Prof.calazans(Geom.Plana) - Polígonos(20 questões resolvidas)

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01.(EEAR/2008)O número de figuras abaixo

que representam polígonos convexos é

a)5 b)4 c)3 d)2

Solução:

Um polígono é convexo quando as medidas de

seus ângulos internos são maiores que 00 e

menores do que 1800.

Logo, são polígonos convexos as seguintes

figuras:

Resposta:Alternativa C

02.(EEAR/2006)Considere as afirmações:

I- ABCDEF é um polígono convexo.

II- G pertence a um lado do polígono.

III- A pertence ao polígono ABCDEF.

IV- BG é uma diagonal do polígono ABCDEF.

São falsas as afirmações

a)I e III b)II e IV c)I e IV d)II e III

Solução:

I)Um polígono é convexo quando cada um dos

seus ângulos internos é maior do que 00 e

menor do que 1800.Como todos os ângulos

internos do polígono ABCDEF satisfaz a essa

condição, o mesmo é convexo.Portanto, a

afirmativa I é verdadeira.

II)O ponto G pertence ao interior do

polígono.Portanto, a afirmativa II é falsa.

III)O ponto A pertence ao polígono. Portanto,

a afirmativa II é verdadeira.

IV)A diagonal de um polígono é um segmento

que une dois vértices não consecutivos do

mesmo.Sendo assim, BG não é uma diagonal do

polígono ABCDEF. Portanto, a afirmativa IV é

falsa.

Resposta:Alternativa B

03.(EEAR/2007)O lado de um eneágono

regular mede 2,5cm.O perímetro desse

polígono, em cm, é

a)15 b)20 c)22,5 d)27,5

Solução:

2

Como o eneágono regular possui 9 lados

congruentes, temos que o perímetro desse

polígono é igual a 9●2,5 cm = 22,5 cm


04.(EEAR/2009)O número de diagonais do

pentadecágono é

a)90 b)60 c)54 d)48

Solução:

O número total de diagonais de um polígono

convexo é dado pela fórmula: Dn =

,

onde n=número de lados ou gênero do polígono

Sendo assim, vem:

D15 =

=> D15 =

●

=> D15 = 15●6

D = 90

Resposta:Alternativa A

05.(EEAR/2005)O número de diagonais de um

polígono é o décuplo do número de lados. O

número de vértices desse polígono é

a)17 b)23 c)51 d)69

Solução:

Sendo D o número total de diagonais desse

polígono e n o seu número de lados(n0 de lados

igual ao n0 de vértices),do enunciado, temos:

Dn = 10n

= 10n => n(n-3) = 2●10n (÷n)

n – 3 = 20 => n = 20 + 3 n = 23


06.(EEAR/2007)Dois polígonos convexos têm o

número de lados expresso por n e n + 3

.Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a

mais que o outro, o valor de n é

a)10 b)8 c)6 d)4

Solução:

Sendo Dn o n0 de diagonais do polígono de n

lados e Dn+3 o n0 de diagonais do polígono de

n + 3 lados, do enunciado,temos:

Dn+3 = Dn + 18

=

+ 18

=

+ 18(●2)

(n+3)n = n(n-3) + 36 => n2 + 3n = n2 - 3n + 36

3n + 3n = 36 => 6n = 36(÷6) n=6


07.(EEAR/2013)Se A é o número de diagonais

de um icoságono e B o número de diagonais de

um decágono,então A-B é igual a

a)85 b)135 c)165 d)175

Solução:

O número total de diagonais de um polígono

convexo é dado pela fórmula: Dn =

,

onde n=número de lados ou gênero do polígono

3

Sendo assim, vem:

I)D20=

=> D20=10●17 D20 =170

II)D10=

=> D20=5●7 D10 =35

Portanto, temos:

A – B = 170 – 35 A – B = 135


08.(EEAR/2005)Na figura, o valor de x é

a)620 b)980 c)1340 d)1700

Solução:

Sendo Si a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados , temos:

Si =(n-2)●1800

Como o polígono da figura é um pentágono,vem:

x+x+120+x+80+x+100+x+200=(5-2)●1800

5x + 500 = 3●1800 => 5x = 5400 - 500

5x = 4900(÷5) x = 980


09.(EEAR/2007)Os polígonos ABCDEI ,

EFGHI e IJA são regulares. O complemento

do ângulo JIH mede

a)72º b)36º c)18º d)9º

Solução:

Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA da

figura são, respectivamente, um hexágono, um

pentágono e um triângulo.Como estes polígonos

são regulares, os seus ângulos internos, como

também os seus ângulos externos, são

congruentes.O ângulo JÎH é um ângulo externo

do pentágono EFGHI,cuja medida do seu ângulo

externo é igual a:

ên =

=> ê5 =

= 720 = JÎH

Logo, o complemento do ângulo JÎH é igual a:

900 – JÎH = 900 – 720 = 180

4


10.(EEAR/2010)O polígono convexo, cuja soma

dos ângulos internos é 23400,tem número de

diagonais igual a

a)85 b)90 c)95 d)100

Solução:

Temos:

Si = 2.3400

(n-2)●1800 = 2.3400(÷1800)

n-2 = 13 => n = 13 + 2 n = 15

Como Dn =

, vem:

D15 =

=> D15 =

=>

D15 = 15●6 D15 = 90


11.(EEAR/2008)Num polígono convexo, a soma

das medidas dos ângulos internos com as dos

ângulos externos é 2.700°. O número de lados

desse polígono é

a)12. b)13. c)15. d)17

Solução:

