissional.

Leia e resolva o problema proposto em seguida sem se preocupar com o rigor matemático; depois, resolva os demais, utilizando as ferramentas discutidas na “Leitura Obrigatória”.

Situação-problema: A empresa caseira de Mariana cresceu bastante e profissionalizou-se. Hoje, ela emprega diversas pessoas para conduzir as diferentes etapas de produção de seus deliciosos bombons. Para ajudar Mariana na administração da empresa, calcule o incremento (diferencial) no lucro para um incremento na produção de mais um bombom. Para tanto, considere a função receita dada por R(q) = 3q2 −6 , a função custo

C(q) = 2q2 +600q−6 e que a produção hoje é de q = 301 bombons por dia.


Questão 1 A derivada da função f (x)= 7x −5 no ponto de abscissa x = 3 vale:

a) 16.

b) 9.

c) 7.

d) 5.

e) 1.


Questão 2 A derivada da função g(x) =

2x −23x+1

no ponto de abscissa x = 1 vale:

a) 0,5.

b) 1.

c) 2.

d) 4.

e) 8.


Questão 3A diferencial da função y = 5x2 − 7x − 3 para x = 2 e dx = 0,001 é:

a) 20.

b) 13.

c) 7.

d) 0,013.

e) 0,001.

Agora é a sua vez

90


Questão 4 A derivada segunda de y = ln 2x

x+1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ é:

a)y ' = 2xx+1

y ' = 2x −1x

y ' = 2x(x+1)2

y ' = 4x2

x+1

y ' = 1x2 + x

b)

c)

d)

e)


Questão 5 Aponte a alternativa cuja derivada apresenta erro:

a)y = 13x −5 ⇒ y ' = 1

3

y = ln(3x2 −5) ⇒ y ' = 6x −53x2 −5

y = 75x5 − 2

3x3 + 3

2x2 − 3x+11 ⇒ y ' = 7x4 −2x2 + 3x − 3

y = 5x − 3( )4 ⇒ y ' = 20(5x − 3)3

y = 5x ⇒ y ' = 5x *ln5

b)

c)

d) e) Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Utilizando a tabela de regras de derivação, calcule as derivadas das funções apresentadas nos exercícios 6 a 9:

Questão6 y = (5x2 − 3)*(3x+2)


Questão 7

y = 1− 3x7x −5


Questão 8 y = x −2

3+ x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3


Questão 9

y = x2 +23


91

Questão 10 Calcule a diferencial da funçãoy =

x2

x −1 para x =

10 e dx = 0,0001.


92


• Acesse o site e-cálculo. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm >. Acesso em: 11 jul. 2012. O site apresenta uma breve história a respeito do nascimento do cálculo diferencial e integral, apontando diferenças e semelhanças nos trabalhos desenvolvidos por Newton e Leibniz, no século XVII.



Nesta aula, você estudou sobre derivadas e diferenciais. É preciso que você entenda e estude minuciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações no seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Derivada: expressão algébrica obtida por meio da aplicação do limite sobre a razão incremental. Pode ser tanto um número quanto outra função.

Diferencial: é uma medida obtida a parir da aplicação de técnicas de derivada; mede a variação de uma

LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

za b

d

l

m

khg f

pc

ji

or iln

stu

v

x w

x yi

qe

GLOSSÁRIO

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm

www.inep.gov.br


93

determinada grandeza a partir da variação de outra.

Razão incremental: é o quociente obtido pela divisão da variação do valor funcional pela variação das abscissas consideradas.


94



• Pontos críticos: máximos e mínimos locais e globais.

• Testes da primeira e da segunda derivadas.

• Funções marginais.

• Elasticidade.

Habilidades


• No seu campo de atuação, para que você utilizará um máximo ou um mínimo de uma função?

• Que tipos de análises de gráficos poderão ser realizados a partir do estudo de seus pontos críticos?

• Que tipos de informações poderão ser tratadas a partir do conceito de elasticidade em sua área de atuação profissional?

AULA 8


ícones:

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES E NAS ÁREAS ECONÔMICA E ADMINISTRATIVA

Tema 8

za b

d

l

m

khg f

pc

ji

or iln

stu

x w

x yi

qe


95

Aplicações Mais Comuns das Regras de Derivação nas Áreas Econômicas e Administrativas

Para que você possa se apropriar dos conceitos de aplicações de derivadas de funções da maneira correta e consistente, será apresentado a você um resumo a respeito desses elementos, que serão a base para o estudo de Funções Marginais, imprescindíveis na sua área de atuação. Estude com atenção.

Você aprenderá sobre diversas aplicações do cálculo de derivadas. O primeiro item a ser estudado será a busca de pontos críticos de uma função e sua possível classificação como máximos ou mínimos locais ou globais de uma função qualquer.

Domínio da Função

É possível estudar uma função considerando seu domínio máximo (conjunto dos números reais, a não ser em casos de exceções) ou determinando um domínio restrito (por exemplo, os reais positivos entre 0 e 20).

