Raciocinio Logico Quantico

T39_ATRFB-2012 (2).docx Pedro Bello Página 1 www.editoraferreira.com.br

Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico-Quantitativo Prova realizada pela ESAF em 23/09/2012

para Analista Tributário da Receita Federal do Brasil 56. A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à proposição

a) Paulo não estuda e Marta não é atleta. b) Paulo estuda e Marta não é atleta. c) Paulo estuda ou Marta não é atleta. d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta. e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta. RESOLUÇÃO: Denominemos por p a proposição simples “Paulo Estuda” e por q a proposição simples “Marta é atleta”. Na linguagem lógica a proposição composta, dada no enunciado, será: “p→q”.

Questão semelhante à questão 40 da prova para Oficial de Fazenda (SEFAZ-2011), resolvida e comentada no Toque de Mestre nº 36, de 07/07/2011. Basta conhecer as regras para negação de proposições compostas e saber que, para negar uma proposição condicional: mantemos o antecedente (p), negamos o conseqüente (q) e trocamos o conectivo → (se, então) pelo conectivo da conjunção (∧), ou seja, ~(p→q) ⇔ p∧~q. Traduzindo para a linguagem falada fica: “Paulo estuda e Marta não é atleta”.

Não sabendo a regra podemos chegar à opção correta de resposta através da Tabela Verdade, mas perde-se tempo. Demonstração, através da Tabela Verdade:

Negação Opção A Opção B Opção C Opção D Opção E p q p→q ~(p→q) ~p∧~q p∧~q p∨~q ~p→~q ~p∨~q V V V F F F V V F V F F V F V V V V F V V F F F F F V F F V F V F V V V

Gabarito: Letra B.

57. Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo

a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. RESOLUÇÃO:

Temos, no argumento lógico do enunciado da questão, 4 premissas, sendo pedida uma conclusão. Para que esse argumento lógico seja válido, com todas as premissas verdadeiras a conclusão também terá que ser verdadeira. As 4 premissas:

1) Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos; 2) Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo; 3) Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria; 4) Ora, Leila não é tia de Maria.

⇔


Destas, a única premissa que não é uma proposição condicional (que admite 3 possibilidades verdadeiras – ver “p → q” na tabela da questão anterior) é a 4ª premissa, que é incondicional. Assim começamos a resolução da questão atribuindo valor verdade V para a proposição “Leila não é tia de Maria” e, consequentemente, a proposição “Leila é tia de Maria” será F (falsa).

Para que a 3ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Marta não é mãe de Rodrigo” terá que ser F, pois o consequente “Leila é tia de Maria” é F.

Para que a 2ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Natália é prima de Carlos” terá que ser F, pois o consequente “Marta não é mãe de Rodrigo” é F.

Para que a 1ª premissa também seja verdadeira, o valor verdade do antecedente “Paulo é irmão de Ana” terá que ser F, pois o consequente “Natália é prima de Carlos” é F.

Temos então os seguintes valores verdade para as proposições simples:

Paulo é irmão de Ana = F;

Natália é prima de Carlos = F;

Marta é mãe de Rodrigo = V;

Leila é tia de Maria = F.

Analisando as opções de resposta, verificaremos qual proposição composta tem V como valor verdade, ou seja, a única que poderá ser a conclusão da argumentação:

a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana. F ∧ F = F (não pode ser conclusão);

b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. V ∧ F = F (não pode ser conclusão);

c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos. F ∧ F = F (não pode ser conclusão);

d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana. V ∧ V = V (é a única que pode ser conclusão);

e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo. V ∧ F = F (não pode ser conclusão);

Gabarito: Letra D.

58. Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a hipotenusa do triângulo retângulo da figura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B.

a) 5 metros b) 3 metros c) 4 metros d) 6 metros e) 7 metros RESOLUÇÃO:

Para encontrarmos o valor da hipotenusa, basta lembrar que a fórmula do seno de um ângulo é dada pela divisão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Denominando por X a hipotenusa, temos:

X2º30sen = e lembrando que o seno de 30º é igual a 1/2, fica:

X2

21 = ⇒ X = 4.

