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(Questões de provas resolvidas e comentadas)

Carlos R. Torrente

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Torrente, Carlos Roberto Raciocínio lógico para concurso, Carlos Torrente – 1ª ed. – Gov. Valadares – MG – 2015.

ISBN: 978-85-67182-24-7

Prefixo Editorial: 67182

Direitos reservados. Reprodução proibida. 2015.

e-mail: [email protected]

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Editoração e revisão: Carlos Torrente Diagramação: Carlos Torrente Capa: Willian Passos

________________________________________________ NOTA: Apesar dos cuidados e revisões, podem ocorrer erros de

digitação, ortográficos e dúvidas conceituais. Em qualquer hipótese, solicitamos a sua comunicação para o e-mail [email protected] para que possamos esclarecer ou corrigir, se for o caso.

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Agradeço a Deus e dedico este livro à

minha esposa Neide, aos meus filhos

Camila, Igor, meu genro Willian Passos

e minha sobrinha Franciely Torrente.

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Sumário: Proposição...........................................................................09 Conectivo.............................................................................12 Tabela verdade....................................................................14 Como negar uma proposição..............................................19 Proposições equivalentes....................................................42 Equivalências lógicas..........................................................52 Tautologia............................................................................65 Contradição.........................................................................66 Contingência........................................................................67 Argumentação.....................................................................69 Proposições categóricas.....................................................99 Diagramas lógicos.............................................................100 Sentenças abertas.............................................................115 Quantificador universal......................................................116 Quantificador existencial...................................................118 Sequência com números e letras......................................125

Bibliografia.........................................................................155

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RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

Proposição: É uma declaração ou sentença que pode ser

julgada como VERDADEIRA — V —, ou FALSA — F —, mas

não como V e F simultaneamente.

Sendo assim, vejamos os exemplos:

a) O curso preparatório é o caminho para o sucesso.

b) O Brasil é um país democrático.

c) As instituições federais tem autonomia.

d) Os brasileiros são acolhedores.

e) Hoje teremos prova de matemática.

f) Todo mineiro é torcedor do Cruzeiro.

g) 3 + 2 < 6 – 2

Estas sentenças podem ser julgadas como VERDADEIRAS

ou FALSAS, logo, cada sentença representa uma proposição.

A sentença ou frase onde você não consegue julgar, se é

verdadeira ou falsa, não representa uma proposição.

Exemplos:

Exclamações: Parabéns!

Interrogações: Quantas horas são?

Imperativos: Estude para a prova de matemática.

Sentenças abertas: x + 3 = 8

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Proposição composta: As proposições compostas são

expressões construídas a partir de outras proposições.

Exemplo:

Carlos é professor (Proposição simples)

Roberto é cantor (Proposição simples)

Carlos é professor e Roberto é cantor. (Proposição composta)

Exercício resolvido:

1 – ICMS/SP) . Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma

mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas

não tem essa característica.

I. Que belo dia!

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.

III. O jogo terminou empatado?

IV. Existe vida em outros planetas do universo.

V. Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a:

(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.

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Solução: Analisando cada uma das frases, temos:

I. Que belo dia!

É uma sentença exclamativa, portanto não representa uma

proposição.

II. Um excelente livro de raciocínio lógico.

É uma sentença que não pode ser julgada como falsa ou

verdadeira, portanto não representa uma proposição.

III. O jogo terminou empatado?

É uma sentença interrogativa, portanto não representa uma

proposição.

IV. Existe vida em outros planetas do universo.

É uma sentença que pode ser julgada como falsa ou

verdadeira, portanto representa uma proposição simples.

V. Escreva uma poesia.

É uma sentença imperativa, portanto não representa uma

proposição.

Portanto, a sentença IV é a única que representa uma

proposição simples, as demais frases não são proposições.

Resposta correta: LETRA D

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CONECTIVOS: São símbolos usados para ligar as proposições

simples, transformando-as em proposições compostas.

Os principais conectivos são:

• Conjunção: A ^ B (lê-se: A e B)

• Disjunção: A ν B (lê-se: A ou B)

• Condicional: A → B (lê-se: se A então B)

• Bicondicional: A ↔ B (lê-se: A se somente se B)

Os conectivos serão representados das seguintes formas:

^: corresponde “e” (conjunção).

Ex: Trabalho e estudo.

A – Trabalho

B – Estudo

A ^ B (Trabalho e estudo)

ν : corresponde “ou” (disjunção).

Ex: Trabalho ou estudo.

A – Trabalho

B – Estudo

A ν B (Trabalho ou estudo)

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v ou ◊: corresponde “...ou, ...ou,...” mas não ambos.

(disjunção exclusiva)

Ex: Ou Trabalho ou estudo.

A – Trabalho

B – Estudo

A v B ou A ◊ B (Ou Trabalho ou estudo)

OBS: O conectivo v ou ◊ não é usado com muita frequência em

provas de concurso.

→ : corresponde “se...então...” (condicional)

Ex: Se trabalho então, não estudo.

A – Trabalho

B – Não estudo

A → B (Se trabalho então, não estudo)

↔ : Corresponde “...se e somente se...” (bicondicional).

Ex: Trabalho, se e somente se, estudo.

A – Trabalho

B – Estudo

A ↔ B (Trabalho, se e somente se, estudo).

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Tabela verdade:

Trata-se de uma tabela formada por linhas e colunas, mediante

a qual são analisados os valores lógicos de proposições

compostas.

O número de linhas da tabela depende do número de

proposições que a sentença apresenta.

Para encontrar o número de linhas de uma tabela verdade é só

utilizar a seguinte fórmula:

Nº linhas da Tabela-Verdade = 2nº de proposições

N = 2n

Exemplo:

1 – CESPE) A proposição simbólica P ٨ Q ٧ V possui, no

máximo, 4 avaliações.

( ) Certa ( ) Errada

Solução: A proposição dada P ٨ Q ٧ V tem três sentenças

distintas (P, Q e V), logo, usando a fórmula, temos:

2³ = 8, portanto, a proposição tem 8 avaliações.

Resposta: Conclusão Errada.

2 – CESPE) Considerando os símbolos lógicos ¬ (negação), ٨

(conjunção), ٧ (disjunção), → (condicional) e as proposições

S: (p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p ٨ r) → q ٧ r

T: ((p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p v r)) ٨ (¬ q ٨ ¬ r),

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As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas.

Solução: A proposição dada S tem três sentenças distintas (p,

q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição S tem 8 avaliações.

A proposição dada T tem três sentenças distintas (p, q e r),

2³ = 8, portanto, a proposição T tem 8 avaliações.

Resposta: Conclusão Errada.

Construção da tabela verdade de uma conjunção:

Conjunção: Proposições compostas em que está presente o

conectivo “e” representado pelo símbolo “∧”.

• A ٨ B (lida como “A e B ”): Uma conjunção tem valor lógico

Verdadeiro (V) quando ambas proposições forem

Verdadeiras; nos demais casos, será Falso ( F ).

Tabela verdade de uma conjunção:

A B A ٨ B

V V V

V F F

F V F

F F F

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Construção da tabela verdade de uma disjunção:

Disjunção: Proposições compostas em que está presente o

conectivo “ou” são ditas DISJUNÇÕES. Uma disjunção pode

ser inclusiva, representada pelo símbolo “٧”, ou exclusiva,

representada pelo símbolo v ou ◊.

Construção da tabela verdade de uma disjunção inclusiva:

• A ٧ B (lida como “A ou B”): Uma disjunção inclusiva tem

valor lógico F quando ambas forem Falsas; nos demais casos,

será V;

Tabela verdade de uma disjunção inclusiva:

A B A ٧ B

V V V

V F V

F V V

F F F

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Construção da tabela verdade de uma disjunção exclusiva:

• A v B (lida como “ou A... ou B...”): Uma disjunção exclusiva

tem valor lógico F quando ambas forem verdadeiras ou Falsas;

ou seja, quando ambas proposições tiverem os mesmos

valores lógicos, nos demais casos, será V;

Tabela verdade de uma disjunção exclusiva:

A B A v B

V V F

V F V

F V V

F F F

Construção da tabela verdade de uma condicional:

Condicional: Proposições compostas em que está presente o

conectivo “se ... então” que é representado pelo símbolo “→”.

• A → B (lida como “se A, então B”): Uma condicional tem

valor lógico F quando A for Verdade e B for Falso; nos demais

casos, será V;

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Tabela verdade de uma condicional:

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

Construção da tabela verdade de uma bicondicional:

Bicondicional: Proposições compostas em que está presente

o conectivo “Se e somente se” representada pelo símbolo “↔”.

• A ↔ B (lida como “se A, se e somente se B”): Uma

bicondicional tem valor lógico V quando ambas proposições

tiverem os mesmos valores lógicos, ou seja Falsas (F,F) ou

Verdadeiras (V,V); nos demais casos, será F;

Tabela verdade de uma bicondicional:

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

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Como negar uma proposição:

O símbolo que representa a negação é uma pequena

cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo o símbolo

que representa a proposição.

No caso de uma proposição simples basta pôr a palavra não

antes do verbo, e já a tornamos uma negativa.

Exemplos:

Carlos é professor

Negação: Carlos não é professor

Igor é engenheiro.

Negação: Igor não é engenheiro.

Veja a negação de proposições simples na tabela verdade.

• ¬A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V,

quando A for F.

Tabela verdade da negação de proposições:

A B ¬ A ¬ B

V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

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Em resumo, os valores lógicos representados na tabela

verdade ficam da seguinte forma:

A B ¬ A ¬ B A ٨ B A ٧ B A v B A → B A ↔ B

V V F F V V F V V

V F F V F V V F F

F V V F F V V V F

F F V V F F F V V

Exemplos:

1 – Represente cada uma das sentenças usando os conectivos

lógicos, considerando que as letras A, B, C e D representam as

seguintes proposições:

A: Carlos é professor. C: Paulo é ator.

B: Roberto é cantor. D: Igor é policial.

a) Paulo é ator e Igor é policial. C ٨ D

b) Roberto é cantor ou Igor é policial. B ٧ D

c) Igor é policial e Carlos é professor. D ٨ A

d) Carlos não é professor e Roberto é cantor. ¬ A ٨ B

e) Se Paulo é ator, então Igor não é policial. C → ¬ D

f) Se Carlos é professor e Pedro é atleta, então Igor é

policial. ( A ٨ ¬ C ) → D

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Negação de uma proposição composta:

Negação de uma conjunção: Para negar uma proposição

composta por uma conjunção, deve-se negar a primeira e a

segunda proposição, e depois trocar o conectivo “e” por “ou”.

Exemplo:

1 – IBFC) A negação da frase: “Carlos foi a praia e o tempo

estava fechado” é:

a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”.

b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”.

c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”.

d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”.

Solução: Temos a proposição: “Carlos foi a praia e o tempo

estava fechado”.

A: Carlos foi a praia.

B: O tempo estava fechado.

A ٨ B: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado.

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Analisando as alternativas dadas, temos:

a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”.

¬A ٧ B

b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”.

¬A ٨ ¬B

c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”.

¬A ٧ ¬B

d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”.

A ٨ ¬B

Comentário: Para negar uma conjunção, deve-se negar a

primeira e a segunda proposição e trocar o conectivo “e” por

“ou”, assim: ¬ (A ٨ B) = (¬A ٧ ¬B).

Resposta correta: Letra C.

Negação de uma disjunção: Para negar uma proposição

composta por uma disjunção, deve-se negar a primeira

proposição e depois negar a segunda, trocando “ou” por “e”.

Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B)

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01 – ESAF/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou

Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da

Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da

Inglaterra.

d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da

Inglaterra.