Uma função apresentará um máximo (ou mínimo) global quando todo o domínio de integridade da função for considerado (no caso de funções polinomiais, por exemplo, todo o conjunto dos números reais). Uma função apresentará um máximo (ou mínimo) local quando seu domínio for restringido; por exemplo, a função custo para .

Pontos Críticos de uma Função

O estudo dos extremos (máximos e/ou mínimos) de uma função está diretamente ligado à determinação dos pontos críticos por ela apresentados.

Os pontos críticos de uma função são determinados pelos limites inferiores e superiores do seu domínio e pelos valores de abscissas que zeram sua primeira derivada; contudo, é necessário observar que todo ponto extremo é um ponto crítico; porém, nem todo ponto crítico é um ponto extremo.

Determinação dos Pontos Críticos

Antes de aprender a calcular os pontos críticos, é preciso que você entenda sua importância: muitos autores destacam as necessidades que as empresas possuem com relação à determinação da produção que fornece seu lucro máximo ou às medidas que permitam realizar determinada tarefa ao custo mínimo,


96

entre outras.

Para determinar e analisar os pontos críticos de uma função (e também determinar as regiões de crescimento ou decrescimento e desenvolver uma ferramenta que permita a construção de seu gráfico de modo confiável), você aprenderá sobre alguns procedimentos estratégicos. A matemática fornece dois teoremas imprescindíveis para o cumprimento desta tarefa:

Teste da derivada primeira: Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c. (i) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c. (ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’ (x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo rela-tivo em c (ÁVILA, 1994, p. 224).

Observe que esse teste informa em que regiões do domínio a função cresce ou decresce, mas não explicita de que modo isso ocorre; a segunda derivada da função é que orienta nesse sentido:

Seja f uma função diferenciável (pelo menos até a segunda derivada) em um intervalo (a, b). Se f ’’(x) > 0 para todo x em (a, b), então a função primeira derivada f ’(x) é crescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para cima. Analogamente, se f ’’(x) < 0 para todo x em (a, b), então a função primeira derivada f ’(x) é decrescente em (a, b) e a concavidade do seu gráfico é voltada para baixo (ÁVILA, 1994, p. 224).

Ponto de Inflexão

Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado “ponto de inflexão” se a concavidade do gráfico muda neste ponto.

Observe o exemplo: determine os pontos críticos da função y = x2 − 3x+ 4 definida em

D = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5} .

Os pontos críticos são dados pelos limites inferior e superior do domínio da função e pelos zeros (raízes) da primeira derivada. Então:

Limite inferior: x = 0.

Limite superior: x = 5.

Raízes da derivada. Para isso, a derivada: y ' = 2x − 3 é necessária. Em seguida, calcule as raízes da derivada:

97

y ' = 2x − 30 = 2x − 32x = 3x =1,5

Resumindo: os pontos críticos são 0; 1,5 e 5.

Ponto Máximo e Ponto Mínimo

São chamados de pontos de máximo e de mínimo de uma função, os pontos extremos do domínio nos quais a função atinge seu valor máximo e seu valor mínimo, respectivamente. Assim, M e m serão os valores máximo e mínimo se existirem pontos no domínio XM e Xm , tais que: m ≤ f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) =M , qualquer que seja x ∈ Df .

A matemática pressupõe que não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. Contudo, é possível mostrar que funções reais definidas em intervalos fechados possuem tanto máximo como mínimo locais.

Pontos de máximo local (ou pontos de mínimo local) são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio restrito de f.

Os máximos ou os mínimos de uma função estarão entre os pontos críticos por ela apresentados.

Retornando ao exemplo anterior, refaça o exercício conforme a seguir: determine entre os pontos críticos da função y = x2 − 3x+ 4 definida em D = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5} seus valores de máximo e de mínimo.

Pontos críticos: 0; 1,5 e 5. Para determinar os extremos, basta fazer:

Valor de x Valor de y Mínimo ou máximo?0 4 -1,5 1,75 Menor valor = mínimo5 14 Maior valor = máximo

Máximos ou mínimos serão ditos globais se forem calculados considerando-se o domínio de integridade de cada função (conjunto dos números reais exceto restrições).

Exemplo: determine os pontos críticos da função y = x2 − 3x+ 4 definida em D =ℜ e seus valores de máximo e de mínimo.

Nesse caso, como D =ℜ não têm limite inferior e superior para serem eleitos pontos críticos, resta, então, a raiz da derivada, que é igual a 1,5. Será necessário aplicar a regra da primeira derivada para

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saber se o ponto é máximo ou mínimo.

