ProporcionalidadeDouglas Joziel

Contedo

1 Proporcionalidade 11.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Mecanismos de resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Algortimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Deduzindo proporcionalidades a partir de igualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Formas de proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Proporcionalidade inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Divina proporo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Linearizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 Ver tambm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Proporo direta 52.1 Proporo direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Propriedades de uma proporo direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Linearizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Regra de trs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Ver tambm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Proporo inversa 113.1 Ver tambm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Linearizao 134.1 Linearizao de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Ver tambm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5.2 Imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

i

ii CONTEDO

4.5.3 Licena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Captulo 1

Proporcionalidade

A proporcionalidade, para a matemtica, a qumica e a fsica, a mais simples e comum relao entre grandezas.A proporcionalidade direta um conceito matemtico amplamente difundido na populao leiga pois bastantetil e de fcil resoluo atravs da "regra de trs". Quando existe proporcionalidade direta, a razo (diviso) entreos correspondentes valores das duas grandezas relacionadas uma constante, e a esta constante d-se o nome deconstante de proporcionalidade.

1.1 DenioEm regra, a proporcionalidade uma relao binria que pode ocorrer numa dupla de funes reais de mesmo do-mnio. Uma funo proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) denominada(s)constante(s) de proporcionalidade que igual(em) cada razo entre as valoraes. Ento, dados um conjuntoX R e duas funes f; g : X ! R , temos que: f proporcional a g se e s se existe alguma constante real ktal que, para todo x ao longo de X , f(x)g(x) = k Isso

f / g () 9k 2 R: 8x 2 X: f(x)g(x)

= k

Isso vale para os nmeros reais; lgebras exticas no sero abordadas nesse artigo.Sendo verdadeira a proporcionalidade, existiro exatamente um ou dois valores possveis para k .

8x 2 X: k 2f(x)

g(x);g(x)

f(x)

E mantm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

1.2 PropriedadesAlgumas propriedades da proporcionalidade sero enunciadas e provadas abaixo:

1.2.1 EquivalenteA relao de proporcionalidade reexiva, comutativa (ou "simtrica") e transitiva, portanto, uma relao de equi-valncia.

Reexiva

Toda funo proporcional a si mesma.

1

2 CAPTULO 1. PROPORCIONALIDADE

f / f

Provada a partir da denio:

8x 2 X: f(x)f(x)

= 1

Este o nico caso em que existe uma s constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou Simtrica)

No existe uma ordem exacta dos objetos, pois seja qual for a sua colocao a proporcionalidade no se altera.

f / g () g / f

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

8x 2 X: k 2nf(x)g(x) ;

g(x)f(x)

o=ng(x)f(x) ;

f(x)g(x)

o

Transitiva

A proporcionalidade transitiva:

f / g ^ g / h () f / h

Portando a expresso acima pode ser simplicada em:

f / g / h

Prova-se a partir da denio:

8x 2 X: f(x) = g(x)8x 2 X: g(x) = h(x)

) 8x 2 X: f(x) = h(x)

O produto entre constantes constante.

1.3 Mecanismos de resoluoEis alguns processos de clculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

1. Multiplicao de ambos os termos

2. Inverso de ambos os termos

3. Eliminao de constantes

1.4. FORMAS DE PROPORCIONALIDADE 3

1.3.1 Algortimos1. "Regra de trs" ou Multiplicao cruzada2. "Regra de trs composta"

1.3.2 Deduzindo proporcionalidades a partir de igualidadesConsidere, por exemplo, a equao de Clapeyron:

8t 2 T: P (t) V (t) = n(t) R T (t)

1.4 Formas de proporcionalidade

1.4.1 Proporcionalidade inversaSe duas funes so inversamente proporcionais, ento uma proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

a / b1 () b / a1

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expresso de proporcionalidade. Ambas as formas esta-belecem que:

ab / 1

1.4.2 Divina proporoQuando o "nmero de ouro" (' 1; 618) uma constante duma relao verdadeira de proporcionalidade entrefunes positivas diz-se que esto em divina proporo.Isso ocorre se e somente se:

a+ b

a=

a

b) a

b= '

1.5 AplicaesAlm de um enorme nmero de aplicaes cotidianas, a proporcionalidade, associada anlise dimensional muitotil ao empirismo cientco.A proporcionalidade tambm de interesse das artes e do estudo da esttica.