Solução: Para negar a disjunção exclusiva “Milão é a capital

da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra”, deve-se negar a

proposição Milão é a capital da Itália e depois negar a

proposição Paris é a capital da Inglaterra, trocando o

conectivo “ou” por “e”.

A = Milão é a capital da Itália

B = Paris é a capital da Inglaterra.

Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B)

Portanto, a negação da proposição “Milão é a capital da Itália

ou Paris é a capital da Inglaterra” é “Milão não é a capital da

Itália e Paris não é a capital da Inglaterra”.

Resposta correta: Letra A

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2 - CESPE/2010) A negação da proposição “Pedro não sofreu

acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro

sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”.

Resolução: Para negar a disjunção exclusiva “Pedro não

sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado”, deve-

se negar a proposição Pedro não sofreu acidente de

trabalho e depois negar a proposição Pedro está

aposentado, trocando o conectivo “ou” pelo conectivo “e”.

A: Pedro não sofreu acidente de trabalho.

B: Pedro está aposentado.

Simbolicamente, temos: ¬ (¬A ٧ B) = (A ٨ ¬B)

Portanto, a negação da proposição “Pedro não sofreu acidente

de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu

acidente de trabalho e Pedro não está aposentado”.

Esta é uma questão do tipo certo ou errado, comum nas

provas da CESPE, portanto, o item está ERRADO.

Comentário: Lembre-se que a negação de uma negação é

uma afirmação.

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Negação de uma condicional: Para negar uma proposição

composta com condicional, deve-se repetir a primeira

proposição, substituir o conectivo “se...então” pelo conectivo

“e” e negar a segunda proposição.

Exemplo:

1 – A negação de “Se estudo então sou aprovado” é:

a) Não estudo e sou aprovado.

b) Estudo e não sou aprovado.

c) Se não estudo então não sou aprovado.

d) Se sou aprovado então estudo.

e) Se não sou aprovado então não estudo.

Solução: A representação simbólica da proposição: Se

estudo então sou aprovado, é:

A: Estudo.

B: Sou aprovado.

Se estudo então sou aprovado. A → B

Para negar a proposição “Se estudo então sou aprovado”,

deve-se repetir a proposição “estudo”, negar a proposição

“sou aprovado” e substituir o conectivo “se...então” por “e”.

Vejam:

¬ (A → B) = A ٨ ¬B

Portanto, temos: Estudo e não sou aprovado.

Resposta correta: Letra B.

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Negação de uma bicondicional: Negar uma proposição

composta com bicondicional equivale a negar duas

condicionais [p↔q = (p→q) e (q→p)], portanto, para negar a

bicondicional, teremos que negar a primeira condicional ou

negar a segunda condicional.

Exemplo:

1 – A negação da proposição “Ficarei rico se, e somente se,

ganhar na mega sena”, é “Ficarei rico se, e somente se, não

ganhar na mega sena”.

Solução: A representação simbólica da proposição “Ficarei

rico se, e somente se, ganhar na mega sena”, é:

A: Ficar rico

B: Ganhar na mega sena

A ↔ B: Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena.

Negando a proposição, temos:

Se fico rico então, não ganho na mega sena e se não ganho

na mega sena então fico rico.

Veja a representação simbólica da negação:

¬ (A ↔ B) = (A → ¬B) ٨ (¬B → A)

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Exercícios resolvidos:

1 – (CESPE/ BB - 2007) Uma expressão da forma ¬ (A ٨ ¬ B )

é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações

V ou F da proposição A →B.

Resolução:

Construindo a tabela verdade das proposições ¬ (A ٨ ¬ B ) e

A→B, temos:

A B ¬ B (A٨ ¬ B) ¬ ( A٨ ¬ B ) A → B

V V F F V V

V F V V F F

F V F F V V

F F V F V V

Observe que as duas últimas colunas, que representam as

proposições compostas ¬ (A ٨ ¬ B) e A →B tem os mesmos

valores lógicos (V, F, F e V).

Resposta: Esta questão é da CESP/UNB do tipo CERTA ou

ERRADA, portanto esta questão apresentou uma conclusão

CERTA.

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2 – (CESPE/2007) A proposição simbolizada por (A → B) →

(B → A ) possui uma única valoração F.

Resolução:

Construindo a tabela verdade da proposição composta (A → B)

→ (B → A ), temos:

A B A → B B → A (A → B ) → (B → A )

V V V V V

V F F V V

F V V F F

F F V V V

Existe somente uma avaliação falsa “F” (na linha 3) nos valores

lógicos que representam a proposição (A → B) → (B → A ).

Resposta: Esta questão é da CESPE/UNB do tipo CERTA ou

ERRADA. Esta a questão apresentou uma conclusão CERTA.

3 – FCC/2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não

passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:

a) disjunção inclusiva. b) conjunção.

c) disjunção exclusiva. d) condicional.

e) bicondicional.

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Solução: Simbolizando a proposição Paula estuda, mas não

passa no concurso, temos:

A: Paula estuda.

B: Não passa no concurso.

Portanto, “Paula estuda, mas não passa no concurso” pode

ser representar por A ٨ B.

Comentário: O conectivo mas representa uma conjunção.

Alternativa correta: Letra B.

4 – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição P é

verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso,

então é correto afirmar que:

a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

b) A disjunção entre P e Q é verdade.

c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

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Solução: Analisando cada alternativa dada, considerando

que P verdadeiro e Q falso, temos:

a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

P → Q

V F (FALSO)

b) A disjunção entre P e Q é verdade.

P ٧ Q

V F (VERDADE)

c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

P ٨ Q

V F (FALSO)

d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.

P ↔ Q

V F (FALSO)

Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos que a

proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade.

Alternativa correta: Letra B.

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Outra solução: Construindo a tabela verdade.

a) b) c) d)

P Q P → Q P ٧ Q P ٨ Q P ↔ Q

V V V V V V

V F F V F F

F V V V F F

F F V F F V

Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos, na

segunda linha, que a proposição P ٧ Q tem valor lógico

verdade.

Resposta correta: Letra B

5 – CESPE) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as

colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B

e A ٧ B, sendo que o símbolo ٧ denota o conector ou, V denota

verdadeira e F denota falsa.

A B A ٧ B

V V

V F

F V

F F

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Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de

cima para baixo, são:

a) V, F, V, V;

b) V, F, F, V;

c) F, V, F, V;

d) V, V, V, F;

e) F, F, V, V.

Solução: Na última coluna da tabela temos uma disjunção

inclusiva com duas proposições “A” e “B”. Uma proposição

composta será FALSA (F), quando as duas proposições

simples “A” e “B” forem FALSAS (F).

Vejam a última linha da tabela:

Portanto, temos:

A B A ٧ B

V V V

V F V

F V V

F F F

Alternativa correta: Letra D.

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6 – CESPE) A proposição composta (¬ A ) ٧ ( ¬ B) tem

valorações contrárias às valorações da proposição A ٨ B,

independentemente das possíveis valorações V e F dadas às

proposições básicas A e B.

Solução:

Construindo a tabela-verdade:

A B ¬ A ¬ B (¬ A ٧ ¬ B) A ٨ B

V V F F F V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V F

Comentário: Analisando as duas últimas colunas da tabela

verdade verificamos que as proposições (¬ A ٧ ¬ B) e A ٨ B

tem valores lógicos contrários.

Resposta: Esta questão da CESPE/UNB é do tipo CERTA ou

ERRADA, portanto, a questão apresentou uma conclusão

CERTA.

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7 – IBFC) Das afirmações abaixo, a única que é verdade é:

a) A disjunção p ٧ q é verdade se e somente se p e q são

verdadeiras.

b) A conjunção p ٨ q é falsa se e somente se p e q são falsas.

c) A bicondicional p ↔ q é falsa se e somente se p e q são

falsas.

d) A condicional p → q é falsa se, e somente se, p é verdadeira

e q é falsa.

Solução:

Construindo a tabela verdade, teremos:

a) b) c) d)

p q p ٧ q p ٨ q p ↔ q p → q

V V V V V V

V F V F F F

F V V F F V

F F F F V V

Na segunda linha verificamos que a proposição p → q é falsa

se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa.

Alternativa correta: Letra D

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8 – ESAF/2009) Assinale a opção verdadeira.

a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9

c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9

e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

Solução

Usando a tabela verdade temos:

A B ¬ A ¬ B A ٨ B A ٧ B A → B A ↔ B

V V F F V V V V

V F F V F V F F

F V V F F V V F

F F V V F F V V

a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

F ٧ F (Falso)

b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9

V → F (Falso)

c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

F ٨ F (Falso)

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d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9

F → F (verdadeiro)

e) 3 = 3 se, e somente se, 3 + 4 = 9

V ↔ F (Falso)

Resposta correta: Letra D

9 – CESPE/2008) Considerando as definições apresentadas,

as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem

Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção

correspondente à simbolização correta dessa proposição.

a) ¬(A ٨ B)

b) (¬A) v (¬B)

c) (¬A) ^ (¬B)

d) (¬A) v B

e) ¬[A →(¬B)]

Resolução: Fazendo da representação simbólica da

proposição “Nem Antônio é Desembargador nem Jonas é juiz”,

temos:

A: Antônio é Desembargador.

B: Jonas é Juiz.

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Na proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é

juiz” tem uma conjunção implícita. Podemos escrever esta

proposição da seguinte forma: “Nem Antônio é desembargador

e nem Jonas é juiz”, que simbolicamente é representado por

(¬A) ٨ (¬B).

Resposta correta: Letra B.

10 – IBFC) Considere as proposições:

t: 3 é um número primo.

u: 2 é um quadrado perfeito.

Sendo (V) para o valor verdade e (F) para valor falso, pode-se

dizer que:

a) t ٨ u = V

b) u → t = F

c) t ↔ u = V

d) u ٧ t = V

Solução: Analisando as proposições, temos:

t: 3 é um número primo. VERDADE

u: 2 é um quadrado perfeito. FALSO

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Construindo a tabela verdade:

a) b) c) d)

t u t ٨ u u → t t ↔ u u ٧ t

V V V V V V

V F F V F V

F V F F F V

F F F V V F

Na segunda linha verificamos que a disjunção u ٧ t é verdade

se u é falsa e t é verdadeira.

Resposta correta: Letra D

Outra solução: Analisando cada proposição sem construir a

tabela verdade:

Como sabemos que t é verdade e u é falso, temos:

a) t ٨ u = V

V F ( Falso )

b) u → t = F

F V (Verdade)

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c) t ↔ u = V

V F (Falso)

d) u ٧ t = V

F V (Verdade)

Resposta correta: Letra D (A disjunção u ٧ t é verdade se u é

falsa e t é verdadeira).

11 – FCC/2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são

proposições.

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de

interrogação é:

(A) p ٧ q (B) p → q (C) ¬ (p → q)

(D) p ↔ q (E) ¬ (p ٨ q)

p q ?

V V F

V F V

F V F

F F F

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Resolução:

Construindo a tabela-verdade

a) b) c) d) e)

p q p ٨ q p → q ¬ ( p → q ) p ↔ q ¬ (p ٨ q)

V V V V F V F

V F F F V F V

F V F V F F V

F F F V F V V

Resposta Correta: LETRA C

12 – IBFC) O valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e

o valor lógico de uma proposição q é falso. Nessas condições,

o valor lógico da proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é:

a) Falso.

b) Inconclusivo.

c) Falso ou verdadeiro.

d) Verdadeiro.

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Solução:

Construindo a tabela verdade, temos:

p q ¬p ¬q ¬p ↔ q [(¬p ↔q) → p [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q

V V F F F V V

V F F V V V F

F V V F V F F

F F V V F V F

Na segunda linha verificamos que se p é verdadeiro e q é

falso, então a proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é

falsa.

Alternativa correta: Letra A

13 – CESPE/2008) A proposição composta “Se A então B” é

necessariamente verdadeira.