Regra da Primeira Derivada

De acordo com Ávila (1994),

Seja f uma função contínua em [a, b]. Considere c ∈ (a,b) um ponto crítico e f derivável em (a, b), exceto, possivelmente, em x = c. Então:

1. Se existe ε > 0 tal que f '(x) < 0 para x ∈ (c−ε, c) e f '(x) > 0 para x ∈ (c, c+ε), então P(c, f (c)) é um ponto de mínimo local.

2. (2) Se existe ε > 0 tal que f '(x) > 0 para x ∈ (c−ε, c) e f '(x) < 0 para x ∈ (c, c+ε) , então P(c, f (c)) é um ponto de máximo local.

3. Se existe ε > 0 tal que f '(x) não muda de sinal no intervalo (c−ε, c+ε) , então P(c, f (c)) não é ponto nem de máximo nem de mínimo local.

Para auxiliá-lo em sua compreensão, observe o exemplo a seguir: determine os pontos críticos da função y = x2 − 3x+ 4 definida em D =ℜ e seus valores de máximo e de mínimo.

Já se sabe que como D =ℜ , o único ponto crítico é x = 1,5. Para saber se x = 1,5 é ponto de máximo ou de mínimo, é preciso aplicar a regra da primeira derivada.

Função: y = x2 − 3x+ 4 .

Derivada da função: y ' = 2x − 3 .

Assim, considere o valor ε , que será sempre um valor muito pequeno, um incremento. Considere que ε = 0,01. Para fazer os cálculos, você utilizará:

Primeiro valor: c−ε =1,5−0,01=1,49 .

Segundo valor: c+ε =1,5+0,01=1,51 .

Procedimento:

Função deriva-da Valores de x Valor de y’ obtido Sinal da derivada

y ' = 2x − 31,49 y ' = 2*1,49− 3= −0,02 Negativo

1,51 y ' = 2*1,51− 3= 0,02 Positivo

O sinal da derivada em torno de x = 1,5 passa de negativo para positivo, por isso, x = 1,5 é ponto de mínimo.

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Exemplo 2: determine os pontos críticos da função y = −x2 −12x definida em D =ℜ e seus valores de máximo e de mínimo.

Como D =ℜ , o único ponto crítico é a raiz da derivada que é x = –6. Para saber se x = –6 é ponto de máximo ou de mínimo, aplique a regra da primeira derivada:

Função: y = −x2 −12x .

Derivada da função: y ' = −2x −12 .

Considere o valor ε , que será sempre um valor muito pequeno, um incremento. Considere que ε = 0,01 . Para fazer os cálculos, utilize os itens a seguir:

Primeiro valor: c−ε = −6−0,01= −6,01 .

Segundo valor: c+ε = −6+0,01= −5,99 .

Procedimento:

Função deriva-da Valores de x Valor de y’ obtido Sinal da derivada y ' = −2x −12

–6,01 y ' = −2*(−6,01)−12 = 0,02 Positivo

–5,99 y ' = −2*(−5,99)−12 = −0,02 Negativo

O sinal da derivada em torno de x = –6 passa de negativo para positivo, por isso, x = –6 é ponto de máximo.

Exemplo 3: determine os pontos críticos da função y = x3 definida em D =ℜ e seus valores de máximo e de mínimo.

Já se sabe que, como D =ℜ , o único ponto crítico é a raiz da derivada que é x = 0. Para saber se x = 0 é ponto de máximo ou de mínimo, a regra da primeira derivada é aplicada.

Função: y = x3 .

Derivada da função: y ' = 3x2 .

Assim, considere que o valor ε será sempre um valor muito pequeno, um incremento. Considere que ε = 0,01. Para fazer os cálculos para x = 0, utilize:

Primeiro valor: c−ε = 0−0,01= −0,01 .

Segundo valor: c+ε = 0+0,01= 0,01 .

Procedimento:

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Função deriva-da Valores de x Valor de y’ obtido Sinal da derivada y ' = 3x2

–0,01 y ' = 3*0,012 = 0,0003 Positivo

0,01 y ' = 3*(−0,01)2 = 0,0003 Positivo

O sinal da derivada em torno de x = 0 não se modifica, por isso, x = 0 não é ponto de máximo nem ponto de mínimo.

Regra da Segunda Derivada

Ávila (1994) define:

Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f’ seja uma função contínua, e vamos supor que f possui um ponto crítico x = c em S, isto é, f’(c) = 0. Então, (1) Se f ”(c) < 0, então x = c é um ponto de máximo para a função f; (2) Se f ”(c) > 0, então x = c é um ponto de mínimo para a função f.

Em outras palavras, caso o critério da primeira derivada não tenha sido suficiente para determinar se um ponto crítico é de máximo ou mínimo, o critério da segunda derivada será utilizado.

Suponha que, para determinar os pontos críticos da função y = x2 − 3x+ 4 definida em e seus valores de máximo e de mínimo, a primeira derivada não respondesse que a função possui um mínimo.

Nesse caso:

Função: y = x2 − 3x+ 4 .

Primeira derivada da função: y ' = 2x − 3 .

