Planificação de Sólidos Platônicos a partir de lógicas de SIMETRIA

Este material registra um exercício que abordou, de maneira conjunta, o estudo sobre as lógicas de planificação de sólidos platônicos a partir do conceito de simetria e a apropriação de técnicas digitais de representação por meio do software SkechtUp (nível introdutório).

Foi desenvolvido pela acadêmica de arquitetura Valentina Toaldo Brum, bolsista de iniciação científica (2015/1016) do Projeto ACORDA/Universal/CNPq, sob orientação da Profa. Adriane Borda/GEGRADI FAURB/UFPel

• Poliedros regulares: todas as faces são polígonos regulares de um único tipo.

• Todos vértices pertencem a uma superfície esférica

• A relação entre número de arestas (A), vértices (V) e faces (F) é dada pela

Fórmula de Euler:

A + 2 = V + F

SÓLIDOS PLATÔNICOS

• A simetria é um movimento isométrico, mantendo assim as propriedades das

figuras: distâncias, ângulos, paralelismos e razões duplas.

• As translações, rotações e reflexões são a base de uma simetria, sendo que

qualquer composição deste tipo deriva de combinações destes três movimentos. .

SIMETRIA“Parte da geometria que, operando no espaço euclidiano, engloba como transformações todas as isometrias, sendo o seu interesse específico o estudo dos grupos de isometrias que deixam invariantes as figuras”.

Sanz e Moratalla, 1999

Movimentos diretos: não mudam a orientação da figura depois de aplicado o movimento.Tipos: identidade, translação e rotação.

Movimentos indiretos: mudam a orientação da figura depois de aplicado o movimento.Tipos: simetria axial, simetria com deslizamento.

Movimento no plano

com pontos fixos:

Simetria Cíclica: os pontos fixos se reduzem ao centro (movimento de rotação).

Simetria Diédrica:os pontos fixos são os pontos do eixo (movimento de reflexão: simetria bilateral).

Sem pontos fixos: envolve o movimento de translação, onde não existe nenhum ponto fixo.

Simetrias de frisos

Simetrias de papel de parede (de plano)

Classificação das isometrias a partir da identificação de pontos fixos

Sans e Moratalla,1999

F1= <Ta>

F11= <Ta ,Sr >

F12= <Ta ,Sm >

F13= <Ta ,L >

F2= <Ta , GA >

F21= <Ta ,GA ,Sr>

F22= <GA ,L>

O exercício buscou aplicar lógicas de simetrias de frisos:

Sanz e Moratalla,1999

T=translação; S: reflexão de eixo horizontal; Sm: reflexão de eixo vertical; L: reflexão com deslizamento; G: rotação

SÓLIDO FACES ARESTAS VÉRTICES FACES EM CADA VÉRTICE

TETRAEDRO 4 6 4 3

CUBO 6 12 8 3

OCTAEDRO 8 12 6 4

DODECAEDRO 12 30 20 3

ICOSAEDRO 20 30 12 5

SÓLIDOS PLATÔNICOS

Tetraedro

O tetraedro é um sólido platônico formado por 4 triângulos equiláteros, 6

arestas e 4 vértices. Em cada vértice há o encontro de 3 triângulos.

Para empregar uma lógica de simetria de frisos, para a planificação do tetraedro,

aplicou-se a regra: F2= <Ta , GA > , utilizando-se assim de movimentos de

TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO

60º

MÓDULO

Para representar sua planificação desenhou-se uma linha (ferramenta Line) e esta foi

rotacionada 60º e copiada (ferramenta Rotate + Ctrl) duas vezes, uma delas partindo do vértice A

para o vértice B, e outra, do vértice B para o vértice A. Logicamente, a representação poderia ter

partido diretamente da construção de um triângulo equilátero, porém com isto se reforça o

movimento isométrico de cada lado para a geração desta figura base do tetraedro regular.

A B

O triângulo equilátero foi rotacionado 60º e copiado, partindo do vértice B para o vértice A.

A B

Os dois triângulos equiláteros foram movidos (ferramente Move + Ctrl) e copiados do vértice A para o vértice B.

A B

Cubo

O cubo é um sólido platônico formado por 6 quadrados, 12 arestas e 8 vértices.

Em cada vértice há o encontro de 3 quadrados.

Para a planificação do cubo, aplicou-se a mesma regra utilizada para o tetraedro:

F2= <Ta , GA > , utilizando-se assim de movimentos de TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO

MÓDULO

180º

Partiu-se do desenho de um quadrado (ferramenta Rectangle), sendo este movido e copiado do vértice A para o vértice D e após esta ação digitou-se x2 para que a translação se repetisse.

A B

D C

Os três quadrados foram rotacionados 180º e copiados tendo como centro de rotação o ponto médio (M) do segmento EF.

A B

D

E

C

F

M

Octaedro

O octaedro é um sólido platônico formado por 8 triângulos equiláteros, 12

arestas e 6 vértices. Em cada vértice há o encontro de 4 triângulos.

Para a planificação do octaedro também foi possível aplicar a regra F2= <Ta , GA >

utilizando-se dos movimentos de TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO

180º

MÓDULO

Para planificá-lo partiu-se da planificação de um tetraedro.

O conjunto de triângulos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B

A

B

Dodecaedro

O dodecaedro é um sólido platônico formado por 12 pentágonos, 30 arestas

e 20 vértices. Em cada vértice há o encontro de 3 pentágonos. Para a

planificação do dodecaedro, foi necessário inicialmente utilizar o tipo de

simetria cíclica e logo aplicar a mesma regra de simetria de friso utilizada para

o tetraedro, cubo e octaedro: F2= <Ta , GA >.

180ºMÓDULO

Para planificá-lo partiu-se do desenho de um pentágono. Desenhou-se umalinha e esta foi rotacionada 108º e copiada quatro vezes, a primeira partindodo vértice A para o vértice B, a segunda, do vértice B para o vértice A e emseguida do vértice E para o vértice A e do vértice C para o B.

A

E C

B

D

O pentágono foi rotacionado 180º e copiado do vértice A para o vértice E e este foi movido e copiado quatro vezes: do vértice F para o vértice E, do vértice F para o C, do vértice G para o B e do vértice E para o B.

A

E C

B

D

G

F

O conjunto de pentágonos foi rotacionado e copiado 180º partindo do ponto médio (M) do segmento HI para o vértice H.

A

E C

B

D

G

F

H

I

M

Icosaedro

O icosaedro é um sólido platônico formado por 20 triângulos equiláteros, 30

arestas e 12 vértices. Em cada vértice há o encontro de 5 triângulos. Para a

planificação do icosaedro foi utilizada a regra F1= <Ta>.TRANSLAÇÃO

MÓDULO

Para planificá-lo partiu-se da planificação de um tetraedro.

A planificação foi rotacionada 120º.

O conjunto de triângulos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B e em seguida digitou-se x4 para que a translação se repetisse

BA

Referências

http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/cubo-br.html

http://www.es.iff.edu.br/poliedros/planifi_arquimedes.html