Solução:

A proposição composta “Se A então B” representa uma

condicional. Uma condicional será F quando a primeira

proposição for V e a segunda proposição for F, caso contrário

será V.

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Construindo a tabela verdade:

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

Pela tabela verdade verificamos que quando a proposição A é

verdadeira e a proposição B é falsa (2ª linha) temos uma

valoração FALSA.

Conclusão ERRADA.

14 – CESPE/2012) Se P e Q representam, respectivamente,

as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”,

então a premissa 1 estará corretamente representada por P

“e” Q.

Solução:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário = Eu não

sou traficante, mas eu sou usuário.

O “mas” representa uma conjunção.

Conclusão CERTA.

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Proposições equivalentes:

Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos

valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das

proposições que as compõem.

Exercícios resolvidos:

01 – FCC/2006) Das proposições abaixo, a única que é

logicamente equivalente a p → q é:

a) ¬ q → ¬ p

b) ¬ q → p

c) ¬ p → ¬ q

d) q → ¬ p

e) ¬ (q → p)

Solução: Veja na tabela verdade os valores lógicos da

proposição p → q:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

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Uma proposição equivalente à proposição p → q tem que ter os

valores lógicos V, F, V e V.

Veja a tabela verdade de cada alternativa apresentada.

a) Comparando as proposições p → q e ¬ q → ¬ p:

p q p → q ¬ q → ¬ p

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

As proposições p → q e ¬ q → ¬ p tem os mesmos valores

lógicos ( V, F, V e V), portanto são equivalentes.

b) Comparando as proposições p → q e ¬ q → p

p q p → q ¬ q → p

V V V V

V F F V

F V V V

F F V F

As proposições p → q e ¬ q → p não tem os mesmos valores

lógicos, portanto não são equivalentes.

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c) Comparando as proposições p → q e ¬ p → ¬ q:

p q p → q ¬ p → ¬ q

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

As proposições p → q e ¬ p → ¬ q não tem os mesmos

valores lógicos, portanto não são equivalentes.

d) Comparando as proposições p → q e q → ¬ p

p q p → q q → ¬ p

V V V F

V F F V

F V V V

F F V V

As proposições p → q e q → ¬ p não tem os mesmos valores

lógicos, portanto não são equivalentes.

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e) Comparando as proposições p → q e ¬ (q → p):

p q p → q ¬ (q → p)

V V V F

V F F F

F V V V

F F V F

As proposições p → q e ¬ (q → p) não tem os mesmos valores

lógicos, portanto não são equivalentes.

A resposta correta é a letra A.

02 – IPAD) A sentença: “Penso, logo existo” é logicamente

equivalente a:

a) Penso e existo.

b) Nem penso, nem existo.

c) Não penso ou existo.

d) Penso ou não existo.

e) Existo, logo penso.

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47

Solução: Simbolizando a sentença, temos:

A – Penso

B - Existo

A → B: “Penso, logo existo”

Representando na tabela verdade a sentença “Penso, logo

existo” que simbolicamente pode ser representado por A → B,

temos:

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

A sentença “Penso, logo existo”, que simbolicamente é

representada por A → B tem os seguintes valores lógicos V, F,

V, e V. Uma proposição equivalente a A → B tem que

apresentar estes mesmos valores lógicos.

Simbolizando as alternativas dadas e construindo a tabela

verdade, temos:

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48

a) Penso e existo. A ٨ B

A B A → B A ٨ B

V V V V

V F F F

F V V F

F F V F

A sentença “Penso e existo”, representada simbolicamente

por A ٨ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença

“Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A →

B, portanto não são equivalentes.

b) Nem penso, nem existo. ¬ A ٨ ¬ B

A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A ٨ ¬ B

V V F F V F

V F F V F F

F V V F V F

F F V V V V

A sentença “Nem penso, nem existo”, representada

simbolicamente por ¬ A ٨ ¬ B, não tem os mesmos valores

lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada

simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.

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c) Não penso ou existo. ¬ A ٧ B

A ¬ A B A → B ¬ A ٧ B

V F V V V

V F F F F

F V V V V

F V F V V

A sentença “Não penso ou existo”, representada

simbolicamente por ¬ A ٧ B, tem os mesmos valores lógicos

da sentença “Penso, logo existo”, representada

simbolicamente por A → B, portanto são equivalentes.

d) Penso ou não existo. A ٧ ¬ B

A B ¬ B A → B A ٧ ¬ B

V V F V V

V F V F V

F V F V F

F F V V V

A sentença “Penso ou não existo”, representada

simbolicamente por A ٧ ¬ B, não tem os mesmos valores

lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada

simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.

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e) Existo, logo penso. B → A

A B A → B B → A

V V V V

V F F V

F V V F

F F V V

A sentença “Existo, logo penso”, representada

simbolicamente por B → A, não tem os mesmos valores

lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada

simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.

Resposta correta: Letra C

3 – CESPE/2008) Simbolizando-se adequadamente, pode-se

garantir que a proposição “Se o caminhão atropelou o

tamanduá então Ana foi lavar roupas” é equivalente à

proposição “Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão

não atropelou o tamanduá”.

Solução: Duas proposições são equivalentes quando têm os

mesmos valores lógicos.

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Simbolizando as proposições “Se o caminhão atropelou o

tamanduá então Ana foi lavar roupas” e “Se Ana não foi

lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá”,

temos:

A: O caminhão atropelou o tamanduá.

B: Ana foi lavar roupas.

A → B: Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi

lavar roupas.

¬ B → ¬ A: Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não

atropelou o tamanduá.

Fazendo a tabela-verdade:

A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

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A sentença “Se o caminhão atropelou o tamanduá então

Ana foi lavar roupas”, representada simbolicamente por A

→ B, tem os mesmos valores lógicos da sentença “Se Ana

não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o

tamanduá”, representada simbolicamente por ¬ B → ¬ A,

portanto, as proposições são equivalentes não são

equivalentes.

Resposta: Esta questão é do tipo CERTO ou ERRADO,

portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA.

Equivalências lógicas:

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes

(ou simplesmente equivalentes) quando os resultados de suas

tabelas-verdade são idênticos.

Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao

trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja

equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser

representada simbolicamente como: A B, ou simplesmente

por A = B.

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Equivalências da Condicional:

As equivalências da condicional são as seguintes:

1 ) Se A então B = Se não B então não A.

A → B implica que ¬ B → ¬ A (contra-positiva)

Fazendo a tabela-verdade:

A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Pela tabela verificamos que a proposição composta A → B

tem os mesmos valores lógicos da proposição composta ¬ B

→ ¬ A, portanto, as proposições são equivalentes são

equivalentes.

A proposição ¬ B → ¬ A é a contra-positiva da proposição A

→ B.

Ex: Dizer que “Se chove então me molho” equivale a dizer

que “Se não me molho então não chove”.

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2 ) Se A então B = Não A ou B.

A → B implica que ¬ A ٧ B

Fazendo a tabela-verdade:

A B ¬ A ¬B A → B ¬ A ٧ B

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Ex: Dizer que “Se estudo então passo no ENEM” equivale a

dizer que “Não estudo ou passo no ENEM”.

Outra equivalências:

As seguintes expressões podem ser empregadas como

equivalentes a:

“Se A então B“:

“Se Carlos é cruzeirense, então Marcelo é atleticano.”

Se A, B.

“Se Carlos é cruzeirense, Marcelo é atleticano.”

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B, se A.

“Marcelo é atleticano, se Carlos é cruzeirense.”

A é condição suficiente para B.

“Carlos é cruzeirense é condição suficiente para Marcelo é

atleticano.”

B é condição necessária para A.

“Marcelo ser atleticano é condição necessária para Carlos ser

cruzeirense.”

Equivalências com símbolo de negação:

Proposição Negação direta Equivalente da negação

A ٨ B ¬(A ٨ B) ¬A ٧ ¬B

A ٧ B ¬(A ٧ B) ¬A ٨ ¬B

A → B ¬(A → B) A ٨ ¬B

A ↔ B ¬(A ↔ B) A ٨ ¬B ou ¬A ٨ B

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Leis de “De Morgan:

Sejam as afirmações:

A = Carlos é professor.

B = Roberto é cantor.

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

Essas duas equivalências são conhecidas como leis de “De

Morgan” que foi o primeiro a expressá-las em termos

matemáticos.

Exemplo 01:

p = Carlos é professor e Roberto é cantor.

¬p = Carlos não é professor ou Roberto não é cantor.

Exemplo 02:

p = Carlos é professor ou Roberto é cantor.

¬p = Carlos não é professor e Roberto não é cantor.

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57

Exercícios resolvidos:

1 – EBSERH) A afirmação “inflação alta causa desemprego”

é equivalente, do ponto de vista lógico-matemático, a:

a) se a inflação não está alta, não há desemprego.

b) se a inflação não está alta, há desemprego.

c) se não há desemprego, a inflação está alta.

d) se não há desemprego, a inflação não está alta.

e) se há desemprego, a inflação está alta.

Resolução:

Seja a sentença representada pela condicional: “inflação alta

causa desemprego”, quer dizer “Quando há inflação alta, então

vai existir desemprego”.

Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter duas

proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de

dois conceitos: contra positiva e pela dupla negação, veja:

• Equivalência pela contra positiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).

• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).

Obtendo a equivalência pela linguagem corrente, teremos:

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58

• Pela contra positiva:

“inflação alta causa desemprego” é equivalente a “Se não há

desemprego, a inflação não está alta”.

Este mesmo exercício pode ser resolvido usando a tabela

verdade:

A: Inflação alta.

B: Há desemprego.

Fazendo a tabela-verdade:

A B ¬ A ¬B A → B ¬ B → ¬ A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Se a inflação não está alta, não há desemprego. ¬ A → ¬ B

Se a inflação não está alta, há desemprego. ¬ A → B

Se não há desemprego, a inflação está alta. ¬ B → A

Se não há desemprego, a inflação não está alta. ¬ B → ¬ A

Se há desemprego, a inflação está alta. B → A

Portanto, alternativa correta é a letra (D).

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59

2 – ESAF/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro

está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente

equivalente à afirmação:

a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em

Paris”.

b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está

em Paris”.

c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não

está em Paris”.

d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está

em Paris”.

e) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em

Paris”.

Resolução:

Seja a sentença representada pela condicional: “Não é

verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em

Paris”.

Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter A

proposição equivalente a essa condicional utilizando-se de o

conceitos da dupla negação, veja:

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• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).

Como nas alternativas só temos “ou” e “e”, trata-se da 1ª

equivalência. Daí temos:

A: Pedro está em Roma;

B: Paulo está em Paris;

(¬ A ٧ B): “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou

Paulo está em Paris”.

Alternativa correta é a Letra (D).

Outra resolução:

Nessa questão, temos que:

A: Pedro está em Roma

B: Paulo está em Paris

O que a questão pede é uma proposição equivalente à

negação de A → B. Assim, temos:

¬ (A → B) = A ^ ¬B

Vamos passar as alternativas para a linguagem simbólica:

a) A ^ B (item incorreto)

b) ¬ (A v ¬B) = ¬A ^ B (item incorreto)

c) ¬ (¬A v ¬B) = A ^ B (item incorreto)

d) ¬ (¬ A v B) = A ^ ¬ B (item correto)

e) A v B (item incorreto)

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61

Com isso, podemos afirmar que "Não é verdade que ‘Pedro

não está em Roma ou Paulo está em Paris’".

Resposta correta: Letra D.

