Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · Dado o campo elétrico: calcule a quantidade...

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SJBV

•  Energia despendida no movimento de uma carga imersa num campo Elétrico.

•  Diferença de potencial e potencial.

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Energia e Potencial Elétrico (Capítulo 4 - Páginas 75 a 84no livro texto)

SJBV

§  A Lei de Coulomb pode ser usada (indiretamente) para calcular o campo E de cargas pontuais e pelo princípio da superposição, vimos que é possível chegar a expressões para calcular os campos gerados por distribuições de cargas.

§  Mais adiante vamos definir expressões que relacionam diretamente este potencial escalar com as fontes de campo (cargas).



§  Agora vamos definir um potencial elétrico V (campo escalar), que está diretamente associado com o campo elétrico E (campo vetorial).

§  A Lei de Gauss permite simplificar bastante o cálculo da distribuição de campos em problemas com simetrias espaciais.

Trabalho e Potencial Elétrico

SJBV

§  O trabalho diferencial realizado para mover uma carga Q imersa em um campo elétrico E ao longo de uma distância diferencial dl é:



Trabalho e Potencial Elétrico

dW = −Q!E ⋅d!l ,

onde d!l = aldl

①  Note que se E e dl forem perpendiculares o trabalho é nulo:

②  O sinal negativo é devido à convenção de que o trabalho é realizado por um agente externo (não pelo campo elétrico).

§  O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita é:

W = −Q!E ⋅d!l

inicial

final∫

SJBV

Dado o campo elétrico:

calcule a quantidade diferencial de trabalho exercido no deslocamento de uma

carga de 6nC por uma distância ‘diferencial’ de 2µm, começando em P(2,-2,3) e

movimentando-se na direção



!E = 1

z28xyzax + 4x

2zay − 4x2yaz( ) [V /m],

al = − 67ar +

37ay +

27az.

Exemplo

SJBV



Campo Uniforme

§  Vamos considerar o trabalho realizado ao longo de um caminho A à B em um campo uniforme.

E

§  A integral de linha do campo elétrico para um campo uniforme se reduz a:

ΔR1

ΔR2

ΔR3

ΔR4

ΔR5

ΔR6

W = −Q!E ⋅d!l

B

A∫

§  Se dividirmos o caminho em N segmentos, podemos escrever:

W = −Q!E1 ⋅ Δ

!R1 +!E2 ⋅ Δ

!R2 +...+

!EN ⋅ Δ

!RN( ),

fazendo: Δ!RN → 0 (N→∞)

SJBV

EΔR1

ΔR2

ΔR3

ΔR4

ΔR5

ΔR6


Campo Uniforme

§  O campo elétrico é uniforme:

§  Além disso, a soma dos vetores distância é:

W = −Q!E1 ⋅ Δ

!R1 +!E2 ⋅ Δ

!R2 +...+

!EN ⋅ Δ

!RN( ), Δ

!RN → 0 (N→∞)

!E =!E1 =

!E2 =

!EN

!RBA = Δ

"R1 +Δ

"R2 +...+Δ

"RN

§  Assim, o trabalho é independente do caminho!

W = −Q !E ⋅!RBA

Isto é válido para um campo uniforme, mas também é válido para qualquer outro campo eletrostático gerador por cargas e distribuições de cargas (Campo Conservativo).

SJBV

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga é:

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho circular de raio ‘a’, ao redor de uma linha de cargas?



Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ !E = Eρ aρ

!E = ρL

2πε0ρaρ

§  Vimos que o campo gerado só possui componente radial:

§  Em coord. cilíndricas:

0 0

W = −Q ρL2πε0a

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅adφaφφ=0

2π∫

aρ ⋅ aφ = 0 W = 0

a

SJBV

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?




ρ

ρL

x

y

z

φ

§  Em coord. cilíndricas:

0 0


aρ

a

b

W = −Q ρL2πε0ρ

aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρa

b∫

W = −QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  O trabalho W é:

SJBV

Como calculamos o trabalho realizado para mover uma carga ao longo de um caminho radial (do ponto ‘a’ até o ponto ‘b’)?




ρ

ρL

x

y

z

φ

§  O elemento de linha muda?


aρ

a

b


aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρb

a∫

W =QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  O trabalho W fica:

§  E se invertermos o sentido do caminho? (do ponto ‘b’ até o ponto ‘a’)

SJBV

A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste.



Diferença de Potencial e Potencial Elétrico (V)

VAB =WQ= −

!E ⋅d!l

B

A∫ [V ]

•  Importante: VAB é positiva se o trabalho é realizado externamente no deslocamento da carga de B até A.

E

VABB

A

SJBV

Qual é a diferença de potencial entre os pontos com ‘ρ = b’ até o ponto ‘ρ = a’ Vba?



Diferença de potencial ao redor de uma linha infinita de cargas

ρ

ρL

x

y

z

φ

§  O trabalho realizado ao se movimentar a carga de ‘a’ até ‘b’ é:

aρ

a

b


aρ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅dρaρa

b∫

W = −QρL2πε0

ln ba⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  Realizando a integral:

V =ρL2πε0

ln ab⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

§  A diferença de potencial é:

SJBV

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ até o ponto ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?




r

ρL

x

y

z

φ

arθ

Q

§  O campo gerado pela carga pode ser obtido pela Lei de Coulomb. !

E = Erar =Q

4πε0r2 ar

§  Em coord. esféricas:

0 0

§  A diferença de potencial entre os pontos A e B é:

VAB = −!E ⋅d!l

rB

rA∫

rA

rB

SJBV

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?




r

ρL

x

y

z

φ

arθrA

rB

Q

§  Substituindo a expressão para o Campo Elétrico:

§  A diferença de potencial VAB fica:

VAB = −Q

4πε0r2 ar

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⋅drarrB

rA∫

VAB =Q4πε0

1rA−1rB

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§  Note que se rB > rA, a diferença de potencial é positiva.

(há uma ação externa para trazer a carga de rB até rA)

SJBV

§  A diferença de potencia pode ser expressa em termos dos potenciais em cada ponto.

§  Em outros problemas o potencial da terra é adotado como nulo!



§  No problema do potencial próximo a uma carga pontual, o potencial no infinito é o potencial de referência e é zero

§  A referência de potencial é arbitrária embora existam certas convenções.

Diferença de potencial e potencial

Vab =Va −Vb

SJBV

Qual é a diferença de potencial VAB entre os pontos com raio ‘ rA’ e raio ‘rB’ com relação a uma carga pontual no centro do sistema de coordenadas esféricas?




r

ρL

x

y

z

φ

arθrA

rB

Q

§  A diferença de potencial VAB fica:

VAB =Q4πε0

1rA−1rB

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

§  Se adotarmos o raio rB como infinito, o potencial no infinito é zero e o potencial no ponto A fica:

VA =Q4πε0

1rA

§  Para uma carga pontual em r’, o potencial em r fica:

V (!r ) = Q4πε0

1!r − !r '

SJBV

Dado o campo elétrico:

(a) VMN se os pontos M e N são M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2).

(b) VM se V = 0 em Q(4,-2,-35).



!E = 6x2ax + 6yay + 4az [V /m],

Exemplo 1

SJBV

Seja Dado um ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final

Q(4, 3, 1), calcule usando como caminho uma:

(a) Linha reta (y = x – 1 e z = 1).

(b) Parábola (6y = x2+2 e z = 1).



!G = 3xy2ax + 2zay.

Exemplo 2

!G∫ ⋅d!l

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