Segunda derivada da função: y '' = 2

O sinal da segunda derivada é positivo, já que ela é igual a 2; portanto, é um ponto de mínimo.

Observe agora o seguinte exemplo: determine os pontos críticos da função y = x3 definida em D =ℜ e seus valores de máximo e de mínimo. A resolução será conforme a seguir:

Função: y = x3 .

Primeira derivada da função: y ' = 3x2 .

Segunda derivada da função: y '' = 6x .

Ao fazer x = 0, a segunda derivada será y’’ = 0, que não é positivo nem negativo, por isso, em x = 0, não

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há nem máximo nem mínimo da função, apesar de x = 0 ser ponto crítico.

Lembre-se de que:

Seja f uma função definida em um intervalo I, então, f será crescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 ∈ I tais que x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2 ) e f será decrescente nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 ∈ I tais que x1 > x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2 ) .

Para finalizar, você poderá utilizar o conhecimento desenvolvido até aqui como auxílio na confecção de gráficos. Para tanto, proceda da seguinte maneira:

I. Determine o domínio da função.

II. Calcule os pontos de intersecção com os eixos.

III. Identifique os pontos críticos.

IV. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

V. Encontre os máximos e mínimos relativos.

VI. Determine a concavidade e os pontos de inflexão.

VII. Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

VIII. Esboce o gráfico.

Aplicações das Derivadas nas Áreas Econômicas e Administrativas

Pronto! Você chegou ao ponto mais importante do seu estudo: as aplicações específicas do estudo de derivadas nas áreas administrativas. Aqui, você encontrará a aplicabilidade para tudo que aprendeu sob o ponto de vista da matemática em todos os itens anteriores.

Funções Marginais

Nas áreas de Administração e Economia – especialmente –, considera-se que, dada uma função qualquer f(x), o conceito de função marginal será utilizado para que se possa avaliar o efeito causado na função f(x) por uma pequena variação de x (um incremento em x).

Assim, é chamada de função marginal de f’(x) a função derivada de f(x). Nessa linha de pensamento, a função custo marginal é a derivada da função custo; a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.

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Função Custo Marginal

Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certo produto (lembre-se de que quantidade e custo são grandezas não negativas), com x ≥ 0 e C(x) ≥ 0 .

Se a função C(x) é chamada de função custo total, então C’(x) determinará o custo marginal quando x = x0 .

Exemplo: seja C(x) = 0,02x 2+4x+110 o custo total de fabricação de x unidades de um produto de uma determinada marca. Determine o custo marginal quando x = 50.

Para resolver, primeiramente a derivada é utilizada:

C '(x) = 0,04x+ 4

Depois, x é substituído por 50:C '(50) = 0,04 *50+ 4C '(50) = 6Assim, é possível calcular o custo de fabricação da quinquagésima primeira unidade do produto, que é:

C '(50) ≅ ΔC =C(51)−C(50)C(51)−C(50) = (110+ 4 *51+0,02*512 )− (110+ 4 *50+0,02*502 )C(51)−C(50) = 366,02− 360C(51)−C(50)= 6,02

Função Receita Marginal

Suponha que R(x) seja a receita total obtida pela venda de x unidades de um produto, então, R’(x) será chamada de receita marginal.

Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades.

Exemplo: seja R(x) = −4x2 +2.000x . Calcule a receita marginal para x = 40.

O cálculo da derivada é obtido do seguinte modo: R '(x) = −8x+2.000 .

Aplicando a derivada para x = 40, o resultado será:

R '(40)= −8*40+2.000R '(40) =1.680

103

Função Produtividade Marginal

Seja a função de produção P(x) que dependa da quantidade x de um fator de produção variável. A função produtividade marginal será dada por P’(x) em relação a x.

Exemplo: determine a produtividade marginal quando x = 64 para a função P(x) =1016 x , em que P (em toneladas) representa a produção em um mês de certo produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora).

O procedimento é sempre o mesmo: primeiramente, é preciso calcular a deri-vada: P '(x) = 508x

.

Substituindo x por 64, o resultado será: P '(64) =50864

=5088

= 63,5 .

Elasticidade

As leis da oferta e da procura possibilitam apontar a direção que o mercado assumirá mediante uma mudança de preços. É comum observar que a demanda cai quando o preço aumenta e que a oferta aumenta quando o preço aumenta, contudo, a análise dessas tendências não informa o quanto mais os consumidores demandarão ou quanto mais os produtores oferecerão. Para isso, o conceito de elasticidade é utilizado:

A elasticidade é utilizada para medir a reação das pessoas em face das mudanças em variáveis econômicas. Por exemplo, para alguns bens, os consumidores reagem bastante quando o preço sobe ou desce, e para outros, a demanda fica quase inalterada quando o preço sobe ou desce. No primeiro caso, se diz que a demanda é elástica e, no segundo, que ela é inelástica. Do mesmo modo, os produtores também têm suas reações e a oferta pode ser elástica ou inelástica (SHEFFRIN; O’SULLIVAN, 2000).