3 – EBSERH) Considerando a afirmação “Se eu for aprovado

no concurso, viajarei de férias” como verdadeira, assinale a

alternativa correta.

a) A afirmação “Se eu não for aprovado no concurso, viajarei

de férias” é verdadeira.

b) A afirmação “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de

férias” é verdadeira.

c) A afirmação “Se eu não viajar de férias, terei sido aprovado

no concurso” é verdadeira.

d) A afirmação “Se eu for não aprovado no concurso, não

viajarei de férias” é equivalente à afirmativa.

e) A afirmação “Se eu não viajar de férias, não terei sido

aprovado no concurso” é equivalente à afirmativa dada.

Resolução:

Seja a sentença representada pela condicional: “Se eu for

aprovado no concurso, viajarei de férias”.

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62

Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter a

proposição equivalente a essa condicional utilizando-se da

contrapositiva, veja:

• Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).

“Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias” é

equivalente a “Se eu não viajar de férias, não terei sido

aprovado no concurso”.

Portanto, alternativa correta é a letra (E).

4 – ANA) Sabendo-se que o símbolo ¬ denota negação e que

o símbolo ٧ denota o conector lógico “ou”, a fórmula A → B,

que é lida “se A então B”, pode ser reescrita como:

a) A ٧ B

b) ¬ A ٧ B

c) A ٧ ¬ B

d) ¬ A ٧ ¬ B

e) ¬ ( A ٧ B )

Resolução:

A condicional do tipo: “A → B”, é equivalente, pela dupla

negação, à proposição (¬ A ٧ B).

Portanto, alternativa correta é a letra B.

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5 – EBSERH) Alguém afirmou que “se todo paciente é

impaciente, então alguém vai enlouquecer”. Supondo que

ocorra exatamente a negação da sentença, então:

a) se nem todo paciente é impaciente, então ninguém vai

enlouquecer.

b) todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer.

c) se todo paciente é impaciente, então ninguém vai

enlouquecer.

d) algum paciente é impaciente ou alguém vai enlouquecer.

e) se nenhum paciente é impaciente, então alguém vai

enlouquecer.

Resolução:

A negação de uma condicional do tipo:

“Se A, então B” (A → B) será da forma: ¬ (A → B) = A ٨ ¬ B

Ou seja, para negar uma condicional deve-se copiar a primeira

proposição e negar a segunda proposição.

Portanto, a negação da proposição “Se todo paciente é

impaciente, então alguém vai enlouquecer” será “Se todo

paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer”.

Portanto, alternativa correta é a letra B.

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6 – CESPE/2009) As proposições “Se o delegado não

prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não

será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da

quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são

equivalentes.

Solução: Sendo a conclusão dada pela condicional “Se o

delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação

agarra não será bem-sucedida” (A → B), podemos obter duas

proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se

de dois conceitos: contrapositiva e pela dupla negação,

vejam:

• Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).

Pela contra-positiva a proposição será: “Se a operação agarra

foi bem-sucedida, então o delegado prendeu o chefe da

quadrilha.”

• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).

Pela dupla negação a proposição será: “Se o delegado prender

o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-

sucedida”.

ITEM ERRADO

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65

TAUTOLOGIA:

Tautologia é uma proposição composta que é sempre

VERDADEIRA, independentemente do valor lógico das

proposições simples componentes.

A proposição A → (A ٧ B) é uma tautologia, pois é sempre

verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de

B, como se pode observar na tabela-verdade.

A B A ٧ B A → (A ٧ B)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Observemos que o valor lógico da proposição composta A →

(A ٧ B), que aparece na última coluna da tabela-verdade, é

sempre VERDADEIRO, independente dos valores lógicos que

A e B assumem. Logo, a proposição A → (A ٧ B) representa

uma tautologia.

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66

CONTRADIÇÃO:

Construindo uma tabela-verdade de uma proposição composta,

se todos os resultados da última coluna forem falso, então

estaremos diante de uma contradição.

Ex: 1 – Verifique se a proposição ( A ↔ ¬ B ) ٨ ( A ٨ B )

representa uma contradição:

A B ¬ B ( A ↔ ¬ B ) A ٧ B (A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B )

V V F F V F

V F V V V F

F V F V V F

F F V F F F

Observemos que o valor lógico da proposição composta ( A ↔

¬ B ) ٨ ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela-

verdade, é sempre falso, independente dos valores lógicos que

A e B assumem. Portanto, a proposição (A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B )

representa uma contradição.

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67

CONTINGÊNCIA:

Se uma proposição composta não for uma tautologia nem uma

contradição ela será uma contingência.

Ex: Verifique se a proposição composta A ↔ ( A ٨ B )

representa uma contingência.

A B A ↔ B A ↔ ( A ٨ B )

V V V V

V F F F

F V F F

F F V F

Observemos que o valor lógico da proposição composta A ↔ (

A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela-verdade,

aparece valores falsos e verdadeiros, independente dos

valores lógicos que A e B assumem. Por isto representa uma

contingência.

Exercício resolvido:

1 – IBFC/2012) Se p e q são proposições e ¬p e ¬q suas

respectivas negações, então podemos dizer que (¬p ٧ q) → ¬q

é uma:

a)Tautologia b) Contingência

c)Contradição d) Equivalência

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Solução: Vale a pena lembrar que:

Tautologia: Todos os valores lógicos da proposição são

verdades.

Contradição: Todos os valores lógicos da proposição são

falsos.

Contingência: A proposição não representa uma tautologia e

nem uma contradição, ou seja, os valores lógicos são verdades

e falsos.

Equivalência: Quando duas proposições tem os valores

lógicos iguais.

Construindo a tabela verdade, temos:

p q ¬p ¬q ¬p ٧ q [(¬p ٧ q) → ¬q]

V V F F V F

V F F V F V

F V V F V F

F F V V V V

Resposta: Letra C.

Comentário: Verificando a última coluna temos os valores

lógicos F, V, F e V, que não representa uma tautologia e nem

uma contradição, portanto, a proposição [(¬p ٧ q) → ¬q] é uma

contradição.

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ARGUMENTOS:

Argumento é um conjunto de proposições, chamadas de

premissas, com uma estrutura lógica de maneira tal que

algumas delas acarretam ou tem como consequência outra

proposição, denominada conclusão.

Um raciocínio lógico é considerado correto quando é

constituído por uma sequência de proposições verdadeiras.

Algumas dessas proposições são consideradas verdadeiras por

hipótese e as outras são verdadeiras por consequência de as

hipóteses serem verdadeiras.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO:

Se as premissas e a conclusão são simultaneamente

verdadeiras, então o argumento é válido. Quando as premissas

são verdadeiras e a conclusão é falsa, dizemos que o

argumento é inválido, também chamado de sofisma ou falácia.

Podemos concluir que: uma dedução lógica é uma seqüência

de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se

de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-

se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas

denominada conclusão.

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Existem diferentes métodos que nos possibilitam afirmar se um

argumento é válido ou não. Eis alguns desses métodos:

Utilizando tabela-verdade:

Esta forma é mais indicada quando nas premissas não

aparecem as palavras todo, algum e nenhum.

Este método deve ser evitado quando o argumento apresentar

três ou mais proposições simples.

Deve-se construir a tabela-verdade destacando uma coluna

para cada premissa e outra para a conclusão.

Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são

as linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V.

Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os

valores lógicos da coluna da conclusão forem também

Verdadeiros, então o argumento é válido. Porém, se ao menos

uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras)

houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento

é inválido.

Exemplos:

1 – (CESPE/2007) Considere que as afirmativas “Se Mara

acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou

na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras.

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Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se

garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também

verdadeira.

Premissa 1: “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica”

A → B

Premissa 2: “Mara não acertou na loteria” ¬ A

Conclusão: “Ela não ficou rica” ¬ B

Verificação da validade ou não do argumento pela tabela

verdade.

Premissa 1 Premissa 2 Conclusão

A B A → B ¬ A ¬ B

1ª linha V V V F F

2ª linha V F F F V

3ª linha F V V V F

4ª linha F F V V V

Verificamos quais são as linhas da tabela em que os valores

lógicos das premissas são todos V. Observamos que na 3ª e 4ª

linhas as duas premissas com valor lógico V. Na 4ª linha as

premissas e a conclusão são verdadeiras, mas na 3ª linha as

premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa logo o

argumento é inválido.

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Comentário: Para que o argumento seja válido, teríamos que

ter as premissas e as conclusões verdadeiras na 3ª e 4ª linhas.

2 – (CESPE/2007) Considere que a proposição “Sílvia ama

Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se

garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.

A: Sílvia ama Joaquim

B: Sílvia ama Tadeu

Construção da tabela verdade

Premissa 1 Premissa 2 Conclusão

A B A ٧ B

Linha 1 V V V

Linha 2 V F V

Linha 3 F V V

Linha 4 F F F

Verifica-se quais são as linhas da tabela em que os valores

lógicos das premissas e da conclusão são todos V. Observa-se

que a 1ª linha apresenta as duas premissas e a conclusão com

valor lógico V, logo o argumento é válido.

Resposta: “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu”

representa uma proposição verdadeira.

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Utilizando as operações lógicas com os conectivos

e considerando as premissas verdadeiras.

Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das

operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor

lógico da conclusão, que deverá resultar também em

verdadeira, para que o argumento seja válido.

Exemplos:

1 – (CESPE/2009 ) Considere que as proposições da

sequência a seguir sejam verdadeiras.

Se Fred é policial, então ele tem porte de arma.

Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro.

Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais.

Fred não tem porte de arma.

Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.

Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora

em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa

sequência.

Solução:

Vamos considerar que todas as proposições dadas são

verdadeiras (V).

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A: Fred é policial.

B: Fred tem porte de arma.

C: Fred mora em São Paulo.

D: Fred é engenheiro.

E: Fred faz cálculos estruturais.

Representação simbólica de cada premissa:

Premissa 1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma.

A → B

Premissa 2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro.

B ٧ D

Premissa 3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos

estruturais. D→E

Premissa 4: Fred não tem porte de arma. ¬ B

Premissa 5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.

C → A

Conclusão: “Fred não mora em São Paulo”. ¬ C

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Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das

operações lógicas com os conectivos, descobriremos se

conclusão “Fred não mora em São Paulo” é verdadeira ou

falsa. Vejam:

Premissa 1: A → B (verdade)

F F

Premissa 2: B ٧ D (verdade)

F V

Premissa 3: D → E (verdade)

V V

Premissa 4: ¬ B (verdade)

V

Premissa 5: C → A (verdade)

F F

Conclusão: ¬ C (verdade)

V

A conclusão é verdadeira, afirmativa correta.

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2 – (CESPE/ PF – 2009 ) A sequência de proposições a seguir

constitui uma dedução correta.

Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.

Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

Carlos não fracassou na prova de Física.

Carlos não jogou futebol.

Solução:

Considerando que todas as proposições dadas são verdadeiras

(V), temos:

A: Carlos estuda.

B: Carlos fracassou na prova de física.

C: Carlos jogou futebol.

Premissas:

Premissa 1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na

prova de Física. ¬ A → B

Premissa 2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.

C → ¬ A

Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física.

¬ B

Conclusão: Carlos não jogou futebol.

¬ C

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Analisando as premissas:

Premissa 1: ¬ A → B (verdade)

F F

Premissa 2: C → ¬ A (verdade)

F F

Premissa 3: B¬ (verdade)

V

Conclusão: ¬ C (verdade)

V

Pela análise das premissas concluímos que:

Carlos estuda.

Carlos não fracassou na prova de física.

Carlos não jogou futebol.

Resposta: sequência de proposições dadas constitui uma

dedução correta.

3 – ESAF/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.

Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de

Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de

Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

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c) Sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

Solução:

Uma disjunção (“ou”) será verdadeira (V) quando pelo menos

uma das proposições que a compõe for verdadeira (V).

Simbolizando as proposições:

A: Sou amiga de Abel

B: Sou amiga de Oscar

C: Sou amiga de Nara

D: Sou amiga de Clara

Daí, temos:

Premissa 1: Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.

