M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Multiplicadores de Lagrange

¿Cómo optimizar una función

cuando sus variables están

sujetas a una restricción?

El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un artículo sobre Mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años !

Lagrange fue el primer analista pues escribió con rigor y precisión sus ideas matemáticas. Fue el primero en usar la notación f ’(x) y f ’’(x) para la derivadas.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

¿Qué es un extremo condicionado de F?

Es un extremo (máximo o mínimo) de la función F,cuando (x,y) vive sobre una curva del plano, g(x,y) = K, en el dominio de F. Es decir, (x,y)satisface una condición o restricción.Por ejemplo:

Y- 2x = 4

Máximo relativo

Máximo condicionado

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

¿ Cuál es la utilidad ?Con este método podemos saber:¿Cómo distribuir una cantidad fija de dinero? en:

• desarrollo y en promoción • mano de obra y equipos• recursos físicos

de modo de optimizar el beneficio, la producción,

el ingreso, etc.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

El métodoSea F(x,y) la función objetivo.Supongamos que (x,y) están condicionadas por la ecuación g(x,y) = K.F y g son funciones suaves.

Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujetoa g(x,y) = K en el punto (x0,y0) entonces

existe un escalar tal que:

K. )y,g(x

)y,(x g )y,(x F

)y,(x g )y,(x F

00

0000

0000

yy

xx

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Significado geométrico

En el plano xy, dibujamos la condición x+y = 1, en rojoy vamos dibujando las curvas de nivel del objetivo F(x,y) en azul, hasta lograr que los vectores (Fx,Fy) y (gx,gy) sean paralelos.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Y- 2x = 4

g(x,y) = k

F(x,y) = C

La curva de nivel más alta que intersecta a la curva restricción

Y

XCT F

Fm

Y

XCR g

gm

Y

X

Y

X

gg

FF

Y

Y

X

X

gF

gF

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Ejemplo 1Máximo relativo

Máximo condicionado

F(x,y) = 9- x2 – y2

F = 0

F = 9/2

F = 0

F = 9/2

x + y = 3

G(x,y) = x + y = 3

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Ejemplo 2Hallar los valores máximo y mínimo de

si (x,y) vive sobre la recta x + y = 1

221y)F(x, yx

Tenemos que g(x,y) = x + y entonces las derivadas

son:

1 y)(x,g 1 y)(x,g

2yy)(x,F2x y)(x,F

xx

yx

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… Ejemplo 2

Al hacer el sistema, conseguimos: - 2x = ; - 2y = ; x + y = 1.Cuya solución es

(x,y) = (1/2, 1/2) y = -1.

F (1/2, 1/2) = 1/2 puede ser el valor extremo condicionado. ¿Cómo sabemos si el punto es máximo o mínimo

condicionado?- Comparando con otro punto sobre la restricción.

F(1,0) = 0 < 1/ 2 = F(1/2, 1/2)

Concluimos que (1/2, 1/2) es un máximo condicionado

y el valor máximo condicionado es 1/ 2.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Ejemplo 3Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la

cerca, de manera que el área encerrada sea lo más

grande posible? x

Función objetivo: Area y

Restricción: Perímetro = 320

x, y 0

Queremos:Optimizar F(x,y) = x.y, sujeto a 2x + 2y = 320

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… Ejemplo 3

Al hacer el sistema, conseguimos: y = 2 ; x = 2 ; 2x + 2y = 320.

Cuya solución es

(x,y) = (80, 80) y = 40.

F (80, 80) = 6400.Comprobamos que es un máximo, al comparar con otro

puntosobre la restricción.

F(100,60) = 6000 < 6400

Concluimos que:La mayor área que puede encerrarse con 320 mts de cerca es de 6400 metros cuadrados y corresponde

a un cuadrado, cuyo lado mide 80 mts.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Significado del multiplicador

Si M es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la restricción g(x,y) = K, entonces: = dM/dK.Por lo tanto,

M/K variación de M si K = 1 .

La demostración de este hecho puede conseguirla en su libro en la página 545.

Por ejemplo, en el caso anterior si nos dan un metro adicional de cerca, el área encerrada aumenta en 40 metros cuadrados …

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Ejercicio Ejercicio 28, pág 549 del Hoffmann

PVP de un producto: 150 $ la unidad. Si se gastan: x miles de $ en promoción, y miles de $

endesarrollo, se venden 320 y + 160x unidades del producto

y + 2 x + 4 El costo de producción es: 50 $ la unidad.El fabricante dispone de 8.000 $ para desarrollo y promoción.

¿Cómo debe distribuirse este dinero para generar el mayor beneficio posible?

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… Ejercicio

Función objetivo: Beneficio.Restricción: Fondos disponibles para desarrollo y promoción.Optimizar

y)1000(x4x

160x2y

320y100 y)B(x,

en dólares, sujeto a 1000x + 1000y = 8000, con x, y 0. G(x,x) = 1000x + 1000y

A) El sistema:

8

8

y

x8 y x

100

100

102)(y

640

104)(x

640

2

2

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… Ejercicio

8 y x

12)(y

64

14)(x

64

2

2

Restricción: x + y = 8, con x, y 0. G(x,y) = x + y = 8

A) El sistema:

y)(x4x

16x2y

32y y)B(x,

y)(x0,14x

160x2y

320y y)B(x,

Función objetivo: Beneficio expresado en miles de $.

8

8

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… EjercicioEntonces x + 4 = y + 2 con x + y = 8, tenemos que

(x,y) = (3,5)

B(0,8) = 17.600 < 21.714, 286 = B(3,5).

Con la cantidad disponible de dinero, deben invertirse

3000 $ en desarrollo y 5000 $ en promoción para conseguir el mayor beneficio posible, el cual es de 21.714,28 $. B) Si el fabricante dispone de 8100 $ para desarrollo

y promoción ¿en cuánto cambia el beneficio?

M/K = 0,306122 miles, = 306,1224

M K = (306,1224)(0,1)

El beneficio aumentará aproximadamente, en 30,6 $.

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

… Ejercicio

C) Si hay disponible un fondo ilimitado ¿cuánto gastar en desarrollo y cuánto enpromoción para alcanzar el mayor beneficio?

En este caso, no hay restricciones para (x,y) …

¿Cuales son los puntos críticos? (x, y) = (4, 6)

¿Es un máximo?Sí, puede comprobarlo pues D(4,6) > 0 y

Bxx(4,6) < 0. ¿Cuál es el beneficio óptimo, sin restricciones?

El mayor beneficio posible es de 22.000 $

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Reflexión

Si el fabricante dispone de 11.000 $

para desarrollo y promoción … y lesolicita asesoría para distribuir estosfondos ...

¿Qué haría Ud. para elaborar una recomendación? ¿Qué recomendación le daría ? ...... Fin

M.

Lag

ran

ge

M.

Lag

ran

ge

Cálculo III (G,B)

Multiplicador de Langrange

G(x,y) = x + y = 4

F(x,y) = 9- x2 – y2

G(x,y) = x + y = 3

Si M = 9/2 es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la

restricción G(x,y) = 3 y K = 1 entonces: = -3.

Lo cual significa que el valor máximo disminuye en 3.

M/K