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Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Potencial Elétrico de distribuições contínuas de cargas

•  Gradiente do Campo Elétrico

•  Campos conservativos

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Potencial de distribuições de cargas e campos conservativos (Capítulo 4 - Páginas 86 a 95)

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Potencial de uma carga pontual

x

z§  O potencial elétrico gerado no ponto r por uma

carga pontual Q1 no ponto r1 é:

V (!r ) = Q14πε0

1!r − !r1

!r!r1

Q1

A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste.

§  Se adicionarmos uma carga Q2 no ponto r2, o potencial no ponto r fica:

V (!r ) = Q14πε0

1!r − !r1

+Q2

4πε01!r − !r2

!r2Q2

y

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Potencial de uma cargas discretas

x

z

Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico em r devido a ‘n’ cargas pontuais diferentes é a soma do potencial devido a cada uma das cargas isoladamente.

§  Se substituirmos as cargas pontuais por cargas com densidade ρi que ocupam um volume Δvi, cada, teremos:

V (!r ) = Qi

4πε01!r − !rii=1

n

∑

y

Origem

!r1

!rQ1

Q2

!r2

Qn

!rnV (!r ) = ρiΔvi4πε0

1!r − !rii=1

n

∑

§  Se Δvi tender a 0 e o número de elementos tender a infinito, teremos uma distribuição contínua de cargas.

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Potencial de distribuição contínua de cargas

x

z

•  O Potencial Elétrico de uma distribuição contínua de cargas pode ser obtido tomando o limite de Δv à 0.

•  O somatório se torna uma integral de volume.

y

!rV (!r ) = 14πε0

ρv r '( )dv '!r − !r 'V∫

dv'

!r '

V

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Gradiente do potencial

•  Se conhecemos a distribuição do potencial elétrico V uma dado ponto do espaço, podemos calcular o campo elétrico tomando o negativo do gradiente de V.

•  Isto é o inverso de utilizar a integral de linha para calcular V a partir de E.

•  Ou no caso do potencial de referência ser adotado como o infinito:

!E = −∇V          [V /m]

VAB = −!E ⋅d!l

B

A∫             [V ]

VA = −!E ⋅d!l

∞

A∫             [V ]

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Gradiente do potencial

•  O gradiente do potencial V em coordenadas cartesianas é

!E = − ∂V

∂xax +

∂V∂y

ay +∂V∂z

az⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟     

!E = − ∂V

∂ρaρ +

1ρ∂V∂φ

aφ +∂V∂z

az⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟       (cilíndricas)

!E = − ∂V

∂rar +

1r∂V∂θ

aθ +1

rsenθ∂V∂φ

az⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟       (esféricas)

•  O gradiente do potencial V em coordenadas cilíndricas é:

•  O gradiente do potencial V em coordenadas esféricas é:

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§  O Potencial elétrico é um ‘campo escalar’ cuja distribuição espacial pode ser descrita através de linhas equipotenciais (lugares geométricos onde V = constante).

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Campo uniforme

§  O gradiente de um campo escalar num ponto é um campo vetorial cuja magnitude é a ‘taxa’ de variação espacial máxima do escalar no ponto. O vetor no ponto aponta na direção de máxima variação do campo escalar.

§  Uma consequência disso é que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em cada ponto.

§  O campo elétrico aponta na direção de potenciais decrescentes (sinal negativo)

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§  Vimos que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção radial. No caso de cargas positivas, o campo aponta radialmente para fora.

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Potencial de uma carga pontual

V (!r ) = Q4πε0

1!r − !r '

§  As superfícies equipotenciais ao redor de uma carga pontual correspondem a superfícies esféricas:

!E(!r ) = Q

4πε0!R2 aR =

Q4πε0

!r − !r '( )!r − !r ' 3

§  O potencial elétrico diminui conforme nos afastamos da carga positiva.

§  Note que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em todos os pontos.

§  Isto é equivalente a dizer que a integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é nula (por que?).

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§  O potencial eletrostático (gerado por cargas ou distribuições de carga) possui um valor único em cada ponto do espaço.

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Campos Conservativos e irrotacionais

!E ⋅d!l"∫ = 0

§  Teorema de Stokes:

§  Qualquer campo escalar definido através do gradiente de um campo vetorial é conservativo.

!E ⋅d!l

C"∫ = ∇×

!E( ) ⋅d

!S

S∫E

C

S

§  Mas o rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo!

∇× ∇V( ) = 0!E ⋅d!l"∫ = 0

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§  No caso dos circuitos elétricos, o campo elétrico fica confinado na superfície dos condutores. O condutor ‘guia’ o campo elétrico, pois E = 0 longe dos condutores.

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Aplicação em Circuitos elétricos

§  Para encontrar tensões usamos (indiretamente):

§  Isto possibilita utilizar elementos de parâmetros concentrados o que simplifica a matemática e solução de problemas. Não é necessário calcular distribuições de campos.

!E ⋅d!l"∫ = 0

§  Segunda Lei de Kirchhoff (malhas):

R1

R2

R3

R4

FEM – VR1 – VR2 = 0