Raciocinio Logico

BIZU PARA ESCRIVO - RACIOCNIO LGICO POLCIA FEDERAL PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Ol, pessoal! Meu nome Guilherme Neves e estou ministrando o curso de Raciocnio Lgico para o concurso para Escrivo da PF que ser realizado pelo CESPE-UnB. Vamos, de uma maneira sucinta, fazer uma anlise do edital e dar algumas dicas que possam te auxiliar (no basta acertar a questo, tem que fazer rpido!!) na hora da prova. Eis o nosso contedo programtico: RACIOCNIO LGICO: 1. Estruturas lgicas. 2 Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses. 3 Lgica sentencial (ou proposicional): proposies simples e compostas; tabelas-verdade; equivalncias; leis de De Morgan; diagramas lgicos. 4 Lgica de primeira ordem. 5 Princpios de contagem e probabilidade. 6 Operaes com conjuntos. 7 Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais. Este um contedo-padro nas ltimas provas do CESPE-UnB. Concursos como ANS, MPU, Cmara dos Deputados, dentre muitos outros, seguiram exatamente este contedo. Inclusive concursos recm lanados como Auditor Fiscal do Trabalho tambm. Alguns assuntos esto includos no contedo, mas no so cobrados como, por exemplo, problemas geomtricos e matriciais. O CESPE gosta de cobrar detalhes que muitas vezes so esquecidos por outras bancas. Vamos comear falando de estruturas lgicas e lgica de argumentao (Tpicos 1, 2, 3 e 4 do contedo supracitado). Chama-se proposio toda orao declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas no as duas. Em suma, precisamos saber que toda proposio uma frase que: i) Deve possuir sentido completo, ou seja, deve possui sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Desta forma, expresses do tipo Os alunos do Ponto dos Concursos. no so consideradas proposies (pois no h predicado). ii) Deve ser declarativa (no pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa). Desta forma, as expresses abaixo no so consideradas proposies. i) Que belo dia! (exclamativa) ii) Qual o seu nome? (interrogativa)



iii) Leia isto atenciosamente. (imperativa indica ordem) iv) Que Deus te abenoe. (optativa exprime desejo).

Um importante tipo de sentena que no proposio a chamada sentena aberta ou funo proposicional.

Exemplo: + 5 = 10

No d para julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque no possvel descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, + 5 = 10.

Caso contrrio, se x for diferente de 5, a igualdade acima est errada.

x uma varivel, pode assumir inmeros valores.

Quando a sentena possui uma varivel, ns dizemos que ela uma sentena aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julg-la em verdadeiro ou falso. Logo, no proposio.

Vejamos outro exemplo de sentena aberta:

Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001.

Ora, no sabemos quem ele. Portanto, no podemos classificar esta frase em V ou F.

Se ele for Russel Crowe, ento a frase verdadeira.

Se ele for qualquer outra pessoa que no Russel Crowe, ento a frase falsa.

Como no sabemos quem ele, no podemos classificar a frase e, portanto, no considerada uma proposio. Bom, alm de precisar entender o conceito de proposio, devemos aprender a operar com os conectivos lgicos. Podemos resumir todas as regras com a seguinte tabela-verdade: Ou ainda, para facilitar o processo mnemnico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras. Conjuno qp As duas proposies p, q devem ser verdadeiras. Disjuno qp Ao menos uma das proposies p, q deve ser verdadeira.

No pode ocorrer o caso de as duas serem falsas. Condicional

qp No pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, no pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que no pode acontecer VF, nesta ordem.

p q qp qp qp p q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V



Bicondicional p q

Os valores lgicos das duas proposies devem ser iguais. Ou as duas so verdadeiras, ou as duas so falsas.

muito importante ter velocidade na construo de tabelas verdade. Vamos treinar um pouco construindo a tabela verdade de cinco proposies com apenas uma tabela. Exerccio: Sejam p e q proposies simples e ~p e ~q as suas respectivas negaes. Em cada uma das alternativas abaixo, h uma proposio composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) (B) ~ (C) ~ (D) (E) Vamos responder esta questo construindo uma tabela nica para todas as alternativas ( MUITO importante que voc treine a construo de tabelas verdade). Em todas as alternativas precisamos das proposies simples , e suas respectivas negaes. Comecemos com elas.