( A ٧ B )

Premissa 2: Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel.

( C ٧ ¬ B )

Premissa 3: Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar.

( D ٧ ¬ B )

Premissa 4: Não sou amiga de Clara.

¬ D

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Comentário: Numa questão como esta, em que nos são

fornecidas várias proposições para que possamos tirar

conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS

PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de

equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:

Premissa 1: ( A ٧ B ) ( Verdade )

V F

Premissa 2: ( C ٧ ¬ A ) ( Verdade )

V F

Premissa 3: ( D ٧ ¬ B ) ( Verdade )

F V

Premissa 4: ¬ D ( Verdade )

V

Conclusão:

Sou amiga de Abel

Não sou amiga de Oscar

Sou amiga de Nara

Não sou amiga de Clara

Resposta certa é a letra C.

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4 – ESAF – 2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala

alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou

Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton

fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for

verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não

fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.

b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.

c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.

d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.

e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Solução:

Considerando que:

A: Iara fala italiano.

B: Ana fala alemão.

C: Ching fala chinês.

D: Débora fala dinamarquês.

E: Elton fala espanhol.

F: Francisco fala francês.

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Simbolizando as seguintes proposições:

Premissa 1: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.

¬ A → B

Premissa 2: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou

Débora fala dinamarquês.

A → C ٧ D

Premissa 3: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.

D → E

Premissa 4: Elton fala espanhol se e somente se não for

verdade que Francisco não fala francês.

E ↔ ¬ ( ¬ F )

Premissa 5: Francisco não fala francês e Ching não fala

chinês.

¬ F ٨ ¬ C

Comentário: Numa questão como esta, em que nos são

fornecidas várias proposições para que possamos tirar

conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS

PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de

equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:

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Premissa 1: ¬ A → B (verdade)

V V

Premissa 2: A → C ٧ D (verdade)

F F F

Premissa 3: D → E (verdade)

F F

Premissa 4: E ↔ ¬ ( ¬ F ) (verdade)

F F

Premissa 5: ¬ F ٨ ¬ C (verdade)

V V

Conclusão:

Iara não fala italiano.

Ana fala alemão.

Ching não fala chinês.

Débora não fala dinamarquês.

Elton não fala espanhol.

Francisco fala francês.

Resposta correta: Letra A.

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5 – CESP/UNB – 2008) Uma dedução lógica é uma sequência

de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se

de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-

se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas

denominada conclusão.

Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:

“O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de

Paulo foi injusto”.

“O raciocínio de Pedro não está correto”.

Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de

Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta.

Solução:

A: O raciocínio de Pedro está correto

B: O julgamento de Paulo foi injusto

“O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo

foi injusto”. A ٧ B ( Verdade )

F V

“ O raciocínio de Pedro não está correto”. ¬ A ( Verdade )

V

Conclusão: O julgamento de Paulo foi injusto. B ( Verdade )

V

Portanto, tem-se uma dedução lógica correta.

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6 – (ESAF/2009) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao

cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se

Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não

briga com Carla. Logo.

a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória

Proposições:

A: Beto briga com Glória.

B: Glória vai ao cinema.

C: Carla fica em casa.

D: Raul briga com Carla.

Premissas:

Premissa 1: Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao

cinema. A → B

Premissa 2: Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.

B → C

Premissa 3: Se Carla fica em casa, então Raul briga com

Carla. C → D

Premissa 4: Raul não briga com Carla. ¬ D

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Analisando os argumentos:

A → B ( verdade )

F F

B → C ( verdade )

F F

C → D ( verdade )

F F

¬ D ( verdade )

V

De acordo com a análise das premissas, temos:

A: Beto briga com Glória. (Falso)

B: Glória vai ao cinema. (Falso)

C: Carla fica em casa. (Falso)

D: Raul briga com Carla. (Verdade)

Beto não briga com Glória.

Glória não vai ao cinema.

Carla não fica em casa.

Raul briga com Carla.

Concluímos que “Carla não fica em casa e Beto não briga

com Glória.”

Resposta correta: Letra A.

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7 – ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram.

Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a

verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão

feroz nesta sala. Logo,

a. Nestor e Júlia disseram a verdade

b. Nestor e Lauro mentiram

c. Raul e Lauro mentiram

d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade

e. Raul e Júlia mentiram.

Solução: Numa questão como esta, em que nos são

fornecidas várias proposições para que possamos tirar

conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS

PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de

equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:

Premissas:

A: Nestor disse a verdade.

B: Júlia e Raul mentiram.

C: Lauro falou a verdade.

D: Há um leão feroz nesta sala.

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Premissa 1: A → B (Verdade)

F F

Premissa 2: B → C (Verdade)

F F

Premissa 3: C → D (Verdade)

F F

Premissa 4: ¬ D (Verdade)

V

Conclusão:

A: Nestor disse a verdade. (Falso)

B: Júlia e Raul mentiram. (Falso)

C: Lauro falou a verdade. (Falso)

D: Há um leão feroz nesta sala. (Verdade)

Nestor não disse a verdade.

Júlia e Raul não mentiram.

Lauro não falou a verdade.

Há um leão feroz nesta sala.

Considerando que as premissas são verdadeiras, concluímos

que “Nestor e Lauro mentiram.”

Resposta correta: Letra B.

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8 – ESAF/2003) Investigando uma fraude bancária, um famoso

detetive colheu evidências que o convenceram das seguintes

afirmações:

1) Se Homero é culpado, então João é culpado.

2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são

culpados.

3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto,

que:

A) Homero, João e Adolfo são inocentes.

B) Homero, João e Adolfo são culpados.

C) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.

D) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.

E) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

Solução: Considerando que os três são inocentes, temos as

seguintes proposições:

H: Homero é inocente.

A: Adolfo é inocente.

J: João é inocente.

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89

Premissa 1: Se Homero é culpado, então João é culpado.

Premissa 2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são

culpados.

Premissa 3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente.

Premissa 4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

Representando cada premissa por símbolos e considerando

que todas são verdadeiras, temos:

Premissa 01: ¬ H → ¬ J (verdade)

V V

Premissa 02: H → (¬J ٧ ¬A) (verdade)

F V V

Premissa 03: A → J (verdade)

F F

Premissa 04: ¬ A → ¬ H (verdade)

V V

Portanto, Homero, Adolfo e João são culpados.

Resposta correta: Letra B.

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9 – CESPE/2009) Considere as proposições A, B e C a seguir.

A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então

Jane foi aprovada em concurso público.

B: Jane foi aprovada em concurso público.

C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça.

Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.

Solução:

Nessa questão, vamos simbolizar as proposições:

p: Jane é policial federal

q: Jane é procuradora de justiça

r: Jane foi aprovada em concurso público

Proposição A: Se Jane é policial federal ou procuradora de

justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.

(p v q) → r

Proposição B: Jane foi aprovada em concurso público.

r

Proposição C: Jane é policial federal ou procuradora de

justiça.

p v q

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Proposição A: (p v q) → r (verdade)

V V V

V F V

F V V

Proposição B: r (verdade)

V

Proposição C: p v q (verdade)

V V

V F

F V

Sabendo que A e B são verdadeiros, temos que:

A: (p v q) → V (valor lógico verdadeiro) pode assumir qualquer

valor que esta expressão será verdadeira.

Portanto, a expressão C: (p v q) pode ser verdadeira ou falsa, o

que torna o item errado.

Conclusão ERRADA.

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10 – ESAF/2008) Três meninos, Pedro, Lago e Arnaldo, estão

fazendo um curso de informática. A professora sabe que os

meninos que estudam são aprovados e os que não estudam

não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então

Lago estuda; se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo

estudam; se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda; se

Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações

pode-se concluir que:

a) Pedro, Lago e Arnaldo são aprovados.

b) Pedro, Lago e Arnaldo não são aprovados.

c) Pedro é aprovado, mas Lago e Arnaldo são reprovados.

d) Pedro e Lago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado.

e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Lago é reprovado.

Solução:

Devemos partir do princípio que todas as proposições dadas

são verdadeiras (V)

Vamos considerar que:

A: Pedro estuda.

B: Lago estuda.

C: Arnaldo estuda

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Premissa 1: Se Pedro estuda, então Lago estuda.

A → B

Premissa 2: Se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo

estudam.

¬ A → B ٧ C

Premissa 3: Se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda.

¬ B → ¬ C

Premissa 4: Se Arnaldo estuda então Pedro estuda.

C → A

Analisando as premissas, temos:

Premissa 1: A → B (verdade)

V V

Premissa 2: ¬ A → B ٧ C (verdade)

F V V

Premissa 3: ¬ B → ¬ C (verdade)

F F

Premissa 4: C → A (verdade)

V V

Conclusão:

Pedro, Lago e Arnaldo estudam, logo, serão aprovados.

Resposta correta: Letra A.

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11 – CESPE/2008) Suponha verdadeiras as três proposições

seguintes:

I. Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar.

II. O salário aumentou ou os preços não vão baixar.

III. As vendas aumentaram.

Nessa situação, tomando-se como premissa a conclusão do

raciocínio válido que usa como premissas as proposições I e III,

é correto concluir que “O salário aumentou”.

Solução:

Proposições:

A: As vendas aumentaram.

B: Os preços vão abaixar.

C: O salário aumentou.

Premissa 1: Se as vendas aumentaram, então os preços vão

baixar. A → B

Premissa 2: O salário aumentou ou os preços não vão baixar.

C ٧ ¬ B

Premissa 3: As vendas aumentaram. A

Conclusão: O salário aumentou. C

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Detalhando a argumentação:

Premissa 1: A → B (verdade)

V V

Premissa 2: C ٧ ¬ B (verdade)

V F

Premissa 3: A (verdade)

V

Conclusão:

As vendas aumentaram. (Verdade)

Os preços vão abaixar. (Verdade)

O salário aumentou. (Verdade)

Verificando a análise das premissas, Vimos que o salário

aumentou.

Conclusão CORRETA.

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12 – ESAF/2005) Considere a afirmação:

P: “A ou B” onde A e B, por sua vez, são as seguintes

afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”.

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é

arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é

arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é

arquiteto.

e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.

SOLUÇÃO:

A proposição composta A ou B que representa uma disjunção.

O enunciado disse que esta disjunção é falsa. Para negar uma

disjunção, deve-se negar a primeira e segunda proposição,

além de trocar o conectivo “ou” por um “e”.

Teremos: ¬ (A ou B) = ¬A e ¬B

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Negando A, teremos:

¬A = Carlos não é dentista.

Verificamos que B é a condicional “Se Ênio é economista,

então Juca é arquiteto”.

Para negar uma condicional deve-se repetir a primeira

proposição, negar a segunda proposição e trocar o conectivo

“então” por “e”.

¬B: Ênio é economista e Juca não é arquiteto.

¬ (A ou B) = ¬ A e ¬ B

Conclusão:

Carlos não é dentista.

Ênio é economista.

Juca não é arquiteto.

Resposta correta: Letra B.

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13 – ESAF/2004 ) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo: a) S > T e Z ≤ P b) S ≥ T e Z > P c) X ≥ Y e Z ≤ P d) X > Y e Z ≤ P e) X < Y e S < T Solução: Vejam as premissas que temos:

Premissa 01: Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R.

Premissa 02: Se Z > P, então S ≤ T.

Premissa 03: Se S ≤ T, então Q ≤ R.

Conclusão: Q > R

Analisando as premissas, temos:

Premissa 01: X ≥ Y → (Z > P v Q ≤ R ) (verdade)

F F F

Premissa 02: Z > P → S ≤ T (verdade)

F F

Premissa 03: S ≤ T → Q ≤ R (verdade)

F F

Conclusão: Q > R (verdade)

V

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Analisando os argumentos, temos:

X ≥ Y - Falso

Z > P - Falso

Q ≤ R - Falso

S ≤ T - Falso

Concluímos, então, que: X < Y, Z ≤ P, Q > R e S > T.

