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raciocínio lógico

REVISÃO - AULA 01

Prof. Dudan

POLÍCIA FEDERAL

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Raciocínio Lógico

AULA 01

CONJUNTOS NUMÉRICOS

DIAGRAMA DOS CONJUNTOS

Transformação de dizima periódica em fração geratriz

1 – Escrever tudo na ordem, sem virgula e sem repetir;

2 – Subtrair o que não se repete, na ordem e sem virgula;

3 – No denominador: para cada item “periódico” colocar um algarismo 9; para cada “intruso” colocar um algarismo 0.

Exemplo:

a) 0,333... Seguindo os passos descritos: 03−09

= 39= 13

b) 1,444... Seguindo os passos descritos: - 14 19

= 139

www.acasadoconcurseiro.com.br4

c) 2,343434...

d) 5,1232323...

e) 3,16222...

COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

1. Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitalizadas, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.

Considere que, com a aquisição de novos equipamentos, o tempo para se digitalizar uma página, que era de 22 segundos, passou a ser de [22 – 22 × P] segundos, em que P correspondente à dízima periódica 0,27272727.... Nessa situação, com os novos equipamentos, a digitalização de uma página passou a ser feita em 16 segundos

( ) Certo ( ) Errado

TEORIA DOS CONJUNTOS

União,IntersecçãoeDiferençaentreConjuntos

Polícia Federal – Raciocínio Lógico – Prof. Dudan


Conjunto Complementar

Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A.

Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por AC

Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto AC o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar.

Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,…}

Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais).

AC = N − A = {1, 3, 5, 7, 9…}


B) Conjunto universo U = Z

Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros):

AC = Z − A = {…,−3, −2, −1, 1, 3, 5, 7, 9 …}

Complemento Relativo

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido como diferença de B e A (B – A) é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B – A.

Assim: B \ A = { x ∈ B/ x ∉ A}

Exemplos:

{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1} {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} = {4}


2. Em uma consulta a 600 estudantes de uma escola acerca da preferência deles entre teatro ou cinema, apenas 50 deles não gostam de cinema nem de teatro. Entre os demais, 370 gostam de teatro e 420 gostam de cinema. Nesse caso, a quantidade desses estudantes que gostam de teatro e cinema é igual a

a) 50.b) 130.c) 180.d) 240.e) 370.



3. Para um conjunto qualquer X, n(X) representa a quantidade de elementos de X. Nesse sentido, considere que os conjuntos A, B e C tenham as seguintes propriedades:

• n(A) = n(B) = n(C) = 50; • n(A∩B) = n(A∩C) = n(B∩C) = 10; • n(A∩B∩C) = 0.

Nessa situação, n(A∪ B∪ C) é igual a

a) 100.b) 110.c) 120.d) 130.e) 140.

4. Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta apenas por casais e seus filhos. Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪ B∪ C, em que

A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade};B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; C = {casais com pelo menos 4 filhos}.

Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha que n(A) = 18; n(B) = 20; n(C) = 25; n(A∩B) = 13; n(A∩C) = 11; n(B∩C) = 12 e n(A∩B∩C) = 8.

O diagrama a seguir mostra essas quantidades de elementos.

Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir.

Pelo menos 30 casais dessa comunidade têm 2 ou mais filhos.







Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir.

A referida comunidade é formada por menos de 180 pessoas.


6. Determinado porto recebeu um grande carregamento de frango congelado, carne suína congelada e carne bovina congelada, para exportação. Esses produtos foram distribuídos em 800 contêineres, da seguinte forma: nenhum contêiner foi carregado com os três produtos; 300 contêineres foram carregados com carne bovina; 450, com carne suína; 100, com frango e carne bovina; 150, com carne suína e carne bovina; 100, com frango e carne suína.

Nessa situação hipotética,

250 contêineres foram carregados somente com carne suína.



Nessa situação hipotética, 50 contêineres foram carregados somente com carne bovina.





Nessa situação hipotética, a carga de 400 contêineres continha frango congelado.


