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Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Densidade de corrente Elétrica

•  Equação da Continuidade – Forma Integral

•  Equação da Continuidade – Forma Diferencial

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Densidade de Corrente e Eq. da Continuidade (Capítulo 5 – Páginas 109 a 113)

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•  A corrente elétrica é uma grandeza escalar definida como

a taxa da quantidade de carga por unidade de tempo que

atravessa a seção de um dado condutor:

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Densidade de Corrente

•  Em eletromagnetismo é mais conveniente trabalhar com a

densidade de corrente J.

I = dQdt   [A]

I =!J ⋅d!S

S∫x

y

z

I   

Qual é o valor de J no condutor cilíndrico?

•  J está relacionada com a corrente total I que passar por um

condutor de área S por:

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•  A densidade de corrente pode ser de três tipos: de condução, de convecção e de

deslocamento.

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Densidade de Corrente

•  A corrente de convecção ocorre mesmo na ausência de um campo elétrico. Ela resulta

do fluxo de cargas através de um meio qualquer (feixe de elétrons em TRC).

•  Se um densidade de carga ρv estiver se movendo com velocidade v, a densidade de

corrente de convecção é:

ρv !v

!J = ρv

!v  

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•  Considere uma superfície fechada ‘S’ numa região do espaço.

•  Se em um instante de tempo uma densidade de corrente J atravessa a superfície ‘S’, a corrente que atravessa ‘S’ é:

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Equação da Continuidade (de Cargas)

•  Pergunta: Quando a corrente vai ser positiva ou negativa?

I =!J ⋅d!S

S"∫

•  Se Qi for a carga contida dentro de ‘S’, a equação da continuidade na forma integral

nos diz que a corrente saindo (entrando) de ‘S’ é igual a taxa de diminuição (aumento)

temporal de Qi, !J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

vol.S

Qi

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•  Cargas não são criadas nem destruídas.

•  Cargas são conservadas: se há uma diminuição da quantidade de carga em algum lugar do espaço, há um aumento da quantidade de carga em outro.

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Equação da Continuidade (de Cargas)

•  Se a carga Qi no volume diminui ao longo do tempo:

t

Qi

α

•  Pergunta: A corrente I está saindo ou entrando da superfície fechada ‘S’?

•  Pergunta: Qual o valor da corrente em um dado instante (t’)?

!J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

vol.S

Qi

t '

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•  E se no lugar de Qi houver uma densidade de cargas ρv dentro de ‘S’?

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Equação da Continuidade (Forma Diferencial)

•  A carga dentro do volume ‘vol.’ envolvido por ‘S’ é:

Qi = ρv dvvol.∫§  Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor

Densidade de corrente (J) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de J no volume ‘vol.’ envolvido pela superfície ‘S’.

!J ⋅d!S =

S"∫ ∇ ⋅!J dv

vol.∫

vol.S

Qi

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•  Substituindo as duas últimas equações na equação da continuidade na forma integral:

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Equação da Continuidade (Forma Diferencial)

§  Chegamos à equação:

!J ⋅d!S

S"∫ = −∂Qi

∂t

∇⋅!J dv

vol.∫ = −∂∂t

ρv dvvol.∫⎡⎣ ⎤⎦

§  Note que ‘vol.’ pode ser qualquer volume. Assim, chega-se à forma diferencial (ou pontual) da equação da continuidade:

∇⋅!J = −∂ρv

∂tRelaçao com 1a Lei de Kirschhoff (correntes)?

vol.S

Qi

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§  Lembrando que o divergente do vetor J é igual ao fluxo de densidade de corrente saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume.

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∇⋅!J = lim

Δv→0

!J ⋅d!S

S"∫Δv

Equação da Continuidade na Forma Diferencial

§  A interpretação física da Eq. da Continuidade é que um fluxo de corrente saindo de um ponto infinitesimal gera a diminuição da densidade de carga neste ponto.

§  Um fluxo de corrente entrando num ponto infinitesimal gera o aumento da densidade de carga neste ponto.

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§  Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída.

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Analogia com a Equação de continuidade de massa

§  Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai.

§  Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar.

§  Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar.

volume fixo

(ρv)