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Pesquisa OperacionalADMINISTRAÇÃO - 2º SEM 2019

PROF.: MES. EVANDRO NORO FERNANDES

Introdução à Pesquisa Operacional:

• A pesquisa Operacional surgiu na Inglaterra durante a segunda guerra mundial, para

resolver problemas complexos de ordem logística, estratégica e tática.

• “Pesquisa Operacional consiste em um método científico (modelos matemáticos,

estatísticos e algoritmos computacionais) usado para as tomadas de decisões.”

(RAGSDALE, 2009; SILVA et al., 2008; ANDRADE, 2009; BELFIORE; FÁVERO, 2012)..

• O objetivo é melhorar e otimizar o comportamento de uma organização no contesto

competitivo ao qual esta inserido. São desenvolvidas no curto prazo e utilizadas no

planejamento futuro.


“É um método científico ou ramo da ciência administrativa que fornece

instrumentos para a análise de tomada de decisão das empresas

(RAGSDALE, 2009; SILVA et al., 2008; ANDRADE, 2009).“


• Ela envolve alocação dos fatores de produção, ou seja, utilizar da melhor forma

possível os recursos disponíveis de uma determinada empresa.

• Ela pode ser aplica para resolver diversos problemas como: alocação dos

fatores de produção, localização, alocação dos recursos humanos, previsão de

planejamento, determinação de mix de produtos, planejamento de produção,

carteiras de investimentos, analise de projetos, etc.

Pesquisa Operacional: - Processo de tomada de decisão

• A Pesquisa Operacional é um instrumento de tomada de decisão.

• Programação linear surgiu no após a 2ª Guerra Mundial (1947).

• Utilizada para melhorar eficiência no setor civil após a guerra.

É o processo de identificar um problema específico e selecionar uma

linha de ação para resolvê-lo.

• É um processo complexo que envolve diversos fatores endógenos (internos de

empresa) e exógenos (externo desconhecido).

Tomada de decisão

• Um Problema ocorre quando o estado atual de uma situação é diferente do estado desejado.

• Uma Oportunidade ocorre quando as circunstâncias oferecem a chance do

indivíduo/organização ultrapassar seus objetivos e/ou metas.

Fatores relevantes:

• Tempo disponível para tomada de decisão

• A importância da decisão

• O ambiente

• Certeza/incerteza e risco

• Agentes decisores

• Conflito de interesses

Tomada de decisão

Classificação:

1. Nível hierárquico

2. Tipo de Informação

3. Nº de Decisores

• Tomada de Decisão Individual

• Tomada de Decisão em Grupooperacional

Gerencial

Estraté-gico

Tomada de decisão

Classificação:



3. Nº de Decisores


• Tomada de Decisão em GrupoNão estruturada

Semi-estruturada

Estruturada

Tomada de decisão

Classificação:



3. Nº de Decisores


• Tomada de Decisão em Grupo

Participativa

Tomada de decisão

Classificação:



3. Nº de Decisores


• Tomada de Decisão em Grupo

Maior Complexidade

Comunicação

Conflito -Convencimento


• Resolva um Problema:

• Um novo produto orgânico. Diretoria reunida para escolher o produto para o

próximo lançamento. Os diretores de finanças, operações e marketing, junto ao

presidente do grupo, têm 10 minutos para resolver o assunto, já que o

presidente irá viajar e tem que levar consigo a decisão para discussão com os

clientes potenciais.


• Modelo Racional:

• Decisor

• Consistente

• Racional

• Maximizador de utilidade

• Método de Resolução do Problema

• Identificar o problema

• Gerar alternativas

• Escolher a melhor alternativa


Estágios do Processo :


Temos dois modelos: Mental simples que consiste em decidir pela melhor opção

a partir do peso que atribuir a cada consequência, ou seja, a cada resultado. Já no

modelo formal serve para resolver problemas de operacionalização enfrentados

pelos administradores, que consiste em maximizar os lucros ou minimizar os

custos, e ao mesmo tempo satisfazer as restrições dos fatores de produção e

demanda de mercado..

Conceitos-Chave e Termos Utilizados

Em linhas gerais, a programação linear trata do problema de alocação ótima de

recursos escassos para a realização de atividades. Por ótimo entendemos que haja

uma outra solução que seja melhor do que a oferecida.

Os recursos escassos representam nossa realidade de existência finita de recursos,

por mais abundante que sejam.


MODELO: é uma representação simplificada do comportamento da realidade

expressa na forma de equação matemática que serve para simulara realidade.

Variáveis de Decisão: São variáveis utilizadas no modelo que podem ser

controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada

testando-se diversos valores das variáveis de decisão.

Parâmetros: São variáveis utilizadas no modelo que não podem ser controladas

pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada admitindo como

fixos os valores dos parâmetros.


Função-objetivo: é uma função matemática que representa o principal objetivo

do tomador de decisão. Ela é dois tipos: ou de minimização, ou de maximização.

RESTRIÇÕES: São regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e/ou quais as

limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo.