Resposta correta: Letra A.

Proposições categóricas:

As proposições formadas com os termos todo, algum e

nenhum são chamadas de proposições categóricas.

Representação das preposições categóricas:

As proposições categóricas serão representadas por

diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões

de concurso.

Cada proposição categórica tem um significado em termos de

conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama.

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Utilizando os diagramas lógicos:

Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de

Euller.

Todo A é B:

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está

contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também

é elemento de B.

Observação: Dizer que todo A é B não significa dizer que todo

B é A.

B

A

Portanto, o conjunto A está contido no conjunto B.

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Nenhum A é B.

Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos,

isto é, os conjuntos A e B não têm elementos comum.

A B

Dizer que nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer

que nenhum B é A.

Algum A é B.

Por convenção universal em lógica, proposições da forma

algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos

um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que algum A é B, pressupomos que

nem todo A é B.

A B

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Algum A não é B.

Proposições na forma algum A não é B estabelecem que o

conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao

conjunto B.

Dizer que algum A não é B é logicamente equivalente a dizer

que algum A é não B, e também é logicamente equivalente a

dizer que algum não B é A.

A B

Observação: Nas proposições categóricas, usam-se também

as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é,

são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

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Exercícios resolvidos:

1 – VUNESP/2013) Considere que cada região do diagrama

possua elementos.

A partir dessa representação, pode-se concluir corretamente

que:

a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento

de B.

b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são

elementos de D.

c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são

elementos de A.

d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são

elementos de A ou de C.

e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são

elementos de A.

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Solução:

Observando os diagramas e analisando cada alternativa,

temos:

a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também

elemento de B.

FALSA: Tem elemento de D que é elemento de A e não é

elemento de B.

b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são

elementos de D.

VERDADE: Todos os elementos de B são elementos de D.

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c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são

elementos de A.

FALSO: Nenhum elemento de C é elemento de A.

d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são

elementos de A ou de C.

FALSO: Existem elementos de D, que não são elementos de

B, que não são elementos de A ou de C.

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106

e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são

elementos de A.

FALSO: Nenhum elemento de B é elemento de C e existem

elementos de B que não é elemento de A.

Resposta correta: Letra B.

2 – CESGRANRIO/2007) Se todo A é B e nenhum B é C, é

possível concluir, corretamente, que:

(A) nenhum B é A.

(B) nenhum A é C.

(C) todo A é C.

(D) todo C é B.

(E) todo B é A.

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Solução: Veja a representação no diagrama:

A C

B

A proposição "Todo A é B", quer dizer que A é subconjunto de

B, logo, o conjunto A está contido em B. A outra proposição

"nenhum B é C", quer dizer que nenhum elemento do conjunto

B pertence ao conjunto C. Analisando as alternativas, temos:

a) nenhum B é A: Esta proposição é falsa. Observando a

figura, haverá algum B que é A.

b) nenhum A é C: Esta proposição é verdadeira, pois A é

subconjunto de B e, consequentemente, A não pode ser C.

c) todo A é C: Esta proposição é falsa, pois A não está contido

em C.

d) todo C é B: Esta proposição é falsa, pois C é todo elemento

que não pertence a B

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e) todo B é A: Esta proposição é falsa. Apesar de todo A ser B,

mas nem todo B é A.

Resposta correta: Letra B

3 – FCC/2010) Considere as seguintes afirmações:

− Todo escriturário deve ter noções de Matemática.

− Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São

Paulo são escriturários.

Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar

que:

a) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do

Tribunal de Contas do Estado de São Paulo.

b) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São

Paulo podem não ter noções de Matemática.

c) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São

Paulo deve ter noções de Matemática.

d) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é

escriturário.

e) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado

de São Paulo, então ele é escriturário.

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109

Solução: Veja o diagrama:

Conforme o diagrama alguns funcionários do Tribunal de

Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de

Matemática.

Resposta correta: Letra B.

4 – FCC - 2014) Diante, apenas, das premissas “Nenhum piloto

é médico”, “Nenhum poeta é médico” e “Todos os astronautas

são pilotos”, então é correto afirmar que:

A) algum astronauta é médico.

B) todo poeta é astronauta.

C) nenhum astronauta é médico.

D) algum poeta não é astronauta.

E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico.

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Resolução:

Podemos representar as premissas “Nenhum piloto é médico”,

“Nenhum poeta é médico” e “Todos os astronautas são pilotos”,

de várias formas no diagrama, vejam duas maneiras de

representá-las:

1ª representação:

2ª representação

Conforme os diagramas apresentados, nenhum astronauta é

médico, portanto a alternativa correta é a letra C.

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5 – IBFC/2012) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa

correta é:

I. Todos os cantores deste programa são bons. Marcelo é

cantor deste programa. Logo Marcelo é bom.

II. Todo w é z. Logo, todo z é w.

a) I e II são argumentos válidos.

b) Apenas I é um argumento válido.

c) Apenas II é um argumento válido.

d) Nenhum dos dois argumentos é válido.

O argumento I é válido, pois sendo Marcelo um cantor desse

programa, este necessariamente será bom.

Já o argumento II é inválido, pois, por exemplo, todo professor

é inteligente, mas nem inteligente é professor.

Resposta correta: Letra B.

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Equivalências entre “Nenhum” e “Todo”:

1) Nenhum A é B = Todo A é não B

Ex: Dizer que “Nenhum mineiro é flamenguista” equivale a

dizer que “Todo mineiro é não flamenguista”.

2) Todo A é B = Nenhum A é não B

Ex: Dizer que “Toda criança é inteligente” equivale a dizer

que “Nenhuma criança é não inteligente”.

Colocando essas equivalências em uma tabela, teremos:

Nenhum A é B Todo A é não B

Todo A é B Nenhum A é não B

Equivalências com símbolo de negação:

Todo A não é B é equivalente a Nenhum A é B

Nenhum A não é B é equivalente a Todo A é B

A negação de Todo A é B é Algum A não é B ( vice-versa )

A negação de Algum A é B é Nenhum A é B ( vice-versa )

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Exercícios resolvidos:

1 – CESP - PF/2009) Se A for a proposição “Todos os policiais

são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada

corretamente por “Nenhum policial é honesto”.

Resolução:

Negar o termo “TODO É” é encontrar uma exceção. Assim, a

negação da frase “Todos os policiais são honestos” é

encontrar um policial que não seja honesto, a frase seria:

“Algum policial não é honesto”.

Conclusão: ERRADA

2 – CESPE/2012) A negação da proposição “Toda pessoa

pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa

pobre que não é violenta”.

Resolução:

A negação de uma proposição do tipo “Todo A é B” é “Existe A

que não é B”. Assim:

P: “Toda pessoa pobre é violenta”.

~P: “Existe pessoa pobre que não é violenta”.

Conclusão CORRETA.

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3 – CESPE/2009) Se forem V as proposições “Todos os

assistentes de educação auxiliam os professores” e “João e

Aline auxiliam os professores”, então a proposição “João e

Aline são assistentes de educação” também será V.

Solução: Desenhando o diagrama, temos:

Pelo diagrama, é possível que João e Aline auxiliem os professores e não sejam assistentes de educação.

Conclusão ERRADA.

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SENTENÇAS ABERTAS

Existem expressões como x² ≥ 2x³ que contém variáveis e cujo

o valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor

atribuído à variável.

Portanto, sentenças abertas são aquelas que contém variáveis.

Tais sentenças não são proposições, pois o seu valor lógico (V

ou F) é discutível, dependendo do valor dado às variáveis.

As sentenças abertas podem ser do tipo:

a) x + 1 = 4

b) y > 8

c) (z+1)² + 5 = z²

d) x – y = 2

Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu

valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y,

z,...).

Existem duas maneiras de transformar sentenças abertas em

proposições:

Atribuindo valor às variáveis;

Utilizando os quantificadores.

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Atribuindo valor às variáveis:

Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta x + 1 = 4, esta

transforma-se na proposição 2 + 1 = 4, cujo valor lógico é F

(Falso).

Ao atribuir a y o valor 7 na sentença aberta y – 5 = 2 , esta

transforma-se na proposição 7 – 5 = 2, que resulta em 2 = 2,

tendo, portanto, valor lógico V (verdade).

Vejamos como transformar uma sentença aberta numa

proposição por meio de quantificadores.

Quantificadores:

Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal

e Existencial.

O Quantificador Universal:

O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀ que se lê:

para todo, para cada, qualquer que seja.

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Exemplos:

a) (∀ x)(x ∈ N)(x + 1 = 7)

O símbolo ∀ é o quantificador universal, x é a variável, N é o

conjunto dos números naturais e x + 1 = 7 é a sentença aberta.

A proposição (∀ x)(x ∈ N)(x + 1 = 7) se lê da seguinte maneira:

“Para todo elemento x do conjunto dos números naturais,

temos que x + 1 = 7”.

O valor lógico dessa proposição é Falso, pois se fizermos, por

exemplo, o x igual ao número natural 4, teremos 4 + 1 = 7

b) (∀ y)(y ∈ Z)(y² ≥ y)

O símbolo ∀ é o quantificador universal, y é a variável, Z é o

conjunto dos números inteiros e y² ≥ y é a sentença aberta.

A proposição (∀ y)(y ∈ Z)(y² ≥ y) se lê da seguinte maneira:

“Para todo elemento y do conjunto dos números inteiros, temos

que y² ≥ y”.

O valor lógico dessa proposição da proposição é Verdade.

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118

Os quantificadores tem o objetivo de transformar uma sentença

aberta em proposição, ou seja, transformar numa sentença que

pode ser julgada como falsa ou verdadeira.

O Quantificador Existencial:

O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃ que se lê:

existe pelo menos um, existe um, existe, para algum.

Vejam os exemplos de transformações de sentenças abertas

em proposições usando o quantificador existencial:

a) (∃ x)(x ∈ N)(x - 2 = 4)

O símbolo ∃ é o quantificador existencial, x é a variável, N é o

conjunto dos números naturais e x – 2 = 4 é a sentença aberta.

A proposição (∃ x)(x ∈ N)(x – 2 = 4) se lê da seguinte maneira:

“Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números

naturais em que x – 2 = 4”.

Resolvendo a equação x – 2 = 4, temos:

x – 2 = 4

x = 4 + 2 ∴ x = 6

A proposição tem valor lógico Verdade.

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119

b) (∃ x)(x ∈ R)(x² + 4 = 10)

O símbolo ∃ é o quantificador existencial, x é a variável, R é o

conjunto dos números reais e x² + 4 = 10 é a sentença aberta.

A proposição (∃x)(x∈ R)( x² + 4 = 10) se lê da seguinte maneira:

“Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números

reais em que x² + 4 = 10”.

A proposição é Falsa.

Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial,

ele é chamado de quantificador existencial de unicidade,

simbolizado por ∃| que se lê: existe um único, existe um e

um só.

Exemplos:

a) (∃| z)(z ∈ N)(z + 5 = 7) que se lê: "existe um único número z

que pertence ao conjunto dos números naturais em que z + 5 =

7".

Na verdade só existe o número 2 que satisfaz essa sentença,

daí a proposição tem valor lógico Verdade.

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120

Negação do quantificador universal:

Esquema prático:

¬ (∀ x) (P(x)) (∃x) (¬ P(x))

Negação do quantificador existencial:

Esquema prático:

¬ [(∃x) ( P(x))] (∀ x) (¬ P(x))

Exercícios resolvidos:

1 – CESPE/2008/Adaptada) Algumas sentenças são

chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para

que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).

Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P(x), lida

como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de

um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos

elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja

possível fazer o julgamento como V ou como F.

Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for

a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a

sentença ∀x P(x).

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Solução:

“x” é um elemento que pertence ao conjunto “U” dos

funcionários públicos. Logo x ∈ U.

U = { funcionários públicos }

Sendo x ∈ U.

Os elementos “x” do conjunto U, tem uma mesma característica

P(x), que é “ser funcionário do INSS”.

A sentença dada ∀x P(x) é lida como: “Para qualquer elemento

“x”, vale a propriedade P(x)”.

Sendo todos os elementos “x” pertencentes ao conjunto “U”,

dos funcionários públicos, todos são funcionários do INSS.

Então é falsa a sentença ∀x P(x).

Logo, a conclusão está CORRETA.

2 – CESPE/2008) Considere-se que U seja o conjunto dos

funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário

do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de

idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas

apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos

os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade”.

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122

(i) ∀x(se Q(x) então P(x)).

(ii) ∀x(P(x) ou Q(x))

(iii) ∀x(se P(x) então Q(x))

Solução:

U = { conjunto dos funcionários do INSS }

P(x) = Todos os elementos de U tem a propriedade de ser

funcionário do INSS.

Q(x) = Propriedade de um elemento “x” qualquer ter mais do

que 35 anos de idade.

De acordo com o enunciado, temos:

(i) ∀x (se Q(x) então P(x)), ou seja, “Se tem mais de 35 anos

de idade, então é funcionário do INSS”.

Isto não condiz com a proposição “Todos os funcionários do

INSS têm mais de 35 anos de idade”. Portanto, é FALSO.

(ii) ⩝x(P(x) ou Q(x)), ou seja, “Ou é funcionário do INSS ou tem

mais de 35 anos de idade”.

Isto não condiz, pois uma das possibilidades é a pessoas não

ser funcionário do INSS e ter mais do que 35. Portanto, é

FALSO.

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(iii) ∀x(se P(x) então Q(x)), ou seja, “Se é funcionário do INSS

então tem mais de 35 anos de idade”.

Ele deseja que se determine quantas entre as assertivas

apresentadas simbolizam a proposição Todos os funcionários

do INSS têm mais de 35 anos de idade. Esta proposição é

VERDADEIRA.

Logo, a conclusão está ERRADA.

3 – CESPE/2007) A proposição funcional “Para qualquer x,

tem-se que x² > x” é verdadeira para todos os valores de x que

estão no conjunto {5, 5 2⁄ , 3, 3 2⁄ , 2, 1 2⁄ }.

Solução:

Substituindo x por 5:

x² > x

5² > 5

25 > 5

(verdade)

Substituindo x por 5 2⁄ :

x² > x

(5 2⁄ )² > 5 2⁄

25 4 ⁄ > 5 2⁄

(verdade)

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Substituindo x por 3:

x² > x

3² > 3

9 > 3

(verdade)

Substituindo x por 2:

x² > x

2² > 2

4 > 2

(verdade)

Substituindo x por 1 2⁄ :

x² > x

(1 2⁄ )² > 1 2⁄

1 4 ⁄ > 1 2⁄

(Falso)

A proposição funcional x² > x” não é verdadeira para todos os

valores de x que estão no conjunto {5, 5 2⁄ , 3, 3 2⁄ , 2, 1 2⁄ }.

Quando substituímos x por 1 2⁄ , temos que 1 4 ⁄ < 1 2⁄

Resposta: Conclusão ERRADA.

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125

Questões envolvendo sequências de números e letras:

São questões que estão presentes na maioria das provas de

raciocínio lógico. Não existe uma regra de solução para estas

questões. No enunciado, são dadas pistas que associadas a

hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos

levam a conclusões diretas, sem muitas dificuldades.

Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá

necessidade de hipóteses (uma teoria provável), mas quando

existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer

levantar hipóteses para chegarmos as conclusões. Elas são

aprendidas com muito treinamento, ou seja, resolvendo muitas

questões de provas anteriores.

Exercícios resolvidos:

1 – CESPE/2007) Três amigos: Ari, Beto e Carlos se

encontram todos os fins-de semana na feira de carros antigos.

Um deles tem um gordini, outro tem um sinca e o terceiro, um

fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia

Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes ( 45, 50 e 55 anos).

Além disso, sabe-se que:

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I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis;

II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o

dono do fusca;

III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do

grupo.

A partir das informações acima, é correto afirmar que:

a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do

sinca.

b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é

proprietário do gordini.

c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é

proprietário do gordini.

d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do

fusca.

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Solução: De acordo com as informações e analisando cada

informação dada, temos:

I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis;

Comentário: Se Ari mora em Buritis, nem o Beto e nem o

Carlos moram em Buritis.

II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o

dono do fusca;

Comentário: Se o Beto não mora em Praia Grande, então ele

mora no Cruzeiro. Portanto, Carlos mora em Praia Grande.

III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do

grupo.

Comentário: Se o Ari não é o dono do Gordini e o dono do

Gordini não mora no Cruzeiro, logo Carlos é o dono do Gordini,

Beto é o dono do Sinca e Ari é o dono do Fusca.

Se Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o

dono do fusca (Ari), logo o ele tem 45 anos.

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Construindo a tabela, temos:

Ari Beto Carlos

Gordini N N S

Sinca N S N

Fusca S N N

Buritis S N N

Praia Grande N N S

Cruzeiro N S N

45 anos N S N

50 anos S N N

55 anos N N S

Resposta correta: Letra D.

2 – ESAF/2004) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-

se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre

eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um

baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à

direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é

carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.

b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.

c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.

d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.

e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

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Solução:

I) São quatro sindicalistas sentados em torno de uma mesa

quadrada, são eles: Paulo, Oliveira, Norton e Vasconcelos.

II) Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro

Comentário: Se o Oliveira é mineiro, então, o Paulo, o Norton

e nem o Vasconcelos são mineiros.

III) Há também um paulista, um carioca e um baiano.

IV) Paulo está sentado à direita de Oliveira

V) Norton, à direita do paulista.

VI) Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de

Paulo.

Comentário: Se o Vasconcelos não é carioca e nem mineiro,

ele só pode ser baiano ou paulista. Como Vasconcelos

encontra-se à frente de Paulo e Paulo está à direita de Oliveira,

Vasconcelos só pode ser baiano.

Observe que o posicionamento dos sindicalistas na mesa e a

construção da tabela:

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Tabela conclusiva:

Mineiro Carioca Paulista Baiano

Paulo N N S N

Oliveira S N N N

Norton N S N N

Vasconcelos N N N S

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

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3 - UNB/CESPE) Considere que Sara, Mara e Lara pratiquem

ou alpinismo, ou judô ou ciclismo, não necessariamente nessa

ordem. Uma delas é brasileira, outra é espanhola e a outra é

portuguesa. Sabe-se que Mara é a alpinista, Lara não é a

ciclista, que a ciclista é portuguesa e que a judoca não é

brasileira. Nessa situação, conclui-se que Lara é espanhola,

Mara é brasileira e Sara é portuguesa.

Solução: Analisando os dados do problema:

Mara é a alpinista, Lara não é a ciclista, que a ciclista é

portuguesa e que a judoca não é brasileira.

Comentário: Se Mara é alpinista e Lara não é ciclista, ela só

pode ser judoca e Sara é a ciclista e portuguesa. Se a judoca

não é brasileira, ela é a espanhola e a alpinista é brasileira.

Portanto, a conclusão está correta. Vejam a tabela abaixo.

Construindo a tabela, temos:

Sara Mara Lara

Alpinismo F V F

Judô F F V

Ciclismo V F F

Brasileira F V F

Espanhola F F V

Portuguesa V F F

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4 – AFT/2003) Três amigas se encontram em uma festa. O

vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é

branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três

cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de

mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são

brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo:

a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.

b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.

c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.

d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é

branco.

e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

Solução: Analisando os dados do problema:

I. Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o

vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com

sapatos azuis.

Comentário: Se Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são

brancos, então o sapato dela é preto, logo o sapato e o vestido

de Ana são brancos. Assim, o vestido de Júlia é azul e o de

Marisa é preto. Vejam a tabela:

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Construindo a tabela, temos:

Sapato Vestido

Ana Branco Branco

Júlia Preto Azul

Marisa Azul Preto

Resposta correta: Letra C

5 – FCC/2012) Abaixo estão listadas cinco proposições a

respeito de Maria, Luís, Paula e Raul, sendo que, entre

parênteses, está indicado se a proposição é verdadeira (V) ou

falsa (F).

- Maria tem 20 anos de idade (F).

- Luís é marido de Maria (V).

- Paula é irmã caçula de Maria (F).

- Raul é filho natural de Luís (V).

- Luís já foi casado duas vezes (V).

Das informações do enunciado, é correto afirmar que:

a)Paula é tia de Raul.

b)Luís é mais novo que Maria.

c) Paula tem mais do que 20 anos.

d) Raul é mais novo que Luís.

e)Luís é mais velho que Maria.

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Solução: Pelas informações do problema, sabemos que:

- Maria não tem 20 anos de idade.

- Luís é marido de Maria.

- Paula não é irmã caçula de Maria.

- Raul é filho natural de Luís.

- Luís já foi casado duas vezes.

Analisando cada alternativa, temos:

a) Paula é tia de Raul.

Sabemos que Paula não é irmã caçula de Maria, podendo ou

não ser tia de Raul.

Item errado.

b) Luís é mais novo que Maria.

Não temos nenhuma informação sobre a idade de Raul, logo

não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria.

Item errado.

c) Paula tem mais do que 20 anos.

A única coisa que sabemos sobre Paula é que ela não é a irmã

caçula de Maria, logo não podemos afirmar que ela tem mais

de 20 anos.

Item errado.

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135

d) Raul é mais novo que Luís.

Se Luís é pai natural de Raul, naturalmente Raul é mais novo

que Luís.

Item correto.

e) Luís é mais velho que Maria.

Não temos nenhuma informação sobre a idade de Luís, logo

não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria.

Item errado.

Resposta correta: Letra D.

6 – FUNRIO/2009) Um policial rodoviário deteve Carlos, João,

José, Marcelo e Roberto, suspeitos de terem causado um

acidente fatal em uma autoestrada. Na inquirição, os suspeitos

afirmaram o seguinte:

- Carlos: o culpado é João ou José;

- João: o culpado é Marcelo ou Roberto;

- José: o culpado não é Roberto;

- Marcelo: o culpado está mentindo;

- Roberto: o culpado não é José.

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Sabe-se ainda que:

- existe apenas um único culpado;

- um único suspeito sempre mente e todos os demais sempre

falam a verdade.

Pode-se concluir que o culpado é:

A) Carlos. B) João. C) José. D) Marcelo. E) Roberto.

Solução:

Marcelo não pode ser o culpado, pois se ele for o culpado a sua declaração “o culpado está mentindo” poderá ser verdadeira nem falsa. Logo Marcelo não é o culpado. Se o Roberto for o culpado duas pessoas estão mentindo (Carlos e José) e, pelo enunciado, apenas uma pessoa mente. Até o momento sabemos que o culpado não é o Marcelo, nem o Roberto. Logo, João está mentindo (e como apenas uma pessoa mente), Marcelo disse a verdade (“o culpado está mentindo”).

Logo o culpado é o João. Resposta correta: Letra B.

Vejam a tabela:

Inocente Culpado

Carlos X

João X

José X

Marcelo X

Roberto X

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7 – CESPE/2009) Considere que um delegado, quando foi

interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual

estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade

ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório,

Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu

somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas

declarações e na regra da contradição, seria correto o

delegado concluir que Carlos e José mentiram.

Solução:

Considerando que Carlos fala a verdade.

