Estatística Empresarial

Fundamentos de Probabilidade

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A probabilidade de chuva é de 90%

A probabilidade de eu sairé de 5%

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Conceitos Básicos

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Conceitos Básicos

1. Experiência Aleatória (E)�Processo de obtenção de uma observação ou resultado eventual

�A experiência é aleatória por não podermos antecipar o que irá resultar

Exemplo: lançamento de um dado de 6 faces para verificar a face voltada para cima

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2. Espaço Amostra (S) � Conjunto de todos os resultados

possíveis de uma experiência aleatória

Conceitos Básicos

Exemplo: no lançamento de um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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3. Evento (A)� Subconjunto gerado a partir de um espaço amostra

� Combinação de resultados eventuais

Conceitos Básicos

Exemplo: evento que consiste na ocorrência de ponto par, no lançamento de um dado A = {2, 4, 6}

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Experiência Aleatória

Seleção de uma pessoa para saber sua despesa com consumo de energia elétrica

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Alguns Exemplos

Jogar uma moeda {Cara, Coroa}

Jogar duas moedas {Ca Ca, Ca Co, Co Ca, Co Co}

Selecionar uma carta {Vermelha, Preta}

Jogar uma partida de futebol {Ganha, Perde, Empata}

Inspecionar uma peça {Defeituosa, Perfeita}

Consumo de energia [0 ; ∞∞∞∞[

Experimento Espaço Amostral

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SA

Diagrama de Venn

2

46

Resultado Eventual

13

5

Espaço Amostra

Evento A

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Evento

� certo� impossível� contrário (complementar)

� mutuamente exclusivos

� independentes

1

.5

0

Certo

Impossível

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Eventos Especiais

1. Evento Certo� ocorrência de Cara ou Coroa no lançamento de uma moeda

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♣♣

2. Evento Impossível�ocorrência de Paus & Ouros na mesma carta

Eventos Especiais

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3. Eventos Contrários� Para o evento A, todos os eventos não A: Ac ou A.

� Ex: Se A for a ocorrência de Cara no lançamento de uma moeda, então o evento contrário, Coroa, será Ac.

Eventos Especiais

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4. Eventos Mutuamente Exclusivos (ME)� São eventos que não ocorrem simultaneamente.

� Ex: Cara e Coroa são eventos ME porque não podem ocorrer ao mesmo tempo (ou ocorre Cara ou Coroa).

Eventos Especiais

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5. Eventos Independentes� São eventos cuja a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro.

� Ex: Se lançarmos dois dados, o resultado do primeiro não afeta o segundo.

Eventos Especiais

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Conceitos Básicos

Fenômeno Determinístico X

Fenômeno Probabilístico

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Fenômeno Determinístico

5F – 160

9

Fenômeno Probabilístico

C =

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Fim da 2ª Sessão

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Experimento Aleatório

ResultadosPossíveis

Probabilidade [0,1]

Noção de Probabilidade

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Abordagem Freqüencial

Considere o lançamento de uma moeda para observar a ocorrência de Cara.

P(Cara) = , onde f’(A) é a freqüência relativa da ocorrência de Cara.

)('lim Afn ∞→

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Abordagem Freqüencial

Freqüência de Caras

absoluta relativa

20 8 0,40

60 32 0,53

90 48 0,53

100 52 0,52

# de lances realizados

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# de Jogadas (n)

Total Caras # de Jogadas

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 25 50 75 100 125

muitas repetições!

Abordagem Freqüencial

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Abordagem Clássica

# de casos favoráveis N[A]# de casos possíveis N[S]

Exemplo: observar um Ás em um baralho de 52 cartas

P(A) = 4 / 52 = 0,077

P(A) = =

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Abordagem Axiomática

1. A probabilidade do evento certo é 1P(S) = 1

2. A probabilidade varia entre 0 & 1 0 ≤ P(A) ≤ 1

3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)se A e B forem mutuamente exclusivos

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S

A

Probabilidade do Evento Complementar

Evento A

2

46

A ∪∪∪∪ A = S

13

5

Espaço AmostraEvento A

A

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Regra da Adição

1. Usada para calcular a probabilidade da União de Eventos

P(A OU B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

2. Para eventos mutuamente exclusivos:P(A OU B) = P(A ∪ B)

= P(A) + P(B)

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S

B

A

Regra da Adição - Diagrama de Venn

Evento (A ∪∪∪∪ B)

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Probabilidade Condicional

1. Probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento tenha ocorrido

P(A | B) = P(A e B)P(B)

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S

B

A

Probabilidade Condicional usando o Diagrama de Venn

Casos Possíveis

Casos Favoráveis

(S)B

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Regra da Multiplicação

1. Usada para calcular a probabilidade da Interseção de Eventos

2. P(A e B) = P(A ∩ B)= P(A) * P(B | A) = P(B) * P(A | B)

3. Para Eventos Independentes:P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

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S

B

A

Interseção de Eventos: Diagrama de Venn

A ∩∩∩∩ B

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A ocorrência de um evento NÃO afeta a ocorrência de outro evento

Ex.: Lançar 1 moeda duas vezes

P(A | B) = P(A)

P(A e B) = P(A) * P(B)

Independência