ANÁLISE COMBINATÓRIA

Identificação

Permutação Simples

É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras.

FÓRMULA: Pn = n!

Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!


Exemplo Resolvido

Quantos anagramas possui a palavra AMOR.

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras.

Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.

Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.

Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?

Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e nessa ordem?

→ E se houver elementos repetidos?

Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar“ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

Exemplo

Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.



Arranjo

É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ diferença.

Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia.

FÓRMULA:

Dica: O ARRANJO ordena!

è Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem

Exemplo

9. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda).

Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69b) 2024c) 9562d) 12144e) 13824

Combinação

É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença.

Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos.

FÓRMULA:

Dica: A COMBINAÇÃO agrupa!

Exemplo Resolvido

Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões?


Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação.

Aplicando a fórmula chegaremos a:

C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10

E não tem um atalho?

Método Prático

Esse método agilizará a resolução das questões.

Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo “p” fatorial.

Exemplos: C5,2 =

C10,4 =

C8,1 =

C7,5 =

Exemplo

10. Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de:

a) 720b) 70c) 150d) 300e) 35


11. Na secretaria de um órgão público, as páginas dos processos, para serem digitalizadas, são separadas e distribuídas entre 7 servidores — 4 servidores recém-contratados e 3 servidores antigos. Julgue o item a seguir, a respeito dessa situação.

A quantidade de maneiras distintas de se escolher 2 entre os 7 servidores, para digitalizar um processo de 2 páginas, é superior a 20.




12. Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue o item a seguir.

O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.


13. Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue o item a seguir.

O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.


14. Com relação a contagem e combinatória, julgue o item seguinte.

Considere que as senhas dos correntistas de um banco sejam formadas por 7 caracteres em que os 3 primeiros são letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, e os 4 últimos, algarismos, escolhidos entre 0 e 9. Nesse caso, a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de modo que todas elas tenham a letra A na primeira posição das letras e o algarismo 9 na primeira posição dos algarismos é superior a 600.000.


15. Considerando que, em um planejamento de ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um relator e um técnico, julgue o próximo item.

A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000.


16. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue o item seguinte.

Com Bruna, Leila e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação.


17. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue o item seguinte.

Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação.



18. Considere a situação hipotética em que a corporação policial de uma pequena cidade seja formada por um efetivo de 12 soldados. Nesse caso, a quantidade de grupos distintos constituídos por apenas dois desses soldados que o comandante poderá formar para o cumprimento de determinada missão é igual a:

a) 24.b) 36.c) 48.d) 66.e) 132.

19. Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou as atividades extra-curriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue o item que se segue.

O número de modos diferentes que se pode dispor 3 livros de teatro, 3 livros de música e 2 livros de xadrez, em uma estante, de modo que livros do mesmo assunto permaneçam sempre juntos, é superior a 400.


20. Considere a seguinte situação hipotética.

Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus para ir de sua casa até o terminal de ônibus no centro da cidade e, a partir daí, ele dispõe de 5 linhas de ônibus para chegar ao seu local de trabalho.

Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volta ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus — de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa —, então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distintas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.


21. Considere a seguinte situação hipotética.

Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis.

Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.


22. Considere as proposições P e Q a seguir.

P: Todo processo que tramita no tribunal A ou é enviado para tramitar no tribunal B ou no tribunal C.



Q: Todo processo que tramita no tribunal C é enviado para tramitar no tribunal B.

A partir dessas proposições, julgue o item seguinte.

Se 10 processos que chegarem ao tribunal A em determinado dia forem separados de forma aleatória em dois grupos de 5 processos cada, um para ser encaminhado ao tribunal B, e outro, para o tribunal C, então essa separação poderá ser feita de, no máximo, 240 formas diferentes.


23. Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada.”

Considerando a situação apresentada e a proposição correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item.

A quantidade de maneiras distintas de se formar o placar de 6 votos a favor e 5 contra, na decisão do assunto polêmico pelos presentes no referido colegiado, é inferior a 500.


24. Julgue o seguinte item, relativos a raciocínio lógico, a princípios de contagem e probabilidade e a operações com conjuntos.

