Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · Campo Elétrico de uma Linha Infinita de...

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SJBV

•  Densidade Volumétrica de Cargas

•  Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Distribuições Contínuas de Cargas (Páginas 33 a 41 no livro texto)

•  Densidade Linear de Cargas

•  Campo Elétrico de uma linha infinita de cargas

•  Densidade Superficial de Cargas

•  Campo Elétrico de uma superfície infinita de cargas

SJBV

•  O campo gerado na posição r devido a ‘n’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.



!E(!r ) = Qm

4πε0!r − !rm

2 amm=1

n

∑

Distribuição espacial de cargas

Origem

!r1

!rQ1

Q2

•  Como fica E devido a uma distribuição espacial de cargas?

Pergunta?

!r2

Qn

!rn

SJBV

•  A densidade volumétrica de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de volume.



Densidade Volumétrica de Cargas

ρv =dQdv [C /m3]

Q = ρvvol.∫ !r '( )dv '

vol.x

y

z

ρv!r '( )

•  Para calcular a carga total em um volume com densidade volumétrica ρv(r’), integramos ρv ao longo do volume.

SJBV

•  O campo elétrico gerado por uma distribuição volumétrica de carga é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais.



Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas

!E "r( ) = 1

4πε0

ρv!r '( )dv '!r − !r ' 2vol.

∫ . aR

aR =!r − !r '!r − !r '

•  Como a distribuição é contínua, a carga Q(r’) no elemento diferencial dv’ é substituída por Q(r’) = ρv(r’)dv’ e o somatório é substituído pela integral volumétrica

•  Como definido anteriormente, o vetor unitário é:

SJBV

•  A densidade linear de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de comprimento.



Densidade Linear de Cargas

ρl =dQdl [C /m]

Q = ρll∫ !r '( )dl '

x

y

z

ρl!r '( )

l

•  Uma linha ou caminho de cargas com densidade linear ρl é uma abstração e não possui espessura.

•  Para calcular a carga total em um caminho com densidade linear ρl(r’), integramos ρl ao longo do caminho l.

SJBV

•  Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρl’.



!R = !r − !r '

aR

θ!r

!r '

ρl

P

x

y

z

!r = ρaρ

!r ' = z ' az

!E = 1

4πε0ρl!R2 dz '

−∞

∞

∫ aR

•  O campo elétrico é:

•  O vetor aR, em coord. Cartesianas fica:

aR = cosθ aρ − senθ az

aRθ

−senθ az

cosθ aρ

(1)

Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas

SJBV




!R = !r − !r '

aR

θ!r

!r '

ρl

P

x

y

z

!E = 1

4πε0ρl!R2 dz '

−∞

∞

∫ aR

•  Para facilitar a integração podemos fazer um a mudança de variáveis (z’ à θ):

!r = ρaρ

!r ' = z ' az

z ' = ρ tanθ

dz ' = Rρ

2

dθ

dz ' = ρd tanθ( )dθ

dθ = ρ sec2θdθ

•  O elemento diferencial dz’ fica:

•  Substituindo sec θ = R/ρ:

(2)

SJBV



!R = !r − !r '

aR

θ!r

!r '

ρl

P

x

y

z

•  Substituindo o elem. diferencial dz’, o vetor unitário aR e a distância R = |R| na expressão para E:

!r = ρaρ

!r ' = z ' az

!E = 1

4πε0ρl!R2 dz '

−∞

∞

∫ aR

!E = 1

4πε0ρlR2

R2

ρd

−π2

π2

∫ θ cosθ aρ − senθ az⎡⎣ ⎤⎦

•  Note a troca no limite de integração:

−∞ < z ' <∞ → −π2<θ <

π2


SJBV



!R = !r − !r '

aR

θEz

Eρ!r

!r '

ρl

P

x

y

z

•  A integral fica:

!r = ρaρ

!r ' = z ' az

!E = 1

4πε0ρl!R2 dz '

−∞

∞

∫ aR

!E = ρl

4πε0ρ senθ aρ − −cosθ az( )⎡⎣ ⎤⎦

−π2

π2

•  O Campo Elétrico de uma linha infinita só tem componente radial, e cai com o inverso da distância da linha.

!E = ρl

2πε0ρaρ


SJBV

•  A densidade superficial de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de área.



Densidade Superficial de Cargas

ρS =dQdS ' [C /m2 ]

Q = ρsS'∫ !r '( )dS '

x

y

z

ρS!r '( )

S '

•  Uma linha superfície de cargas com densidade superficial ρS é uma abstração e não possui espessura.

•  Para calcular a carga total em uma superfície com densidade ρS(r’), integramos ρs ao longo da superfície S’.

SJBV



θ

P

x

y

z

•  O campo elétrico é a ‘soma’ da contribuição de todas as linhas com largura infinitesimal dy’:

Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas

dy '

y '

ρs

R = x2 + (y ')2

!E = ρs

2πε0Rdy '

−∞

∞

∫ .cosθ. ax

•  Podemos reescrever cosθ usando:

cosθ = xx2 + (y ')2

•  Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma superfície infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρs’ no plano yz (x = 0).

SJBV



θ

P

x

y

z

•  Substituindo cosθ e R na equação acima:


dy '

y 'ρs

R = x2 + (y ')2

!E = ρs

2πε0Rdy '

−∞

∞

∫ .cosθ. ax

•  A integral do termo entre parênteses é:

!E = ρs

2πε0x

x2 + (y ')2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dy '

−∞

∞

∫ . ax

Ex =ρs2πε0

tan−1 y 'x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−∞

∞

!E = ρs

2πε0π2− −

π2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ax

•  Substituindo os limites de integração:

SJBV



θ

P

x

y

z•  O Campo Elétrico do lado x > 0 é uniforme:


dy '

y 'ρs

R = x2 + (y ')2

!E = ρs

2πε0Rdy '

−∞

∞

∫ .cosθ. ax

•  O resultado acima pode ser generalizado para uma superfície em qualquer outra posição do plano cartesiano:

!E = ρs

2ε0 ax

!E = ρs

2ε0 aN

SJBV

•  Como fica, em coordenadas cartesianas. a expressão para o campo gerado por uma linha infinita de cargas se a linha não está mais situada em (x’ = 0, y’ = 0)?

•  Nós vimos que:



Linha Infinita de Cargas transladada

Eρ

x '

ρl

x

y

z

y '

!E = ρl

2πε0ρaρ

•  Se transladarmos a linha para (x’, y’), o vetor unitário na direção radial fica:

aρ =x − x '( ) ax + y− y '( ) ayx − x '( )2 + y− y '( )2⎡

⎣⎤⎦1/2

P (x, y)

aρρ

SJBV



Linha Infinita de Cargas transladada

Eρ

x '

ρl

P (x, y)

x

y

z

y '

!E = ρl

2πε0ρaρ

•  O campo gerado no ponto P, para a linha infinita orientada na direção z em (x’,y’) é:

•  A distância radial ρ se torna:

aρρ

ρ = x − x '( )2 + y− y '( )2⎡⎣

⎤⎦1/2

!E = ρl

2πε0ρx − x '( ) ax + y− y '( ) ayx − x '( )2 + y− y '( )2

SJBV

Uma placa quadrada descrita por -2 ≤ x ≤ 2m, -2 ≤ y ≤ 2m e z = 0 está carregada com 12| y | mC/m2.

Determine a carga total na placa e a intensidade de campo elétrico E no ponto (0, 0, 10)m.



Exemplo

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