Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · SJBV • Experimento com esferas...
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SJBV
• Experimento com esferas concêntricas
• Densidade de Fluxo elétrico (D)
• Relação entre D e E no vácuo
• Lei de Gauss
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Densidade de Fluxo Elétrico e Lei de Gauss (Páginas 48 a 55 no livro texto)
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• A origem do conceito de fluxo e deslocamento elétrico vem do experimento que Faraday realizou com esferas metálicas concêntricas, descrito a seguir:
1. Uma esfera interna é carregada com Carga positiva conhecida +Q.
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Densidade de Fluxo Elétrico
2. Uma esfera externa é colocada ao redor da primeira.
3. A esfera externa é conectada ao solo.
(O espaço entre as esferas é preenchido com um dielétrico)
4. A esfera externa é retirada e a carga na mesma é medida.
• Fluxo elétrico: ψ =Q [C]
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• A Densidade de Fluxo Elétrico (D) tem unidades de [C/m2] e é um campo vetorial cuja magnitude em cada ponto do espaço é a quantidade de fluxo Ψ por unidade de área.
• No caso da esfera interna do experimento de Faraday a densidade de fluxo é uniforme ao longo da superfície. Para uma esfera de raio ‘a’:
• Para a esfera externa:
• No meio entre as esferas (a < r < b):
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Densidade de Fluxo Elétrico
!D
r=a=
Q4πa2
ar
!D
r=b=
Q4πb2
ar
!D =
Q4πr2
ar(O vetor D também é chamado de vetor Deslocamento Elétrico)
Vetor unitário radial (coord. esféricas)
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• Podemos obter a Densidade de Fluxo de um carga pontual se reduzirmos o raio da esfera interna a zero e desconsiderarmos a esfera externa. Para qualquer raio ‘r’ teremos:
• Além disso, em aulas anteriores estabelecemos que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é:
• Portanto, concluímos que no espaço livre:
• Onde ε0 é a permissividade do espaço livre.
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Densidade de Fluxo Elétrico
!D =
Q4πr2
ar
!E = Q
4πε0r2 ar
!D = ε0
!E
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• Vimos que campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de cargas é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais, integrando ρv(r’)dv’ ao longo do volume que contem as cargas.
• De forma similar, podemos calcular o vetor Densidade de Fluxo em um ponto no espaço devido a uma distribuição contínua de cargas:
• Não se esqueça que R e aR são funções das coordenadas ‘linha’ (r’) da carga, e portanto devem ser levadas em conta na integração.
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Densidade de Fluxo Elétrico
!E(!r ) = ρv (
!r ')dv '4πε0R
2vol.∫ aR
!D(!r ) = ρv (
!r ')dv '4πR2vol.
∫ aR
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Lei de Gauss: O fluxo elétrico total Ψ que passa através de qualquer superfície fechada é igual à carga total contida dentro desta superfície.
• O fluxo (escalar) pode ser obtido através da integral de superfície do vetor densidade de fluxo ao longo da superfície fechada.
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ψ =Q [C]
ψ = dS!∫ ψ =
"D ⋅d!S
S!∫
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• Note que o fluxo que atravessa uma superfície ‘S’ é igual à componente normal da densidade de fluxo que sai da superfície integrada ao longo da área.
• Onde:
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Lei de Gauss
ψ =!D ⋅d!S
S∫d!S = dS aN (aN é o vetor unitário normal à superfície)
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• Se houver ‘n’ cargas envolvidas pela superfície fechada ‘S’, o lado direito da equação é o somatório de todas as cargas envolvidas.
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Lei de Gauss
!D ⋅d!S = Qi
i=1:n∑S"∫
d!S
d!S
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• A Lei de Gauss pode ser reescrita se tivermos uma distribuição continua de cargas, lembrando que,
• para uma distribuição linear de cargas:
• para uma distribuição superficial de cargas:
• para uma distribuição volumétrica de cargas:
• Podemos usar esta última equação para escrever a forma Integral da Lei de Gauss.
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Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas
Q = ρll∫ dl ,
Q = ρsS∫ dS ,
Q = ρv dvvol∫ .
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A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica da densidade de cargas no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’.
!D ⋅d!S =
S"∫ ρv dvV∫
Lei de Gauss na Forma Integral
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• Voltando ao experimento de Faraday, o vetor Densidade de Fluxo Elétrico D no espaço entre as esferas,
satisfaz a Lei de Gauss pois:
• Que pode ser reescrito:
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Densidade de Fluxo Elétrico
!D =
Q4πr2
aR ,
Q =!D 4πr2( ) ,
Q =!D ⋅d!S
S"∫
área esfera