1.6 LinearizaoEmbora a mais simples relao entre grandezas, sabido contudo que grande parte das relaes encontradas entregrandezas fsicas naturais no se fazem mediante proporo direta. H contudo ferramentas matemticas especcas,a exemplo a troca de variveis e as linearizaes, que permitem reduzir uma relao inicialmente mais complicada auma relao de proporo direta, quando no ao longo de todo o domnio de validade da relao, aomenos localmente.A expanso em sries de Taylor desempenha importante papel em reas cientcas exatas tanto em teorias como naprtica. Indica-se a leitura de artigos especcos para maiores informaes sobre o assunto.

4 CAPTULO 1. PROPORCIONALIDADE

1.7 Ver tambm Razo Proporo direta Proporo inversa Variao com o inverso do quadrado Variao com o quadrado Variao com o cubo Linearizao

1.8 Bibliograa Lima, Elon Lages. Temas e problemas. 1.ed. SBM, 2001. 193 p. Captulo 1. ISBN 8585818166

Captulo 2

Proporo direta

Comparao entre a funo am e a proporo direta. A proporo direta um caso especial de funo am. O grco de umaproporo direta uma reta que passa pela origem. Sua expresso geral Y = CX. O valor da constante de proporcionalidadepode ser facilmente calculado como a razo entre y e x, contudo o mtodo tradicional que envolve a razo entre as correspondentesvariaes de Y e X ainda plenamente vlido.

5

6 CAPTULO 2. PROPORO DIRETA

Proporo direta, em matemtica, o nome dado relao entre duas grandezas ou variveis que crescem oudecrescem juntas sempre mediante um fator comum. o caso mais simples de relao entre duas grandezas ouvariveis.

2.1 Proporo diretaMatematicamente, se duas grandezas X e Y encontram-se relacionadas e so diretamente proporcionais, observa-seque: dobrando-se o valor de uma das grandezas, o valor da grandeza correspondente tambm dobra; triplicando-seo valor de uma das grandezas, o correspondente valor da outra tambm triplica, e assim por diante. De forma geral,multiplicando-se uma das grandezas por um certo fator real r, a outra ter seu valor tambmmultiplicado pelo mesmofator r.Em matemtica o smbolo utilizado para representar uma relao de proporo direta a letra grega alfa ( ), deforma que se as grandezas X e Y guardam relao direta uma com a outra, esta pode ser assim representada:Y X

Tal relao geralmente lida como: Y diretamente proporcional a X, ou simplesmente, Y proporcional a X.Uma propriedade importante da proporo direta que os valores de uma das grandezas (y) e os correspondentesvalores da outra grandeza (x), em vista da denio, guardam sempre a mesma razo, quaisquer que sejam os pares(x,y) escolhidos. Sendo x1 e x2 dois valores distintos da grandeza X e y1 e y2 os corespondentes valores de Y, tem-seque:y2x2

= y1x1

A constncia da razo a demonstrvel mediante a considerao de que o valor x2 pode ser obtido multiplicando ovalor x1 por um certo fator r adequado (para x1 no nulo, r = x2 / x1). Para que Y e X guardem proporo direta, aomultiplicar-se x1 por um fator r qualquer a m de obter-se um novo valor x2, deve-se tambm multiplicar o valor y1associado a x1 pelo mesmo fator r a m de obter-se o novo valor y2 associado x2. Logo conclui-se que a denioimplica que y2 deva ser igual a r vezes y1 para que se tenha uma proporo direta. Tem-se pois que, se x2 = r x1ento y2 = r y1 necessariamente. Logo a razo entre y2 e x2 vale:y2x2

= ry1rx1 =y1x1

= C

quaisquer que sejam os valores x2 e y2 (ou seja, qualquer que seja o valor de r).A constante C denominada constante de proporcionalidade entre as grandezas Y e X e pode de forma geral serassim calculada:C = yx

sendo x o valor da grandeza independente X e y o respectivo valor da grandeza dependente Y. Decorre imediatamenteque, se:

Y X

ento, de forma geral para qualquer proporo direta:

y = C:x

Repare o sinal de diretamente proporcional foi trocado por um sinal de igual e uma constante C adequada. Talprocedimento padro e pode ser adotado sempre que necessrio.