Sabemos que:

Si + Se = 180●n

Logo, vem:

2.700° = 180●n(÷1800) 15 = n


12.(EEAR/2006)A medida do ângulo externo

de um icoságono regular é

a)18° b)20° c)24° d)30°

Solução:

Sabemos que:

ên =

Logo, vem:

ê20 =

ê20 = 18

0


13.(EEAR/2010)Um ângulo externo de um

polígono regular mede 150.Se o polígono tem n

lados, n é um número

a)primo c)entre 20 e 30

b)ímpar d)menor que 150

Solução:

Sabemos que:

ên =

Logo, vem:

150 =

=> n =

n = 24


5

14.(EEAR/2008)Em um polígono regular, a

medida de um ângulo interno é o triplo da

medida de um ângulo externo. Esse polígono é o

a)hexágono. c)eneágono.

b)octógono. d)decágono

Solução:

Do enunciado, temos:

în = 3●ên

Como în + ên = 1800 în + ên = 1800 - ên , vem:

1800 - ên = 3●ên => 1800 = 3ên + ên

1800 = 4ên (÷4) => 450 = ên => 450 =

n =

n = 8


15.(EEAR/2009)Dois polígonos regulares são

tais que seus ângulos externos estão entre si

como 3 está para 1, e seus números de lados

somam 16.Um desses polígonos denomina-se:

a)octógono c)dodecágono

b)icoságono d)pentadecágono

Solução:

Do enunciado, temos:

I)

=

î1 = 3î2 =>

= 3 ●

(÷3600)

=

=>n2 = 3n1

II)n1 + n2 = 16 n1 + 3n1 = 16 => 4n1 = 16(÷4)

n1 = 4►quadrilátero

Logo, n2 = 12►dodecágono


16.Um polígono regular possui a partir de cada

um de seus vértices tantas diagonais quantas

são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo

interno desse polígono mede em graus:

a)140 b)150 c)155 d)160 e)170

Solução:

Um hexágono tem:

Dn =

D6 =

=> D6 = 3●3 D6 = 9

Sendo dn o número de diagonais de cada

vértice desse polígono,temos:

dn = D6

n – 3 = 9 => n = 9 + 3 n = 12

Sabemos que:

6

ên =

Logo, vem:

ê12 =

=> ê12 = 300

Como î + ê = 1800 , temos: î12 = 1500


17.Qual a soma das medidas dos ângulos

internos de um polígono convexo regular,

sabendo que o número de diagonais que passam

pelo seu centro é igual a 5 ?

a)1600º b)1440º c)1700º d)1560º e)1180º

Solução:

O número de diagonais que passam pelo centro

de um polígono convexo regular com um número

par de lados, é igual à metade do número de

lados desse polígono.Sendo assim , temos:

= 5 => n = 2●5 n = 10

Sabemos que Si = (n-2)●1800 . Logo, vem:

Si = (10-2)●1800 => Si = 8●1800

Si = 1440

0


18.(ITA)A soma das medidas dos ângulos

internos de um polígono regular é 2160O Então

o número de diagonais deste polígono que não

passam pelo centro da circunferência que o

circunscreve é:

a)50 b)60 c)70 d)80 e)90

Solução:

►Sabemos que Si = (n-2)●1800 . Logo, vem:

2.1600 = (n-2)●1800(÷1800) => 12 = n - 2

12 + 2 = n 14 = n

►O número total de diagonais desse polígono é

igual a:

Dn =

D14 =

=> D14 = 7●11 D14 = 77

►Como o polígono é regular e possui um número

par de lados,o número de diagonais que passam

pelo seu centro (Dc) é igual a:

Dc =

=> Dc =

Dc = 7

Se do número total de diagonais do polígono,

retirarmos o número de diagonais que passam

pelo seu centro, obtemos o número de diagonais

que não passam pelo centro(Dnc) do,

mesmo.Sendo assim, temos:

Dnc = Dn – Dc => Dnc = 77-7 Dnc = 70


19.Seja ABCDE... um polígono regular convexo

onde as mediatrizes dos lados AB e BC formam

um ângulo de 30º. Sendo assim, temos que o

número de diagonais desse polígono é igual a:

a)54 b)51 c)50 d)49 e)48

7

Solução:

A medida do menor ângulo formado pelas

mediatrizes de dois lados consecutivos de um

polígono convexo regular de n(n≥3) lados, é igual

à medida de seu ângulo externo.Sendo assim,

temos:

ên =

=> 300 =

=> n =

n = 12

Logo, o número total de diagonais desse

polígono é igual a:

Dn =

D12 =

=> D14 = 6●9 D14 = 54


20.A medida do menor ângulo, formado pelas

bissetrizes internas de dois ângulos

consecutivos, de um icoságono convexo regular,

é igual a:

a)36º b)40º c)22º d)18º e)14

Solução:

A medida do menor ângulo formado pelas

bissetrizes de dois ângulos internos e

consecutivos de um polígono convexo regular de

n(n≥3) lados, é igual à medida de seu ângulo

externo.Sendo assim, temos:

ên =

=> ên =

=> ên = 18

0

Resposta:Alternativa D

“Faça o que for necessário para ser

feliz.Mas não esqueça que a felicidade é um

sentimento simples,você pode encontrá-la e

deixá-la ir embora por não perceber a sua

simplicidade.” (Mário Quintana)

prof.: Roberto Calazans

fone : 041 81 98803263

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