Murolo e Bonetto (2012) fazem a seguinte narrativa:

Se houver um considerável aumento no preço do sal, a demanda dos consumidores praticamente não se altera, uma vez que tal produto é indispensável e tem pouco peso no orçamento doméstico; entretanto, se houver um considerável aumento no preço da carne bovina, a demanda se alterará, uma vez que tal produto pode ser substituído por outros tipos de carne, além de ter grande peso no orçamento doméstico.

Elasticidade-Preço da Demanda

A elasticidade-preço da demanda (Ed) mede a reação dos consumidores às mudanças no preço.

Essa reação é calculada pela razão entre dois percentuais. A variação percentual na quantidade

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demandada é dividida pela mudança percentual no preço.

Nunes (2006), em seu Dicionário de Economia, define elasticidade da seguinte maneira:

Representa o grau de sensibilidade de uma variável dependente (por exemplo, a oferta ou a procura de determinado bem) em face de mudanças em uma ou mais variáveis que a determinam (por exemplo, o preço de um input, preço de mercado, preço de um bem relacionado ou rendimento dos consumidores), permanecendo as restantes variáveis constantes. [...] Algebricamente, a elasticidade é dada pela variação percentual na variável dependente dividida pela mudança percentual na variável que a determina E = dq

dp* pq

. [...] Por exemplo, a elasticidade da procura de determinado bem perante seu preço mede a percentagem de variação na procura originada pela variação de 1% no seu preço de mercado.

Observe o exemplo a seguir: a demanda para um tipo de produto é dada por q = 100 – 5p, em que o preço varia no intervalo 0 ≤ p ≤ 20. (a) Obtenha a função que mede a elasticidade-preço da demanda para cada preço; (b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 5, p = 10 e p = 15 e interprete as respostas.

Para resolver, basta fazer:

Se E = dqdp* pq,então :

E = ddp(100−5p)* p

100−5p

E = (0−5)* p100−5p

E = − 5p100−5p

E substituir os preços, conforme foi solicitado:

temos que E = − 5p100−5p

,então :

p = 5⇒ E = − 5*5100−5*5

= −0,33

p =10⇒ E = − 5*10100−5*10

= −1

p =15⇒ E = − 5*15100−5*15

= −3

Interpretando as respostas conforme foi solicitado, o resultado será:

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• Para o preço p = 5, a elasticidade calculada é E ≈ - 0,33, o que indica que, se houver um aumento de 1% para o preço p = 5, a demanda diminuirá 0,33%, aproximadamente.

• Para o preço p = 10, a elasticidade calculada é E ≈ - 1, o que indica que, se houver um aumento de 1% para o preço p = 10, a demanda diminuirá 1%, aproximadamente.

• Para o preço p = 15, a elasticidade calculada é E ≈ - 3, que indica que, se houver um aumento de 1% para o preço p = 15, a demanda diminuirá 3%, aproximadamente.

Classificação de Bens com Relação à Elasticidade-Preço da Demanda

Se a elasticidade-preço do bem for maior que 1, diz-se que a demanda por esse bem é elástica. A variação percentual na quantidade excede a variação percentual no preço, isto é, os consumidores são bastante sensíveis a variações no preço.

Se a elasticidade-preço do bem for menor que 1, diz-se que a demanda por esse bem é inelástica. A variação percentual na quantidade é menor que a variação percentual no preço, isto é, os consumidores são relativamente insensíveis a variações no preço.

Se a elasticidade-preço do bem for igual a 1, diz-se que a demanda por esse bem é de elasticidade neutra. A variação percentual na quantidade é igual à variação percentual no preço.

Elasticidade e Bens Substitutos

A elasticidade-preço da demanda para um bem em particular é influenciada pela disponibilidade ou não de bens substitutos. Observe bem: quanto mais bens substitutos estiverem disponíveis no mercado, mais elástica é a demanda; se não há bens substitutos disponíveis, a demanda é inelástica.

Fatores Determinantes da Elasticidade

• Tempo: elasticidade de curto-prazo e elasticidade de longo-prazo. Quanto mais tempo os consumidores tiverem para procurar produtos substitutos, maior será a intensidade de sua reação.

• Espaço: a elasticidade de um mercado é diferente da elasticidade de uma única empresa. A elasticidade do mercado diz o quanto a quantidade global mudará se o preço geral mudar, contudo, se uma única empresa muda seu preço, a elasticidade é definida de outra maneira.

• Participação no orçamento: se um bem representa pouco do orçamento total do consumidor, a reação será menor a variações de preço, mas se o bem tem uma participação razoável no orçamento, então as reações serão maiores.

• Bens necessários versus bens supérfluos: para bens essenciais, tais como pão, arroz, feijão,

106

carne e medicamentos específicos, a demanda é mais inelástica. Para bens de luxo, tais como carros, viagens e motocicletas exclusivas, a demanda é mais elástica.