Situação hipotética: A ANVISA, com objetivo de realizar a regulação de um

novo medicamento, efetua as análises laboratoriais necessárias. Essas análises são assistidas por um grupo de 4 dos seus 8 técnicos farmacêuticos. Desses técnicos, 3 possuem cargo de chefia de equipe e por isso não trabalham juntos. Assertiva: Nessa situação, considerando que em cada uma das equipes participa sempre apenas um dos três técnicos farmacêuticos chefes, então a quantidade de equipes distintas com 4 técnicos farmacêuticos que poderão ser formadas é inferior a 25.



PROBABILIDADE

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1.

Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

QUERO: é o evento favorável, ou seja, qualquer subconjunto de um espaço amostral.

Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral.

TENHO : é o espaço amostral , ou seja, o conjunto formado por todos os resultados possíveis .

Há várias situações envolvendo Probabilidade, e consequentemente muitas maneiras diferentes de interpretar e resolver as questões.

Alguns detalhes são muito importantes como por exemplo:

• Definir o número de eventos; • Impor ordem se for mais de um evento; • Agir com otimismo; • Lembrar que : e = x / ou = +

Veremos a seguir alguns tipos mais comuns.


25. Em uma cidade onde circulam os jornais Correio da Manhã e Jornal da Tarde, foi feita uma pesquisa com 1.000 moradores. A pesquisa constatou que 450 dos entrevistados assinam apenas o Correio da Manhã, 400 assinam o Jornal da Tarde, 100 assinam os dois jornais e o restante não assina nenhum dos 2 jornais. Nessa situação, escolhendo-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de ele assinar apenas o Jornal da Tarde é igual a 0,3.




26. Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três disciplinas optativas para alunos do quinto semestre: Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado Empresarial (EME). Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades:

70 em INT; 45 em MAP; 60 em EME; 25 em INT e MAP; 35 em INT e EME; 30 em MAP e EME; 15 nas três disciplinas.

Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

Ao se escolher um aluno ao acaso, a probabilidade de ele estar matriculado em apenas duas das três disciplinas será maior que a probabilidade de ele estar matriculado apenas em INT.






Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir. Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos de 4 filhos será superior a 0,3.


28. Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos:

A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas).


Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e fumante).

A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes).

Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo.

Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%.


29. Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90.

Acerca dessa situação, julgue o item seguinte.

Selecionando-se aleatoriamente um dos veículos parados na blitz,a probabilidade de ser escolhido um em que o motorista estivesse sem documento de habilitação para dirigir seria inferior a 25%.


30. Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras.

Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.

Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5.


31. Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras.

Com referência a essa situação, julgue o item subsequente.

Considerando que, após concurso público, sejam admitidos novos policiais no batalhão, de modo que a quantidade dos novos policiais do sexo masculino admitidos seja igual ao triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, e que, devido a essas admissões, 0,7 passe a ser a probabilidade de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse batalhão, então, no batalhão haverá mais de 15 policiais do sexo feminino.




32. Se, na presente prova, em que cada questão tem quatro opções de resposta, um candidato escolher ao acaso uma única resposta para cada uma das quatro primeiras questões, então a probabilidade de ele acertar exatamente duas questões será igual a

a) 1/2 . b) 9/16 .c) 27/128 . d) 9/256 .

33. Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada equipe será composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a equipe B e, por último, a C.

A respeito dessa situação, julgue o item subsequente.

A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser sorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5.




A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de controle interno é inferior a 0,01.




Se, após a formação das 3 equipes, as quantidades de servidores das unidades mencionadas forem iguais nas equipes A e B, então a equipe C será formada por 1 servidor de cada unidade.





A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é superior a 10%.


Gabarito: 1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. E 7. C 8. C 9. D 10. E 11. C 12. E 13. E 14. C 15. E 16. C 17. C 18. D 19. C 20. E 21. E 22. E 23. C 24. E 25. C 26. C 27. E 28. C 29. E 30. E 31. C 32. C 33. E 34. E 35. C 36. E

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