2.2 Propriedades de uma proporo direta O grco Y x X para duas grandezas diretamente proporcionais formar uma reta que passa pela origem do

sistema de coordenadas cartesiano.

2.2. PROPRIEDADES DE UMA PROPORO DIRETA 7

Tal armao pode ser conrmada ao comparar-se a equao obtida para a proporo direta com a equao de umareta no plano em sua forma reduzida:Y = a.X + b , onde a e b representam constantes. V-se de imediato que a correspondncia: a = C e b = 0 nos leva equao geral da proporo direta. O valor de b corresponde ao valor em que a reta intercepta o eixo vertical nogrco. Sendo zero para uma proporo direta, a reta necessariamente passa pela ogirem (0,0).

A razo entre dois valores de uma dada grandeza amesma razo entre os respectivos valores da outra grandeza:X2X1

= Y2Y1

ou seja, em uma tabela encerrando em uma coluna os valores da grandeza Y e em outra os respectivos valores dagrandeza X as linhas guardam razo entre si (contudo esta razo depende das duas linhas escolhidas). Esta a ideiacentral por trs da regra de trs.

O valor de uma grandeza obtido multiplicando-se o respectivo valor da outra por uma constante xa C.

y = C:x

J comentado. Implica que, em uma tabela encerrando em uma coluna os valores da grandeza Y e em outra osrespectivos valores da grandeza, uma coluna um mltiplo da outra mediante um fator xo para toda a tabela,qualquer que seja a linha escolhida.

A constante de proporcionalidade geralmente tem unidade.

F F12 21q1 q2

r

+

F F12 21= =_kq1q2r 2

F12 q1+F21q2+

Lei de Coulomb: A fora entre duas cargas eltricas q1 e q2 diretamente proporcional a cada uma das cargas e diretamenteproporcional ao inverso do quadrado da distncia r que as separa.

A constante de proporcionalidade tambm exerce o papel de manter a equao dimensionalmente correta, e seu valordepende das unidades em uso. Assim, tendo-se em vista como exemplo a lei de coulomb, que arma: a fora eltrica

8 CAPTULO 2. PROPORO DIRETA

entre duas cargas puntuais diretamente proporcional ao produto das cargas e diretamente proporcional ao inverso doquadrado da distncia que as separa, e lembrando-se que no Sistema Internacional de Unidades a unidade de distncia o metro, a unidade de fora o newton e a unidade de carga o coulomb, a constante de proporcionalidade,na eletrosttica chamada de constante de Coulomb k, deve ter dimenso de newton metro quadrado por coulombquadrado a m de que tudo se encaixe.Traduzindo, com o colchetes [] representando a unidade de, tem-se que:F = k q1q2r2 (lei de Coulomb)[q] = coulomb (C)[r] = metro (m)[F] = newton (N)ento necessariamente:[k] = Nm

2

C2

Contudo se o conjunto de unidades em uso fosse outro, a exemplo se a carga fosse medida em franklin, a distnciaem centmetros e a fora em dinas, embora o problema e as grandezas permaneam essencialmente os mesmos, ovalor numrico da constante bem como sua unidade seriam certamente diferentes dos anteriormente considerados.Em suma, as constantes de proporcionalidade ajustam e informam as unidades a serem utilizadas nas expressesmatemticas que expressam as relaes entre grandezas fsicas. Vrias so experimentalmente determinadas e entotabeladas, dando origem ao que usualmente se denomina por tabela de constantes fsicas".Bom exerccio quanto compreenso da proporo direta identicar a equao da lei de Coulomb a partir de seuenunciado, e vice-versa.