~ ~ V V F F V F F V F V V F F F V V

Com esta tabela-base, j temos condies de construir as proposies das alternativas A e B. Para construir as proposies das outras alternativas, precisamos construir as proposies que esto nos parnteses: , e ~ .

~ ~ ~ V V F F V F F V F V V F F F V V

: Devemos nos ater s duas primeiras colunas. A composta ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros. Isto acontece apenas na primeira linha. : Novamente devemos nos ater s duas primeiras colunas. A composta do ou verdadeira quando pelo menos um dos componentes for verdadeiro. Isto s no acontece na ltima linha. Portanto, as trs primeiras linhas so verdadeiras e a ltima linha falsa.



~ : Vamos nos concentrar na segunda e terceira colunas. Como uma conjuno (e), a composta ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros. Isto acontece apenas na terceira linha.

~ ~ ~ V V F F V V F V F F V F V F F V V F F V V F F V V F F F

Estamos prontos para construir todas as proposies das alternativas (a alternativa A j foi construda na 6 coluna e no uma tautologia).

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F V F F V F V F F V V F F V V F F V V F F F

(B) ~: Para construir esta coluna devemos nos concentrar na primeira e quarta colunas. A conjuno ser verdadeira quando os dois componentes forem verdadeiros (segunda linha).

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F V F F V F V F V F V V F F V V F F F V V F F F F

(C) ~ : Esta proposio composta pelo se..., ento.... O antecedente (proposio que antecede a seta) (sexta coluna). O consequente a proposio ~ (stima coluna). O condicional (se..., ento) s falso quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso (quando aparece VF nesta ordem). Isto acontece na primeira e segunda linhas. Nas outras linhas a proposio composta verdadeira.

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F F V F F V F V F V F F V V F F V V F V F F V V F F F F V

(D) : Devemos tomar MUITO CUIDADO nesta alternativa. Ela muito parecida com a alternativa E. Temos novamente uma proposio composta pelo se..., ento.... Este o nico conectivo que FAZ QUESTO DE ORDEM. Vejamos: o antecedente a



proposio e o consequente a proposio . Devemos olhar primeiro a sexta coluna e depois a quinta coluna. Devemos olhar estas duas colunas da DIREITA para a ESQUERDA. Repito...tome MUITO CUIDADO!!!

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F F V F F V F V F V F F V V F F V V F V F F V V F F F F V

Coloquei em vermelho as duas colunas em que devemos nos concentrar. O condicional . Vamos procurar onde h VF da direita para a esquerda (pois quando ocorre VF o condicional falso). Isto acontece na segunda e terceira linhas.

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F F V V F F V F V F V F F F V V F F V V F V F F F V V F F F F V V

(E) : Nesta alternativa vamos nos ater novamente na quinta e na sexta coluna. S que desta vez olharemos da esquerda para a direita, j que o antecedente e o consequente .

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F F V V F F V F V F V F F F V V F F V V F V F F F V V F F F F V V

H algum VF da esquerda para a direita? No!!! Isto significa que o condicional nunca falso. Trata-se, portanto, de uma tautologia.

~ ~ ~ B C D E V V F F V V F F F V V V F F V F V F V F F V F V V F F V V F V F V F F V V F F F F V V V

Gabarito: E



H ainda dois tpicos importantes nesta parte de Lgica proposicional: equivalncias lgicas e negaes. E o que so proposies logicamente equivalentes? Grosso modo, duas proposies so logicamente equivalentes quando elas dizem a mesma coisa. Memorize: As proposies p q , ~ ~q p e ~ p q so logicamente equivalentes. Em uma linguagem informal, poderamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposies equivalentes notveis, dada a proposio condicional p q .

~ ~q p Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo se...,ento

~ p q Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por ou.