Sheffrin e O’Sullivan apresentam a tabela em seguida, que apresenta a elasticidade de preço de demanda para alguns produtos comuns:

Produto EdSal 0,1

Água 0,2Café 0,3

Cigarros 0,3Calçados 0,7Habitação 1,0

Automóveis 1,2Refeições em restaurantes 2,3

Viagens de avião 2,4Cinema 3,7

Marcas específicas de café 5,6

Os economistas consideram que a elasticidade-preço da demanda para um bem pode quantificar e predizer o quanto mais de um bem será vendido a um preço menor (ou maior) e vice-versa.

Sheffrin e O’Sullivan (2000) apresentam o seguinte exemplo:

Suponha que a elasticidade da demanda por filmes num cinema seja de quantos ingressos a menos o dono do cinema esperaria vender a um preço mais elevado. Se o dono aumenta em 15% o preço, então ele espera uma queda de 30% na quantidade de clientes. [...] O preço era R$ 5,00 e ele tinha uma demanda diária de 200 espectadores. A R$ 5,75, ele espera ter 140 espectadores (200 - 60, em que 60 é 30% de 200). Ele pode então calcular se vale a pena aumentar os preços. Na situação atual, sua receita é de R$ 1.000,00 (5*200); com o aumento, sua receita passará a ser R$ 805,00 (5,75*140). Neste caso, não vale a pena aumentar os preços dessa maneira.

Geralmente, considera-se que o aumento de preço tem dois efeitos, do ponto de vista do empresário:

• Efeito positivo de vender a um preço mais alto.

• Efeito negativo de vender menos.

A decisão de aumentar ou não o preço dependerá de qual dos efeitos supera o outro.

Elasticidade-Preço da Oferta

107

A elasticidade-preço da oferta (Eo) mede a reação dos vendedores às mudanças no preço. Da mesma forma que a elasticidade-preço da demanda, a elasticidade preço da oferta também é calculada pela razão entre dois percentuais. A variação percentual na quantidade ofertada é dividida pela mudança percentual no preço, ou seja, utiliza-se a mesma fórmula utilizada anteriormente:

E = dqdp* pq

Entre os determinantes estudados, o tempo possui uma grande importância, pois a elasticidade de curto prazo será, em geral, diferente da de longo-prazo. Assim, ao longo do tempo, quando as empresas têm possibilidade de reagir mais intensamente às variações de preço, a curva de oferta tornar-se-á cada vez mais elástica.

Elasticidade-Renda

Utilizada para medir a reação dos consumidores a mudanças em sua renda. Para bens normais, há uma relação positiva entre renda e quantidade demandada. Logo, a elasticidade-renda é positiva. Para bens inferiores, há uma relação negativa entre renda e quantidade demandada; logo, a elasticidade-renda é negativa.

Elasticidade Cruzada

A elasticidade cruzada é utilizada para medir a reação dos consumidores às mudanças de preços de bens afins. É definida como a variação percentual na quantidade demandada de um produto em particular dividida pela variação percentual no preço de um bem afim.

Para bens substitutos, há uma relação positiva entre quantidade demandada do bem e variação de preço do substituto; logo, a elasticidade cruzada de bens substitutos é positiva.

Para bens complementares, há uma relação negativa entre quantidade demandada do bem e preço do bem complementar; logo, a elasticidade cruzada é negativa.

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INSTRUÇÕES

Para uma aprendizagem eficaz, é imprescindível estudar sistematicamente. A fim de alcançar esse objetivo, retorne ao item “Leitura Obrigatória”, que reúne conceitos importantes da aula ministrada e apresenta alguns exemplos que servem de roteiro para solução dos exercícios/problemas propostos.

PONTO DE PARTIDA

Pronto! Você chegou ao fim dessa etapa de aprendizado. Parabéns! Leia e resolva o problema proposto em seguida sem se preocupar com o rigor matemático; depois, resolva os demais, utilizando as ferramentas discutidas na “Leitura Obrigatória”.

Situação-problema: você tem acompanhado a história da empresa de Mariana. Considere que a equação da demanda dos bombons é dada pela função . Calcule o efeito causado pelo aumento do preço do bombom de R$ 2,00 para R$ 2,50, utilizando o princípio da elasticidade preço da demanda.


Questão 1 Os pontos críticos da função f (x) = −x+1 no intervalo 1≤ x ≤ 5 são:

a) 1.

b) 5.

c) 1 e 5.

d) 2 e 5.

e) 0, 1 e 5.


Questão 2 Os pontos críticos da função f (x) = x2 no intervalo −1≤ x ≤ 2 são:

a) -1.

b) 0.

c) 2.

d)-1, 2 .

e)-1, 0, 2.