Eis aí a solução, 4 metros, questão fácil.

Gabarito: Letra C.


Mas vamos ajudar a quem não lembra, como é fácil guardar os valores do seno, do cosseno e da tangente para os principais arcos (30º, 45º e 60º).

Façamos uma tabela e recordemos que no círculo trigonométrico (eixo dos senos vertical e eixo dos cossenos horizontal) à medida que o arco aumenta, o valor do seno também aumenta (o seno é crescente) mas o cosseno diminui (decrescente). Então coloque 1, 2, 3 para o seno e 3, 2, 1 para o cosseno

Função 30º 45º 60º SENO 1 2 3 COSSENO 3 2 1 TANGENTE Agora, coloque esses números sob raiz quadrada (exceto o 1, pois a raiz quadrada de 1 é igual a 1 e divida-os por 2.)

Função 30º 45º 60º

SENO 21

22

23

COSSENO 23

22 2

1

TANGENTE Pronto, já temos os valores do seno e do cosseno para estes arcos. Faltam os valores da tangente. Então lembremos que o valor da tangente pode ser obtido dividindo-se o cateto

oposto pelo cateto adjacente, ou seja adjacente .cat

oposto .cattg = , mas se dividirmos o numerador e o

denominador da fração pela hipotenusa, não estaremos alterando seu valor e ficamos com:

hipotenusaadjacente .cat

hipotenusaoposto .cat

tg = . Mas, já vimos que senhipotenusa

oposto .cat = e coshipotenusa

djacentea .cat= .

Podemos então concluir que a tangente também pode ser obtida, fazendo-se: cossentg = .

Efetuando as divisões, assim ficará a tabela: Função 30º 45º 60º

SENO 21

22

23

COSSENO 23

22 2

1

TANGENTE 33 1 3


59. Dada a matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1012

A , o determinante de A5 é igual a

a) 20. b) 28. c) 32. d) 30. e) 25. RESOLUÇÃO:

Será interessante ao leitor, buscar e ler o Toque de Mestre nº 38, de 19/04/2012 (é um resumo bem objetivo sobre o assunto “Matrizes e Determinantes”) e ver que podemos resolver de forma fácil e rápida, encontrando o determinante da matriz A e elevando-o à quinta potência (aplicação da propriedade nº 13 do TM 38).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1012

A , então 202)10()12(Adet =−=⋅−⋅= . Logo: 55 2Adet = = 32.

Se fizermos o produto A ⋅ A ⋅ A ⋅ A ⋅ A para encontrar a matriz A5, também teremos para o seu

resultado, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

103132

A 5 , o mesmo determinante, pois 32032)310()132( =−=⋅−⋅ . Mas a

perda de tempo será bem maior. Gabarito: Letra C.

60. A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a

a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5. RESOLUÇÃO:

Primeiro vamos calcular a média dos valores amostrais, 6

186

354132nX

X =+++++== ∑ = 3.

Façamos uma tabela com os valores observados e o quadrado da diferença entre cada valor e a média:

X 2 3 1 4 5 3 ∑

( )2XX − 1 0 4 1 4 0 10

Sabendo que a fórmula para a variância amostral é dada por: ( )

1nXX

S2

2−−

= ∑ , basta dividir

10 por 5 para encontrar a resposta: S2 = 2.

O mesmo resultado será encontrado se utilizarmos a fórmula: ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅−

= ∑ ∑nX

X1n

1S2

22 , mas

pela primeira forma será mais rápido, pois a média é um valor exato e os valores são pequenos. Gabarito: Letra B.