2.3 Linearizao

Linearizao de um funo quadrtica

A proporo direta corresponde mais simples relao que pode existir entre duas grandezas ou variveis, sendoseguida pela variao linear. Certamente h um nmero enorme de relaes que no se enquadram nos casos acima,mas por serem estes facilmente acessvel nossa cognio, e comum descreverem-se relaes mais complexas como mesmo raciocnio sempre que possvel. O clculo integral e diferencial prov ferramentas para reduzir qualquer

2.4. REGRA DE TRS 9

relao "bem comportada" mais complexa relao de variao linear (ou quando possvel proporo direta, que um caso especial desta), se no em toda a extenso de seu domnio pelo menos localmente (em torno de um pontoespecco).Contudo h casos em que as relaes mais complexas podem ser reduzidas proporcionalidade de forma bem maissimples, bastando para tal uma ou mais trocas de variveis. A exemplo, considere uma relao estabelecida pela regraY = 5X . Certamente os valores de y e x no guardam proporo direta, algo facilmente vericvel na tabela quese segue ao ter-se em vista as propriedades caractersticas de uma proporo direta: uma coluna um mltiplo daoutra, e duas linhas guardam razo entre si.Contudo, construndo-se uma terceira coluna onde guram agora no os valores de X mas sim os valores x de umanova varivel nomeada Z, ver-se- facilmente que os valores de Y so agora diretamente proporcionais aos valoresde Z mediante constante de proporcionalidade igual a 5. Isto possibilita dizer com segurana que Y diretamenteproporcional a Z. Como Z foi denido como o quadrado de X, tem-se:Y diretamente proporcional ao quadrado de X", onde subentende-se que o quadrado de x funciona como uma varivel nica.Com a troca de variveis foi possvel reduzir-se a funo parablica dada (Y=5X) condio de uma proporodireta (Y = 5Z). Embora este processo no seja aplicvel a qualquer funo parablica, ele o sempre que guarapenas o termo ax, o que nos leva variao com o quadrado, e tambm aplicvel a vrios outros casos, como narelao inversa (Z= 1/x) e na variao com o inverso do quadrado (z=1/x).O processo de troca de variveis mostra-se muito til principalmente em problemas ligados s cincias naturais. Nalei de Coulomb, a fora eltrica F entre duas cargas puntuais diretamente proporcional ao inverso do quadrado dadistncia r entre as cargas, mostrando que a troca de variveis Z=1/r leva FZ .Muitas vezes h a necessidade de duas trocas de variveis. A terceira lei de Kepler sobre o movimento planetrioestabelece que Os quadrados dos perodos de translao T dos planetas so proporcionais aos cubos dos eixosmaioresD de suas rbitas. Neste caso tem-se que fazer W=T e Z =D para se obter a proporo direta WZ . Nestestermos o quadrado do perodo e o cubo do comprimento do eixo maior funcionam como variveis, e no o perodo eo comprimento do eixo propriamente ditos.H diversos outros casos em que este processo se aplica. comum o seu uso para linearizar relaes exponenciais elogaritmas - comuns tambm em cincias naturais. H de se ressaltar contudo que em todos os casos, incluso todosos anteriormente relatados, consideraes a respeito do domnio e imagem das relaes envolvidas podem se fazernecessrias.Uma outra forma de se transformar uma curva em uma reta em um grco mudar a escala do eixo mantendo-secontudo a grandeza original no eixo horizontal. Assim, uma funo exponencial Y = cabX ter seu grco coma aparncia de uma reta caso o eixo vertical Y em um grco Y x X esteja com seus valores dispostos em escalalogaritma.

2.4 Regra de trsA proporo direta o suporte central operao matemtica conhecida como "regra de trs", contudo nela podeainda gurar uma outra relao entre grandezas, a proporo inversa. Identicar se duas grandezas so ou no di-retamente proporcionais bem como se estas so ou no inversamente proporcionais constitui-se em uma habilidadeimportante para solucionarem-se problemas envolvendo regra de trs. Em tais situaes usual representar-se queduas grandezas Y e X so diretamente proporcionais da seguinte forma:

x" y" ou x# y#

J a proporo inversa assim representada:

x" y# ou x# y"

H situaes em que, havendo mais de duas grandezas envolvidas, observa-se entre estas grandezas, quando tomadasduas a duas, tanto as relaes de proporo direta quanto inversa:

x" y# z"

10 CAPTULO 2. PROPORO DIRETA

Tem-se acima que x inversamente proporcional y e que y inversamente porcional a z, o que implica x diretamenteproporcional a z.Vale a pena ressaltar que nem sempre a simples observao de que uma grandeza aumenta quando outra aumenta suciente para armar-se que as mesmas guardam relao de proporo direta. H diversas outras relaes que im-plicam amesma observao, das quais duas muito frequentes em fenmenos naturais so a "variao com o quadrado"e a "variao com o cubo".