Questão 3A função f (x) = −x+1 no intervalo 1≤ x ≤ 5 apresenta:

a) Somente um mínimo local.

b) Somente um máximo local.

c) Um máximo e um mínimo locais.

d) Somente um máximo global.

e) Somente um mínimo global.


Agora é a sua vez

109

Questão 4 A função f (x) = x2 no intervalo −1≤ x ≤ 2 apresenta:

a) Somente um mínimo local.

b) Somente um mínimo global

c) Somente um máximo local.

d) Um máximo e um mínimo locais.

e) Nem máximo nem mínimo.


Questão 5 De acordo com a regra da segunda derivada, a função y = 2x4 − x2 no ponto de abscissa x= 0,5 apresenta:

a) Um máximo local.

b) Um mínimo local.

c) Um máximo global.

d) Um mínimo global.

e) Nem máximo nem mínimo.Verifique seu desempenho nesta questão, clicando no ícone ao lado.

Questão6 Obtenha a diferencial de y = f (x) = x

1− x no ponto x0 = 2 para dx = 0,1 .


Questão 7 Considere a função y = f (x) = x2 −5x . Calcule dy para x0 = -1 e dx = 0,01 .


Questão 8 Dada a função custo C(x) = 0,3x3 −2,5x2 +20x+200, obtenha o custo marginal para x = 50 e x = 100.


Questão 9 Dada a função receita R(x) = 3x

2 +1500x , obtenha a receita marginal quando x = 250.


Questão 10 A quantidade P (em quilogramas) produzida por dia de certo produto e x trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P(x) =100 x + x2 −5x+ 7 . Determine:

a) A função produtividade marginal.

110

b) A produtividade marginal quando x = 36.


111


• Acesse o site e-cálculo. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm >. Acesso em: 11 jul. 2012. O site apresenta uma breve história a respeito do nascimento do Cálculo Diferencial e Integral, apontando diferenças e semelhanças nos trabalhos desenvolvidos por Newton e Leibniz, no século XVII.



Nessa aula, você estudou as aplicações de derivadas no universo da Administração e suas áreas afins. É preciso que você entenda e estude minu-ciosamente estes conceitos, pois todos eles têm aplicações no seu cotidiano. Para reforçar seu aprendizado, resolva os exercícios propostos no Livro-Texto.

Derivada: expressão algébrica obtida por meio da aplicação do limite sobre a razão incremental. Pode ser tanto um número quanto outra função.

Diferencial: uma medida obtida a parir da aplicação de técnicas de derivada; mede a variação de uma determinada grandeza a partir da variação de outra.


LINKS IMPORTANTES

FINALIZANDO

za b

d

l

m

khg f

pc

ji

or iln

stu

v

x w

x yi

qe

GLOSSÁRIO

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm

www.inep.gov.br


112

REFERÊNCIASALMEIDA, Suzana Gorete Almeida. História da Matemática: Newton e Leibniz. Lisboa: Universidade

Católica Portuguesa, 2003. Disponível em: <http://jorgecabral.planetaclix.pt/monografia_susana.pdf>. Acesso em: 12 jun. 2012.

ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte, v. 1. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza. Cálculo Diferencial e Integral: funções de uma variável. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.

BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Matemática 1. São Paulo: Moderna, 1989.

BONGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO, Olímpio R.; LAUREANO, José L. T. Matemática e Vida, segun-do grau, v. 1. São Paulo: Ática, 1993.

BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo: cálculo diferencial, v. 1. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.

BUSHAW, Donald et al. Aplicações da matemática escolar. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1997, p. 214-5.

CONJUNTO. In: FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portu-guesa. 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986, p. 455.

DI PIERRO NETTO, Scipione et al. Elementos de matemática, primeira e segunda séries, segundo grau. São Paulo: Scipione, 1979.

DI PIERRO NETTO, Scipione; ORSI FILHO, Sérgio. Quanta – Matemática para o Ensino Médio, v. 1. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 1999.

HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo e Aplicações. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1999.

IEZZI, Gelson et al. Matemática, primeira série, segundo grau, 14. ed. São Paulo: Moderna, 1991.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: conjuntos e funções. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.

LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1985.

MEDEIROS, Sebastião et al. Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências Con-tábeis, v. 1. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1999.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Eco-nomia e

113

Contabilidade. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Cencage Learning, 2012.

NUNES, Paulo. Dicionário de economia. Nota Positiva, 2006. Disponível em: <www.notapositiva.com/dicionario_economia/procurarigida.htm>. Acesso em: 12 jun. 2012.

SHEFFRIN, Steven M.; O’SULLIVAN, Arthur. Princípios de economia. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

SMOLE, Kátia C. S.; KIYUKAWA, R. Matemática – Ensino Médio, v. 1. São Paulo: Saraiva, 1998.

WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1986.

114

CONCEITO DE FUNÇÃO

Questão 1: alternativa C.

Questão 2: alternativa D.