Assim temos:

Carlos disse: José só fala a verdade.

Isto implica que José também falar a verdade.

Verdade Mentira

Carlos X

José X

José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos.

Isto contradiz a tabela, pois se ambos falam a verdade, Carlos

e José não são de tipos opostos. Essa possibilidade fica

impossível

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Considerando que Carlos mente.

Carlos disse: José só fala a verdade.

Isto implica que implica em José também mente.

Verdade Mentira

Carlos X

José X

José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos.

Pela tabela verificamos que ambos mentem, e o que foi dito por

José é uma mentira. Os dois estão mentindo.

Temos então que Carlos e José sempre mentem.

Portanto, a conclusão está CORRETA.

Comentário: As questões envolvendo personagens que dizem

verdades e mentiras verifique a possibilidade de um deles dizer

a verdade. Caso resulte em uma contradição, teste o outro

personagem como verdadeiro e assim, sucessivamente, até

encontrar a solução.

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8 – FCC/2012) Arlete e Salete são irmãs gêmeas idênticas,

mas com uma característica bem diferente: uma delas só fala a

verdade e a outra sempre mente. Certo dia, um rapaz que não

sabia qual das duas era a mentirosa perguntou a uma delas:

"Arlete é mentirosa?".

A moça prontamente respondeu: "Sim". Analisando somente a

resposta dada, o rapaz pôde concluir que havia se dirigido a:

a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa.

b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa.

c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.

d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa.

e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.

Resolução:

Considerando que Arlete é mentirosa e Salete fala a verdade.

Verdade Mentira

Arlete X

Salete X

Pergunta: Arlete é mentirosa?

Resposta da Arlete: Não.

Se Arlete é mentirosa, ela jamais assumiria ser mentirosa.

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Pergunta: Arlete é mentirosa?

Resposta da Salete: Sim.

Se Salete sempre fala a verdade a resposta é sim.

Considerando que Arlete fala a verdade e Salete é mentirosa.

Verdade Mentira

Arlete X

Salete X

Pergunta: Arlete é mentirosa?

Resposta da Arlete: Não.

Já que Arlete não é mentirosa, ela responde não.

Pergunta: Arlete é mentirosa?

Resposta da Salete: Sim.

Já que Salete é mentirosa, ela vai dizer que a irmã é mentirosa.

Portanto, Salete sempre responde sim, mas não é possível

afirmar se ela mente ou fala a verdade.

Resposta correta: Letra E.

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9 – FCC/2012) As relações seguintes referem-se a uma família

em que não há duas pessoas com o mesmo nome.

“Raul é pai de Sofia, que é neta do pai de Flávio. Larissa é

sobrinha de Raul.”

A partir dessas informações, conclui-se que, necessariamente,

a) Larissa é filha de Flávio.

b) O pai de Flávio tem uma filha.

c) Raul e Flávio são irmãos.

d) Flávio é tio de Larissa.

e) Sofia é sobrinha de Flávio.

Resolução: Analisando os dados numa tabela, temos:

Sofia Larissa

Flávio Tio

Raul Pai Tio

Resposta correta: Letra E

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10 – FCC/2011) Sabe-se que os termos da sequência (8, 9, 12,

13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, …) foram obtidos segundo uma

lei de formação. De acordo com essa lei, o 13o termo dessa

sequência é um número:

a) par.

b) primo.

c) divisível por 3.

d) múltiplo de 4.

e) quadrado perfeito.

Solução: Pela sequência dada verificamos que o intervalo

entre cada número é de uma, duas ou três unidades. Vejam:

8 + 1 = 9

9 + 3 = 12

12 + 1 = 13

13 + 2 = 15

15 + 1 = 16

16 + 3 = 19

19 + 1 = 20

20 + 2 = 22

22 + 1 = 23

23 + 3 = 26

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143

Vejam o esquema abaixo:

8 9 12 1313 15

16 19 20 22

23 26 27 29, ....

Resposta correta: Letra B.

11 – FCC/2010) Considere os seguintes grupos de letras:

A B C A ? J K L J ? D E F D ? N O Q N ? T U V T

Desses grupos, o único que NÃO tem a mesma característica

dos demais é:

a) ABCA

b) JKLJ

c) DEFD

d) NOQN

e) TUVT

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Solução:

Em todas as sequências, temos três letras de acordo com a

ordem alfabética e a repetição da 1ª letra da sequência. Na

sequência NOQN o correto seria NOPN.

Portanto, a sequência NOQN não segue o mesmo padrão das

demais sequências.

Resposta correta: Letra D

12 – ESAF/2004) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são

atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que

representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis

de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas

são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para

determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar

o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse

seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.

Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a

Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.

Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.

Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.

Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.

Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.

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Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão

completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um

dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo

assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados

para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,

a) rainha, bruxa, princesa, fada.

b) rainha, princesa, governanta, fada.

c) fada, bruxa, governanta, princesa.

d) rainha, princesa, bruxa, fada.

e) fada, bruxa, rainha, princesa.

Solução: Veja o palpite de cada atriz:

Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada,

Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Fátima N

Beatriz N

Gina

Sílvia N

Carla N

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Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Fátima N N N

Beatriz N

Gina

Sílvia N

Carla N

Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Fátima N N N

Beatriz N

Gina

Sílvia N N N

Carla N

Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Fátima N N N

Beatriz N

Gina

Sílvia S N N N N

Carla N

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Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.

Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta

Fátima N N S N N

Beatriz N N N S N

Gina N S N N N

Sílvia S N N N N

Carla N N N N S

Concluímos que: Fátima é a Rainha, Beatriz é a Princesa,

Gina é a Bruxa e Sílvia é a Fada.

Resposta correta: Letra D.

13 – FCC/2010) A seguinte sequência de palavras foi escrita

obedecendo a um padrão lógico:

PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − ?

Considerando que o alfabeto é o oficial, a palavra que, de

acordo com o padrão estabelecido, poderia substituir o ponto

de interrogação é:

(A) XAMPU.

(B) YESTERDAY.

(C) QUALIDADE.

(D) SADIA.

(E) WAFFLE.

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Solução: Observe a primeira letra de cada palavra:

PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − .......

Verifique que a palavra PATA termina com a vogal A, a palavra

REALIDADE termina com a vogal E, a palavra TUCUPI termina

com a vogal I, a palavra VOTO termina com a vogal O.

Seguindo esta linha de raciocínio, a próxima palavra terminará

com a vogal U.

Portanto, a próxima palavra da sequência é XAMPU.

Resposta correta: Letra A.

14 – FCC/2010) Observe a sequência que foi criada com uma

lógica matemática:

7; 29; quarenta;

8; 11; vinte;

3; 31; trinta;

5; 73; oitenta;

6; 52; .......

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A palavra que completa o espaço é:

A) noventa. B) sessenta. C) trinta.

D) vinte. E) dez.

Solução: Veja as sequências:

7; 29; quarenta;

A soma 7 + 29 = 36. O resultado é um número maior que 30 e

menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 40.

8; 11; vinte;

A soma 8 + 11 = 19. O resultado é um número maior que 10 e

menor que 20, porém, este resultado está mais próximo de 20.

3; 31; trinta;

A soma 3 + 31 = 34. O resultado é um número maior que 30 e

menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 30.

5; 73; oitenta;

A soma 5 + 73 = 78. O resultado é um número maior que 70 e

menor que 80, porém, este resultado está mais próximo de 80.

6; 52; .......

A soma 6 + 52 = 58. O resultado é um número maior que 50 e

menor que 60, porém, este resultado está mais próximo de 60.

Resposta correta: Letra B

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15 – FCC/2010) Considere que os números dispostos em cada linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer a determinado padrão.

7 9 2

10 ? 5

3 ? 3

Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é:

14 13 15 16 15

7 9 7 9 6

A) B) C) D) E)

Solução:

Na 1ª linha da malha quadriculada, fazendo a operação:

7 – 9 + 2 = 0

Na 1ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação:

7 – 10 + 3 = 0

Na 3ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação:

2 – 5 + 3 = 0

Portanto, as células que completam a malha quadriculada é

aquela em que 9 – ? + ? = 0.

Resposta correta: Letra E.

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16 – FCC/2010) Considere que os números inteiros e positivos

que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo

determinado critério.

Completando corretamente esse quadro de acordo com tal

critério, a soma dos números que estão faltando é:

A) maior que 19. B) 19. C) 16.

D) 14. E) menor que 14.

Solução:

Os números que faltam na parte

inferior da tabela são exatamente

os mesmos que estão destacados

na parte superior da tabela.

Logo, a soma será:

1+1+3+1+2+2+2+1+3+4= 20

Resposta correta: Letra A.

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17 – FCC/2011) São dados cinco conjuntos, cada qual com

quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma

única que nada tem a ver com as outras:

X : {cão, gato, galo, cavalo}

Y : {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}

Z : {abacaxi, limão, chocolate, morango}

T : {violino, flauta, harpa, guitarra}

U : {Aline, Maria, Alfredo, Denise}

Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as

demais são, respectivamente:

A) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo.

B) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo.

C) cão, Canadá, morango, flauta e Denise.

D) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline.

E) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria.

Solução:

X : {cão, gato, galo, cavalo}

Neste conjunto, apenas o galo tem duas patas.

Y : {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}

Neste conjunto, apenas o Canadá não pertence à América do

Sul.

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Z : {abacaxi, limão, chocolate, morango}

Neste conjunto, apenas o chocolate não ´representa uma fruta.

T : {violino, flauta, harpa, guitarra}

Neste conjunto, apenas a flauta é um instrumento de sopro.

U : {Aline, Maria, Alfredo, Denise}

Neste conjunto, apenas o Alfredo é do sexo masculino.

Resposta Correta: Letra A.

18 – FCC/2011) Certo dia, Eurídice falou a Josué:

− Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua

idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a

diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de

serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.

Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem

menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com

certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número:

(A) maior que 100. (B) quadrado perfeito.

(C) múltiplo de 11. (D) divisível por 9.

(E) menor que 100.

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Solução: Considerando que para trabalhar no TRT funcionário

terá, pelo menos 18 anos, temos:

1ª situação:

42 – 24 = 18 e 42 + 24 = 66. Nesse caso Eurídice tem 42

anos e José 24 anos. Se José tem 18 anos de trabalho no

TRT, com 6 anos de idade ele não trabalhava no TRT.

2ª situação:

53 – 35 = 18 e 53 + 35 = 88. Nesse caso Eurídice tem 53

anos e José 35 anos. Se José tem 18 anos de trabalho no

TRT, com 17 anos de idade, possivelmente ele não trabalhava

no TRT.

3ª situação:

64 – 46 = 18 e 64 + 46 = 110, portanto, José tem 46 anos e

Eurídice tem 64 anos.

4ª situação:

75 – 57 = 18. Nesse caso Eurídice tem 75 anos e José 57

anos. Considerando que Eurídice tem menos de 70 anos,

estes valores não servem.

Resposta correta: Letra C.

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Bibliografia

FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de

lógica e matemática básica. São Paulo: Ciência

Moderna, 2005. 224p.

SOARES, Edvaldo. Fundamentos de Lógica. Elementos

de Lógica Formal e Teoria da Argumentação. São

Paulo: Atlas S. A., 2003.

FILHO, Edgar de Alencar. Iniciação à Lógica

Matemática. São Paulo, Nobel, 2002.

ROCHA, Enrique. Raciocínio Lógico: você consegue

aprender. Rio de Janeiro, Elsevier, 2006.

Eletrônica:

http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html

http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref

http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/alcustodio/logica

http://homepages.dcc.ufmg.br/~loureiro/md/md_1Funda

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http://www.cin.ufpe.br/~jpsml/ufrpe/14203bc3/matematic

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http://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundame

ntos-de-programacao