FUNÇÃO LINEAR: Uma função f(x1, x2, ..., xn) das variáveis x1, x2,..., xn é uma

função linear se for tipo f(x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + .... Cnxn, sendo c1, c2,...,

cn valores constantes.


INEQUAÇÃO LINEAR: para um numero qualquer b e uma função linear f(x1, x2,

..., xn), defini-se uma inequação linear como as inequações do tipo f(x1, x2, ...,

xn) ≤ b e f(x1, x2, ..., xn) ≥ b.

ALGORITMO: é uma sequencia de instruções que para uma determinada

entrada gera um determinado resultado

Programação Linear

• A programação linear é uma ferramenta utilizada para resolver problemas de

otimização. Para tanto, ela utiliza um modelo geral que contempla, de forma geral:

• As variáveis as quais temos poder para alterar, ou seja, variáveis de decisão;

• Os parâmetros, que são variáveis e os quais não temos poder para alterar;

• A função-objetivo, que define e mensura o principal objetivo;

• As restrições que combinam varáveis e parâmetros para estabelecer regras, relações e limites do

modelo;

• Uma “montagem” ou modelo que contempla parâmetros, variáveis, função-objetivo e restrições

e que representa o problema real em análise utilizando somente funções lineares.

Formulação Matemática de um Modelo Geral de Programação

• Imagine que você tenha que se alimentar com vitaminas e proteínas, dispondo

de certos alimentos para suprir as necessidades diárias.

• Para solucionar este problema de tomada de decisão fazemos 3 perguntas:

• Quais são as alternativas para decisão?

• Qual o critério objetivo para avaliar as alternativas?

• Sob quais restrições a decisão é tomada?


• A otimização envolve:

• Variáveis de decisão ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , ...)

• Função objetivo (Max ou Min)

• Restrições (≤ ; ≥ ; =)


• Força os decisores a tornarem explícitos seus objetivos.

• Força a identificação e armazenamento das diferentes decisões que influenciam

os objetivos.

• Força a identificação e armazenamento dos relacionamento entre as decisões.

• Força a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão

quantificáveis.

• Força o reconhecimento de limitações.

• Permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para facilitar o

trabalho de grupo.

Suposições da Programação LINEAR

• Quatro Características são necessárias aos problemas de programação

linear: Proporcionalidade, adtividade, divisibilidade, certeza e

terminologia.

• Divisibilidade: indica que as variáveis podem ter valores fracionados, ou

seja, as variáveis podem ser divididas em qualquer nível fracional.

• Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades

totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência

entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados,

tanto na função-objetivo como nas restrições.


• A suposição da aditividade indica que os relacionamentos entre as variáveis

são sempre adições e subtração, mas nunca outras operações.

• A aditividade implica a suposição que, não pode haver relacionamentos de

dependência (funcionais) entre as variáveis.

• A necessidade da Proporcionalidade indica que as contribuições de cada

variável de decisão são proporcionais ao valor da variável de decisão.

• O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada

variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor

constante dada uma variação constante da variável de decisão;


• A suposição de certeza indica que todos os parâmetros utilizados nos

modelos são conhecidos com certeza.

• Em problemas reais quase nunca satisfeita

• as constantes são estimadas.

• Requer uma análise de sensibilidade.

• Terminologia. Solução

• No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores

para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se

trata de uma escolha desejável ou permissível.


• Terminologia.

• Solução Viável

• É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;

• Solução Inviável

• É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de não-negatividade não são atendidas;

• A Solução Ótima é uma solução viável especial.

• Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da

função-objetivo otimizado é chamada de ótima;

• A grande questão é como determinar a solução ótima.

Solução de Problemas de Programação LINEAR

• A solução dos problemas de programação linear é feita por meio de algoritmos, e em especial pelo algoritmo simplex.

O método simplex é uma importante ferramenta destinada a resolver problemas de PL. Esse

método consiste em buscar, caso existam, uma ou mais soluções a partir de uma solução

básica factível, gerando uma sequência de soluções factíveis. Quando essa sequência é

completada, a solução ótima é obtida.

Nesse sentido, Lisboa (2002, p.15) afirma que esse método “caminha pelos vértices da região

viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela. Esta é a

solução ótima”



Há duas situações em que não é possível chegar à solução ótima. Esses casos ocorrem

quando:

• Não há uma solução que devamos ou possamos executar por apresentar restrições de

incompatibilidade;

• Não encontramos um máximo ou mínimo – caso em que uma das variáveis pode se

estender ao infinito (apresentar essa tendência), embora as restrições sejam satisfeitas;

consequentemente, teremos um valor sem limites para a função objetivo.



Conceitos Preliminares do Algoritmo Simplex

O algoritmo simplex utiliza uma série de definições e conceitos associados, é interessante

desenvolvermos parte desses conceitos em separado para que o entendimento do algoritmo

seja mais fácil. Iremos explorar três das definições mais importantes associadas ao algoritmo:

1- solução básica, 2 – variável básica e não-básica e 3 – solução básica viável.