2.5 Ver tambm Proporcionalidade

Regra de trs Regra de trs simples Regra de trs composta

Proporo inversa Variao com o inverso do quadrado Variao com o quadrado Variao com o cubo

Captulo 3

Proporo inversa

A hiprbole uma cnica.

Proporo inversa, em matemtica, a nomenclatura associada relao que existe entre duas grandezas paraas quais se observa o seguinte comportamento: dobrando-se o valor inicial de uma delas, a outra ter seu valorcorrespondente dividido por dois; triplicando-se o valor da primeira, o valor da outra divide-se por trs, e assim por

11

12 CAPTULO 3. PROPORO INVERSA

diante. De forma geral, multiplicando-se uma das grandezas por um certo fator real r, a outra ter seu valor divididopelo mesmo fator r.Nestas condies, devido bijetividade da relao inversa entre duas grandezas, tem-se que esta relao constituiuma funo. Y funo de x, ou seja, Y=f(x), e vice-versa.Matematicamente, se duas grandezas x e y so inversamente proporcionais, quando x cresce, y decresce de formaproporcional; e quando x decresce, y crescer segundo o mesmo fator aplicado a x. Tal relao representa-se assim:Y 1X

o sinal de proporcionalidade , que signica " diretamente proporcional a, pode ser substitudo por um sinal deigual e uma constante C adequada, de forma que a expresso geral para uma proporo inversa torna-se:Y = CX

O grco de tal funo denomina-se hiprbole. Trata-se de uma cnica com aplicaes diversas.Identicar se duas grandezas so ou no inversamente proporcionais bem como se estas so ou no diretamenteproporcionais constitui-se em uma habilidade importante para solucionarem-se problemas envolvendo "regra de trs".Em tais situaes usual representar-se que duas grandezas x e y so inversamente proporcionais da seguinte forma:

x" y# ou x# y"

J a proporo direta assim representada:

x" y" ou x# y#

H situaes em que, havendo mais de duas grandezas envolvidas, observa-se entre estas grandezas, quando tomadasduas a duas, tanto as relaes de proporo direta quanto inversa:

x" y# z"

Tem-se acima que x inversamente proporcional y e que y inversamente porcional a z, o que implica x diretamenteproporcional a z.Em geral, o fato de uma grandeza diminuir quando outra aumenta (mais precisamente, de ser uma funo decrescenteda outra) no implica que elas sejam inversamente proporcionais. Um exemplo disso a variao com o inverso doquadrado, presente em certos fenmenos da natureza, que embora possa ser representada por uma funco decrescenteda forma f(x) = c/x2 , no se trata de uma relao de proporo inversa. Exemplos de funes decrescentes e deoutros tipos mais gerais podem ser encontrados no artigo sobre funes montonas.

3.1 Ver tambm Regra de trs Regra de trs simples Regra de trs composta

Proporcionalidade Variao com o inverso do quadrado Proporo direta Variao com o quadrado Variao com o cubo

Captulo 4

Linearizao

Em matemtica e suas aplicaes, linearizao refere-se a encontrar a aproximao linear de uma funo em umdado ponto. No estudo de sistemas dinmicos, linearizao um mtodo para avaliar-se a estabilidade local de umponto de equilbrio de um sistema de equaes diferenciais no lineares ou sistemas dinmicos discretos.[1] Estemtodo usado em campos tais como engenharia, fsica, economia e ecologia.