Por exemplo, dada a proposio Se bebo, ento no dirijo, temos que as seguintes proposies so equivalentes a ela: i) Se dirijo, ento no bebo. ii) No bebo ou no dirijo. Veja um exemplo do CESPE: (MPE-AM 2007/CESPE-UnB) A proposio Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco equivalente proposio O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco. Resoluo Dada a proposio Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco, devemos negar apenas o primeiro componente e trocar o conectivo por ou. Obtemos: O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco. O item est certo. importante saber a negao das principais proposies compostas. Comecemos pelas Leis de De Morgan. As Leis de De Morgan explicam como negar proposies compostas pelos conectivos e e ou. Voc saberia, por exemplo, negar a proposio Vou festa ou no me chamo Guilherme.? Bom, a negao de Vou festa No vou festa. A negao de no me chamo Guilherme me chamo Guilherme. Afirmao Vou festa ou no me chamo Guilherme Negao No vou festa me chamo Guiherme



agora que entra a primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposio composta pelo conectivo ou, voc deve negar as duas proposies simples que a compe e TROCAR O CONECTIVO OU PELO E. Afirmao Vou festa ou no me chamo Guilherme Negao No vou festa e me chamo Guiherme Pronto, s isso! A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Negue a proposio Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell no era brasileiro. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmao Lula foi presidente do

Brasil e Bertrand Russel no era

brasileiro. Negao Lula no foi presidente do

Brasil ou Bertrand Russell era brasileiro.

Precisamos tambm aprender a negar proposies compostas pelo se..., ento.... Neste caso, basta afirmar o antecedente, negar o consequente e trocar o conectivo por e. Exemplo: Negue a proposio Se bebo, ento no dirijo.

Afirme o antecedente: Bebo Negue o consequente: Dirijo Troque o conectivo por e: Bebo e dirijo resposta Temos ainda que saber como negar proposies que utilizam quantificadores. Em resumo, temos o seguinte quadro para negao de proposies quantificadas.

Afirmao Negao Particular afirmativa (algum...) Universal negativa (nenhum... ou

todo... no ...) Universal negativa (nenhum... ou

todo... no...) Particular afirmativa (algum...)

Universal afirmativa (todo...) Particular negativa (algum... no) Particular negativa (algum... no) Universal afirmativa (todo...) (Agente de Polcia Federal/2009/CESPE) Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio A estar enunciada corretamente por Nenhum policial honesto.



Resoluo Para negar uma proposio universal afirmativa (todo), devemos troc-la pela particular negativa (algum...no).

Afirmao Todos Os policiais so honestos. Negao Algum Policial no honesto.

O item est errado. Problemas de contagem e probabilidade so assuntos com pouca teoria. Por outro lado, os nveis das questes variam de muito ridculo a super-hiper-mega-difcil. Acho que vocs devem treinar bem questes que envolvam o princpio fundamental da contagem e combinaes. So os problemas que o CESPE mais gosta (e que voc tem uma grande chance de acertar!). Vamos resolver algumas questes recentes do CESPE sobre princpios de contagens e probabilidades, que so os assuntos mais importantes para esta prova. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) Nas eleies municipais de uma pequena cidade, 30 candidatos disputam 9 vagas para a cmara de vereadores. Na sesso de posse, os nove eleitos escolhem a mesa diretora, que ser composta por presidente, primeiro e segundo secretrios, sendo proibido a um mesmo parlamentar ocupar mais de um desses cargos. Acerca dessa situao hipottica, julgue os itens seguintes.

25. A quantidade de maneiras distintas de se formar a mesa diretora da cmara municipal superior a 500.

Resoluo

Se no houvesse ordem entre os elementos da mesa diretora, deveramos usar combinao. Como existe um presidente, o primeiro secretrio e o segundo secretrio, ento h ordem entre os elementos. Vamos utilizar o princpio fundamental da contagem.

So 9 vereadores. Ento existem 9 possibilidades para a escolha do presidente, 8 possibilidades de escolha para o primeiro secretrio e 7 possibilidades de escolha para o segundo secretrio. O total de possibilidades igual a 9 8 7 = 504. O item est certo.

26. A quantidade de maneiras distintas para se formar a cmara de vereadores dessa cidade igual a 30!/(9! 21!).

Resoluo

So 30 candidatos e apenas 9 sero eleitos. Entre os candidatos eleitos, no h ordem entre eles. Assim, o total de possibilidades igual a

= ,.