• 1- solução básica: Uma solução básica para um problema de programação linear na forma

padrão é obtida atribuindo-se valor zero a n – m variáveis e resolvendo-se o sistema de

equação para as demais m variáveis ( que é exatamente o número de equações, ou

restrições, excluindo-se as de não-negatividade).

Um sistema de m equações com m variáveis tem solução única e pode ser resolvido por

métodos algébricos.

• 2 – variável básica e não-básica: Variáveis não-básicas são as n – m variáveis às quais foi

atribuído o valor zero numa solução básica, ao passo que as variáveis básicas são as outras

m variáveis. – solução básica viável.



Observe: se, uma variável tem o valor zero, ela pode ou não ser uma variável não-básica. Em

outras palavras, todas as variáveis não-básicas têm valor zero, mas nem todas as variáveis que

têm valor zero são variáveis não-básicas.

• 3 – solução básica viável: Solução básica viável é uma solução básica em que todas as m

variáveis básicas são não-negativas.

Uma solução viável é uma solução que pode ser implementada tendo em vista que os valores

das variáveis de decisão estão de acordo com as restrições. Uma básica viável é um ponto de

vértice do problema. O ponto de vértice é um ponto em que há a intersecção de duas ou mais

restrições.



Algoritmo Simplex: Para um problema colocado em forma padrão, o algoritmo simplex

caminha de uma solução viável para outra, de modo que o valor da função-objetivo é

diminuído até o ponto ótimo ser alcançado.

O algoritmo pode ser definido como contendo, três partes: inicialização ( o algoritmo prepara

os dados de entrada), interação ( o algoritmo repete diversas vezes o procedimento e faz com

que a otimização do modelo seja alcançada) e regra de parada (o algoritmo avalia se a

solução ótima foi obtida, ou se é impossível obtê-la).


Algoritmo Simplex:

• Passo da inicialização: Inicie com qualquer solução viável no ponto de vértice, o que é

representado pelo ponto de origem, em que todas as variáveis originais assumem o valor

zero (x1, x2, ... Xn ) = ( 0, 0, ...,0)1 . Vá para o passo da regra de parada.

• Passo de Interação:

• a) Substitua2 uma variável básica (chamada de variável básica sainte) por outra (chamadade variável básica entrante) 3

• b) Como é necessário que o valor da função-objetivo aumente,4 identifica-se a variávelnão-básica que permitirá o maior incremento líquido da função-objetivo para ser avariável básica entrante.

1 Isso quer dizer que escolhemos as variáveis originais como as avariáveis não-básicas e as variáveis de folga e de excesso como as variáveis básicas para a solução básica viável inicial.2 Em cada interação, o método simplex faz um movimento, partindo da solução básica atual para uma solução básica viável adjacente. Em termos geométricos, significa que o método vai caminhando pelos vérticesdo poliedro (ou planos no caso bidimensional) que representa a região viável do problema.

3 Qualquer variável básica é candidata a ser uma variável básica sainte e qualquer variável não-básica é uma candidata a ser uma variável básica entrante.

4 Caso contrário é melhor não fazer o movimento, tendo em vista que estamos tentando maximizar a função-objetivo


Algoritmo Simplex:

b) Matematicamente estamos interessados em encontrar a coluna K, denominada coluna

pivô, em que k = arg min (cj : j = 1, ..., n). Se min (cj : j = 1, ..., n) ≥ 0, então pare porque a

solução básica atual é ótima5.

c) Sabemos apenas a coluna da variável básica entrante e por esse motivo precisamos definir

sua linha, denominada de pivô. Cada uma das linhas (ou restrições) é avaliada de modo que

aquela que permitir o menor valor de incremento para a variável básica entrante é a que será

escolhida para sair. Se aik ≤ 0 ( k = 1, ..., m) então pare por que o problema é ilimitado,

indicando um erro na formulação do problema. A linha pivô p é definida como

5. O lado direito das restrições (excluindo-se as de não-negatividade) impõe os limites pelos quais a variável básica entrante pode ser aumentada


Algoritmo Simplex:

c) O coeficiente que pertencer tanto à linha como à coluna pivô será o coeficiente pivô.

Conhecendo as variáveis básicas entrante e sainte, devemos redefinir a nova solução básica

viável fazendo com que os coeficientes das variáveis não-básicas sejam iguais a zero e os

coeficientes das variáveis básicas sejam iguais a um6.

Passo da regra de parada: Avalie7 se a função-objetivo (reformulada em termos das variáveis

não-básicas atuais) possui algum coeficiente negativo. Se todos os coeficientes são não-

negativos (≥0), pare pois a solução é ótima. Caso contrário, vá para o passo iterativo.

6 Operacionalmente isso é feito utilizando-se o método de eliminação de Gauss, normalmente estudado em nível de graduação em disciplinas com Álgebra Linear.

7 A regra de parada avalia se uma alteração no valor de alguma das variáveis poderia aumentar o valor da função-objetivo.

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