61. O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3 analistas para executar um trabalho na área de tributos. Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a

a) 40%. b) 50%. c) 30%. d) 20%. e) 60%. RESOLUÇÃO:

Há uma questão semelhante (questão 15) no Toque de Mestre nº 33. Designando o sexo masculino (homem) por H e o sexo feminino (mulher) por M, o que a questão pede são as probabilidades P(H∩H∩H) ou P(M∩M∩M), as quais deverão ser somadas após as calcularmos. Na primeira seleção masculina, do total de 10 pessoas, 6 são homens, então P(H) = 6/10; Ocorrendo o evento H na primeira seleção, sobrarão 5 homens do total de 9 pessoas e P(H) = 5/9; Ocorrendo o evento H nas duas primeiras seleções, serão 4 homens do total de 8 pessoas e P(H) = 4/9;

Portanto, P(H∩H∩H) = 84

95

106 ⋅⋅ . Simplificando as frações, resultará que P(H∩H∩H) =

61 .

Fazendo o mesmo raciocínio para as mulheres, teremos P(M∩M∩M) = 82

93

104 ⋅⋅ e

simplificando o produto das frações, teremos P(M∩M∩M) = 301 .

Somando 61 e

301 obteremos P(H∩H∩H) ∪ P(M∩M∩M) =

306 =

51 = 20%.

Teríamos o mesmo resultado utilizando Análise Combinatória, mas penso ser mais rápido assim. Gabarito: Letra D.

62. Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses 5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da aplicação é igual a

a) R$ 221,10. b) R$ 220,00. c) R$ 252,20. d) R$ 212,20. e) R$ 211,10. RESOLUÇÃO:

Lembrando que a fórmula para o Montante a Juros Simples é dada por: M = C⋅(1 + i⋅t), onde M é o Montante (Capital + Juros) e C é o Capital, teremos para o primeiro Montante: M1 = 10.000⋅(1 + 0,02⋅5) = 10.000⋅1,1 = 11.000. Para o segundo Montante (final), usaremos a fórmula para o Montante a Juros Compostos, dada por ( )ti1CM +⋅= e consideraremos como Capital o primeiro Montante.

( )22 01,01000.11M +⋅= = 11.000⋅1,0201 = 11.221,10 (Montante final) (−) 11.000,00 (capital da segunda etapa) 221,10 (Juros da segunda etapa) Gabarito: Letra A.


63. Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros simples dessa operação é igual a

a) 6,50%. b) 5,50%. c) 5,25%. d) 6,00%. e) 6,25%. RESOLUÇÃO:

Lembremos que a fórmula para o desconto comercial simples é: D = N⋅i⋅t, onde D é o desconto, N é o valor nominal do título, i é a taxa e t é o tempo. Com os dados do enunciado teremos:

D = 20.000⋅0,05⋅4 ⇒ D = 4.000. O valor atual (A) será o valor nominal (N) menos o desconto (D). Logo: A = 20.000 – 4.000 ⇒ A = 16.000.

Para calcular a taxa efetiva, vamos pensar do seguinte modo: se eu pagar hoje, a dívida é de R$16.000,00. Se eu pagar daqui a 4 meses a dívida aumentará para R$20.000,00. Que taxa de juros está sendo cobrada?

Usaremos a fórmula para o Montante a Juros Simples, M = C⋅(1+i⋅t), para descobrir, considerando M = 20.000, C = 16.000 e t = 4. Logo:

20.000 = 16.000⋅(1+4i) ⇒ (1+4i) = 000.16000.20 ⇒ (1+4i) = 1,25 ⇒ 4i = 0,25 ⇒ i = 0,0625 = 6,25%.

Gabarito: Letra E.

64. Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o número de pedreiros necessários para construir 210 m2 desse mesmo muro em 3 dias é igual a

a) 2. b) 4. c) 3. d) 5. e) 7. RESOLUÇÃO: Trata-se de uma Regra de Três Composta (mais de duas grandezas) e para resolvê-la de forma rápida e segura, usaremos o Processo da Cruz, descrito no capítulo 3 do meu livro “Matemática Básica para Concursos”, com o seguinte roteiro:

1º Passo Relacionar as grandezas; 2º Passo Comparar as grandezas, uma de cada vez, com a grandeza da incógnita (X) colocando (d) para as diretamente proporcionais e (i) para as inversamente proporcionais; 3º Passo Reescrever, se for o caso, invertendo a posição das grandezas que contiverem (i) e mantendo a posição das grandezas que contiverem (d). Se todas forem (d) não há necessidade de reescrever; 4º Passo Traçar a cruz: um risco horizontal na linha em que estiver a incógnita (X) e um risco vertical na coluna da incógnita (X);

5º Passo Resolver, fazendo: X = riscados números dos odutoPr

riscados números dos odutoPrnão

.

Aplicando o roteiro à presente questão, temos as grandezas: metragem (do muro), dias (de trabalho) e pedreiros (número de).


Relacionando os dados dessas grandezas (1º passo) e já fazendo as comparações (2º passo):

Metragem Dias Pedreiros 120 2 6 210 3 X (d) (i)

A grandeza metragem é diretamente proporcional, pois se o trabalho tem uma metragem maior, serão necessários mais pedreiros. A grandeza dias é inversamente proporcional, pois se o prazo para execução é maior, o trabalho pode ser feito com um menor número de pedreiros. Reescrevendo (3º passo) com inversão da grandeza inversamente proporcional e traçando a cruz (4º passo):

Resolvendo (5º passo): X = 3120

62210⋅

⋅⋅ ⇒ X = 7.

Gabarito: Letra E. 65. Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque ficará cheio?

a) 10 horas e 40 minutos b) 13 horas e 20 minutos c) 14 horas e 30 minutos d) 11 horas e 50 minutos e) 12 horas e 10 minutos RESOLUÇÃO: A questão é fácil e no capítulo 1 do meu livro “Matemática Básica para Concursos” há várias questões deste tipo, algumas resolvidas e comentadas. Mas vejo no enunciado da questão uma impropriedade que pode dar margem a recursos para sua anulação, pois as questões devem ser redigidas de forma a não gerar nenhuma dúvida para os candidatos. O enunciado cita a existência de 3 torneiras, das quais duas enchem o tanque (ok) enquanto a terceira o esvazia (?). Eu não me lembro, até hoje, de ter visto uma torneira esvaziadora, existe? Claro que é possível facilmente chegar à solução considerando a 3ª torneira como esvaziadora, mas o enunciado estaria indubitável se citasse 2 torneiras que enchem e 1 ralo que o esvazia. Partindo para a solução, temos as seguintes vazões: 1) Para a 1ª torneira, que enche o tanque em 5 horas, uma vazão de ENTRADA de 1/5 de tanque por hora; 2) Para a 2ª torneira, que enche o tanque em 8 horas, uma vazão de ENTRADA de 1/8 de tanque por hora; 3) Para a 3ª torneira (ralo), que esvazia o tanque em 4 horas, uma vazão de SAÍDA de 1/4 de tanque por hora; Agora basta somar as 3 vazões (considerando negativa a de saída), multiplicar por um tempo t e igualar a 1 (tanque cheio), pois queremos encontrar qual o tempo em que o tanque estará cheio com a atividade daquelas torneiras (e ralo). Assim:

1t41

81

51 =⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ ⇒ 1t40

1058 =⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ ⇒ 1t403 =⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⇒ 3t = 40 ⇒ t = 340 =

3113 = 13 horas

+ 1/3 de hora, ou seja, 13 horas e 20 minutos. Gabarito: Letra B.

Disponibilizo o meu e-mail ([email protected]) para: Dúvidas, críticas, sugestões, indicação de livros, aulas em cursos ou particulares.

Metragem Dias Pedreiros 120 3 6 210 2 X

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