Aprendemos a calcular este nmero da seguinte forma:

Colocamos no denominador o fatorial de 9.

= , =

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Agora expandimos o nmero 30 em 9 fatores.

= , =

30 29 28 27 26 25 24 23 22

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Vamos agora desenvolver a expresso dada no enunciado.

30!

9! 21!

Vamos desenvolver o fatorial de 30 at o fatorial de 21.

30!

9! 21!=30 29 28 27 26 25 24 23 22 21!

9! 21!=

=30 29 28 27 26 25 24 23 22

9!

Assim, o item est certo.

Quem est acostumado a usar a formula de combinaes j poderia acertar a questo mais rpido.

, =!!

! ! !

Destarte,

, =30!

9! 30 9!=

30!

9! 21!

(Banco da Amaznia 2012/CESPE-UnB) Em mdia, chegam cinco clientes por minuto no setor de caixas de uma agncia bancria. Supondo que a distribuio das chegadas dos clientes no dependa da hora do dia e que os clientes cheguem de modo independente uns dos outros, a probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado minuto expressa por

# =5$

#!%&'

em que k = 0, 1, 2, 3, . . . e e a base dos logaritmos neperianos.

Considerando 7 10-3 como valor aproximado para e-5, julgue os prximos



itens, relativos movimentao de clientes acima descrita.

29. A probabilidade de que, em determinado minuto, cheguem dois ou mais clientes inferior a 95%.

30. A probabilidade de que, em determinado minuto, chegue exatamente um cliente inferior a 4%.

Resoluo

Questo muito bem elaborada. Para chegar na formula dada no enunciado, usa-se a distribuio de Poisson, mas calma, voc no precisa estudar esta distribuio de probabilidade! A frmula j foi dada no enunciado.

A frmula dada fornece a probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado minute.

Vamos analisar os itens. Vou analisar primeiro o item 30 e depois o item 29.

30. A probabilidade de que, em determinado minuto, chegue exatamente um cliente inferior a 4%.

Basta substituir k por 1.

1 =5(

1!%&' = 5 %&' = 5 7 10& = 0,035 = 3,5%

O item est certo.

Vamos agora analisar o item 29.

29. A probabilidade de que, em determinado minuto, cheguem dois ou mais clientes inferior a 95%.

A probabilidade pedida igual a:

2 + 3 + 4 + 5 +

A priori parece ser uma probabilidade bem complicada de calcular, j que precisamos calcular a soma de infinitas parcelas.

Ora, mas a teoria das probabilidades existe para facilitar as nossas vidas. Sabemos que a probabilidade de um evento A no ocorrer igual a 1 P(A), ou seja, +, = 1 +,.

Guilherme, no entendi!

Ora, em muitas ocasies bem mais fcil calcular a probabilidade de no ocorrer um evento. justamente o caso desta questo. Calcular a probabilidade de chegar 2 ou mais clientes difcil.

O que fazer ento? Vamos calcular a probabilidade de chegar menos de 2



clientes, ou seja, 0 ou 1 cliente. Isto o que ns no queremos.

0 + 1 =5

0!%&' +

5(

1!%&' = %&' + 5%&' = 7 10& + 5 7 10&

0 + 1 = 0,007 + 0,035 = 0,042 = 4,2%

Assim, a probabilidade pedida igual a 100% - 4,2% = 95,8%.

2 + 3 + 4 + 5 + = 95,8%

O item est errado.

Apesar de o CESPE colocar no edital e quase nunca cobrar, o que estudar em relao aos problemas aritmticos, geomtricos e matriciais? - Aritmticos porcentagens, proporcionalidade e regra de trs (principalmente aqueles problemas com textos enormes que o CESPE costuma colocar). - Geomtricos problemas envolvendo clculos de reas, escalas e mudanas de unidades. - Matriciais problemas que recaiam em um sistema de equaes (o que bem comum nas provas do CESPE). isso, pessoal. Um forte abrao e uma boa prova a todos. Guilherme Neves

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