4.1 Linearizao de uma funo

Linearizaes de funes so funes lineares geralmente usadas com propsito de realizar clculos especcos.Linearizar um mtodo ecaz de aproximar a imagem de uma funo y = f(x) em qualquer x = a baseando-sena inclinao da reta tangente da funo em x = b , desde que f(x) seja contnua em [a; b] (ou [b; a] ) e a estejasucientemente prximo de b .Por exemplo: voc provavelmente sabe que

p4 = 2 . Mas sem uma calculadora, como seria possvel calcularp4; 001

?Seja La(x) a funo correspondente linearizao de f(x) em a , a propriedade da Localidade Linear nos diz quequalquer funo diferencivel num ponto linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nvel de zoom, seu grcoassemelhar-se- a uma reta. Essa reta justamente a reta tangente da funo naquele ponto especco.Sendo assim, a linearizao da funo f(x) no ponto x = a ser: y f(a) = m(x a) ou y = f(a) +m(x a) ,em quem a inclinao da reta, que corresponde derivada da funo f(x) em a . A equao nal para a frmulado calculo da linearizao :y = f(a) + f 0(a)(x a)

4.2 Exemplo

Para encontrarp4; 001 ns podemos usar o fato de quep4 = 2 . A linearizao de f(x) = px no ponto x = a y =

pa+ 1

2pa(x a)

Substituindo a por 4, temos:y = 2 + 14 (x 4)Nesse caso, x = 4; 001 , ento:y = 2 + 14 (0; 001) = 2:00025

Perceba que o verdadeiro valor dep4; 001 2; 000249984 , portanto esta linearizao possui um erro de 0; 000000016.

13

14 CAPTULO 4. LINEARIZAO

4.3 Ver tambm Proporo direta Reta tangente Clculo diferencial Sries de Taylor

4.4 Referncias[1] O problema da linearizao em sistemas dinmicos unidimensionais complexos na Scholarpedia (em ingls).

4.5. FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENAS DE TEXTO E IMAGEM 15

4.5 Fontes, contribuidores e licenas de texto e imagem4.5.1 Texto

Proporcionalidade Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidade?oldid=39220488 Contribuidores: Usien, He7d3r, Garavello,Albmont, Py4nf, VolkovBot, Gerakibot, Heiligenfeld, Luckas-bot, GoeBOThe, Salebot, Lauro Chieza de Carvalho, Onjacktallcuca,Darwinius, Ricardo Ferreira de Oliveira, Danilo.mac, TobeBot, Rafael Kenneth, Alph Bot, Dbastro, Aleph Bot, EmausBot, HRoestBot,ChuispastonBot, Stuckkey, WikitanvirBot, Vinicius Metal, MerlIwBot, KLBot2, Antero de Quintal, Prima.philosophia e Annimo: 25

Proporo direta Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o%20direta?oldid=41457081 Contribuidores: He7d3r,LipeFontoura, Salebot, Lauro Chieza de Carvalho, Marcos Elias de Oliveira Jnior, HVL, Stuckkey, MerlIwBot, Zoldyick e Annimo: 7

Proporo inversaFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o%20inversa?oldid=40433781Contribuidores: He7d3r,LipeFontoura, PixelBot, Salebot, Lauro Chieza de Carvalho, Alph Bot, MerlIwBot, Zoldyick, Addbot, Alta Foz e Annimo: 4

LinearizaoFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lineariza%C3%A7%C3%A3o?oldid=36454857Contribuidores: He7d3r, Rodrigo Tet-suo Argenton, Quiumen, Luckas-bot, LaaknorBot, Dielson Sales, Lauro Chieza de Carvalho, Xqbot, Faustino.F, RedBot, KLBot2 eAnnimo: 1

4.5.2 Imagens Ficheiro:CoulombsLaw_scal.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/CoulombsLaw_scal.svg Licena: CC

BY 3.0 Contribuidores: CoulombsLaw.svg Artista original: CoulombsLaw.svg: User:Dna-Dennis Ficheiro:Disambig_grey.svgFonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Disambig_grey.svgLicena: Public domain

Contribuidores: Obra do prprio Artista original: Bubs Ficheiro:E-to-the-i-pi.svg Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/E-to-the-i-pi.svg Licena: CC BY 2.5 Con-

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ProporcionalidadeDefinioPropriedades Equivalente

Mecanismos de resoluo Algortimos Deduzindo proporcionalidades a partir de igualidades

Formas de proporcionalidade Proporcionalidade inversaDivina proporo

AplicaesLinearizao Ver tambm Bibliografia

Proporo diretaProporo diretaPropriedades de uma proporo direta Linearizao Regra de trs Ver tambm

Proporo inversaVer tambm

LinearizaoLinearizao de uma funoExemploVer tambm RefernciasFontes, contribuidores e licenas de texto e imagemTextoImagensLicena