7/26/2019 prova calculo I

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Pontifcia Universidade Catolica de Minas GeraisCurso de Engenharia Qumica

Calculo IV - Primeira Prova

Professora: Flaviana Dutra - Valor: 40 pontos - 26/03/2014

Instrucoes: Esta prova e individual, sem consulta e tem duracao de 90 minutos. NAO e permitido o uso de calculadoras.

RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NAO SERAO CONSIDERADAS: lembre-se que voce seraavaliado pelo que tiver escrito e nao pelo que tiver pensado. O esboco da regiao de integracao faz parte da solucao. As questoes devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificada.

Nome: Nota

Questao 1 (8 pontos) Classifique as afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.

a) Se f for uma funcao de uma variavel, contnua no intervalo [0, 1], entao

1

0

1

0

f(x)f(y)dy dx=

1

0

f(x) dx

2

b)A integral

1

0

1x

0

1xy

0

z dz dy dx representa o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo

planox + y+ z = 1.

Questao 2 (8 pontos)Uma lamina triangular de metal de vertices A(0, 0), B(0, 1) e C(1, 0) tem densidade demassa no ponto (x, y) dada por (x, y) = xy. Determine a massa dessa lamina e escreva, mas nao calcule, as integraisque determinam as coordenadas seu centro de massa.

Questao 3 (8 pontos)Calcule o volume do solido delimitado pelos graficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2.

Questao 4 (8 pontos)Mostre que a regiao interna a circunferencia de raio a possui area igual a a2.

Questao 5 (8 pontos)Um solido delimitado pelas superfcies z = 0, z =

1 x2 y2 e z =

4 x2 y2

tem densidade de massa (x,y,z) inversamente proporcional a distancia do ponto (x,y,z) ate a origem. Sabendo que aconstante de proporcionalidade e 1, calcule a massa deste solido.

LEMBRE-SE:

D

f(x, y) dA=

21

r2r1

f(r cos, r sen) r dr d, onde D = {(r, )| 1 2, r1 r r2}

E

f(x,y,z) dV =

21

21

21

f( sen cos, sen sen, cos) 2 sen d d d,

onde E= {(,,) | 1 2, 1 2, 1 2}

My =

D

x(x, y) dA e Mx =

D

y(x, y) dA;

My

M ,

Mx

M

Boa Prova!!!