Questão 3: alternativa E.

Questão 4: alternativa B.

Questão 5: alternativa A.

Questão 6: (a) y = x − 15

; (b) y = 1x+12

Questão 7: (a) y− x+2 = 0

GABARITO

Tema 1

Questões

115

(b) y = x2 +2x −8

Questão 8: x = 2.

Questão 9: substituindo os valores de x em y = x - 1 , o resultado será .

Questão 10: (a) é crescente; (b) é crescente.

FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

Questão 1: alternativa C.

Questão 2: alternativa D.


Tema 2

Questões

116

Questão 4: alternativa e.

Questão 5:alternativa d.

Questão 6: y = 2x+1 .

Questão 7: 0 ≤ p ≤ 9 e 0 ≤ D ≤ 45 .

Questão 8: trata-se de função decrescente; fato verificado, quaisquer que sejam os pares ordenados estabelecidos; pares que determinarão o seguinte gráfico:

Questão 9: D = 2.000 pacotes e o preço deve ser R$ 10,00.

Questão 10: o preço deve ser menor que R$ 1.265,00.

FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU



Tema 3

Questões

117

Questão 3: alternativa A.



Questão 6: a demanda máxima é D =18,25.

Questão 7: (a) (20, 12); (b) (4, 6).

Questão 8: preço p > 8.

Questão 9: preço p = 3 e quantidade q = 7.

Questão 10: o valor máximo da receita total é RT = 288.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Tema 4

118

Questão 1Resposta: 1. 2.121.800 habitantes. Questão 2Resposta: Unidades produzidas: 810.

Questão 3Resposta: y = 1000.0,10x, em que x representa o número de anos e y representa o preço da passa-gem. Questão 4Resposta: y = P0 .0,9

x, em que x representa o número de anos e y representa o preço do carro, des-

valorizado.

Questão 5Resposta: Considerando janeiro como ponto de partida, os resultados serão:a) Março: R$ 52,02; abril: R$ 53,06 e maio: R$ 54,12.b) 6 meses: julho.c)

Questão 6Resposta: Amostras:

Questões

119

a) 200 e 414.b) Ao menos 12 caixas.

Questão 7Resposta:Depósitos.a) R$ 216,32 e R$ 253,06.b) R$ 220,50 e R$ 268,02.

Questão 8Resposta: 8. Ao menos 10 meses. Questão 9Resposta: 9. 8,731066% no ano.

Questão 10Resposta: 10. 25.500% no período.

LOGARITMOS E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Questão 1Alternativa C

Questão 2Alternativa E

Questão 3alternativa B

Questão 4 Alternativa A


Tema 5

Questões

120

Questão 6y =1500.1,15n em que n = prazo de aplicação.

Considere a variação de y, de 1.000 em 1.000 unidades.

Questão 7Montantes:a) R$ 1.725,00.b) R$ 1.883,75.c) R$ 2.281,31.d) R$ 2.623,50.

Questão 8R$ 1.571,53.

Questão 95 trimestres.

Questão 10Gráficos:

a) b)

121

FUNÇÃO POTÊNCIA, FUNÇÃO POLINOMIAL E FUNÇÃO RACIONAL

Questão 1Alternativa D



Questão 4Alternativa D Questão 5Alternativa A Questão 6Resposta: S = {± 2,± 3}

Questão 7Resposta: Tabela e gráfico:

x y - √3 0–1,5 –0,1875 -√2 00 6 √2 01,5 –0,1875 √3 0

Tema 6

Questões

122

Questão 8Resposta: Intervalos de crescimento:

Crescente em: ]− 2,5; 0[ e ] 2,5;+∞[

Decrescente em: ]−∞; − 2,5[ e ]0, 2,5[

Questão 9Resposta:

123

Questão 10Resposta: A função é crescente para todo x do domínio da função.

CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO


Questão 2Alternativa A



Questão 5Alternativa B

Questão 6

y ' = 45x2 +20x −9

Questão 7

y ' = 8(7x −5)2

Questão 8

y ' =15 x −2( )2

3+ x( )4

Tema 7

Questões

124

Questão 9

y ' = 2x3(x2 +2)

23

Questão 10

dy = 427

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES E NAS ÁREAS ECONÔMICA E ADMINISTRATIVA






Questão 6Resposta: 0,1 Questão 7Resposta: -0,07

Tema 8

Questões

125

Questão 8Resposta: 2.020 e 8.520

Questão 9Resposta: 3000

Questão 10Resposta: 75,3

126

Supervisão Editorial:Barbara Monteiro Gomes de Campos Juliana Cristina e Silva Diagramação:Glauco Berti de Oliveira

Revisão Textual:Débora Pereira

Editoração Eletrônica:Celso Luiz Braga de Souza FilhoGlauco Berti de OliveiraMaurício Rodrigues de Moraes

Capa:Fourmi Comunicação e Arte

FICHA TÉCNICA

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