ResolucaoHI Cap4 VersaoNova Correcta RF - Autenticação · Resolução 1) Admitindo que o...

HIDRÁULICA I – 1

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA

SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS

HIDRÁULICA I

Enunciados dos problemas

HIDRÁULICA I – 2

4 – HIDRODINÂMICA. PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO. FORMA INTEGRAL

PROBLEMA 4.1

Um motor a jacto que se desloca com velocidade uniforme queima ,2 3 kg de combustível por

segundo. O combustível entra no motor verticalmente, conforme se indica na figura. Na secção

de admissão ou de entrada de ar, a velocidade relativa do ar (em relação ao motor) é de 190 ms− . Nesta secção, a área de entrada é de , 20 4 m e a massa volúmica do ar é de 31kg m− .

Na secção de saída, a área é de , 20 2 m e a velocidade relativa do gás é de 1550 m s− .

Determinar:

a) A massa volúmica do gás à saída do motor.

b) A força motriz desenvolvida pelo motor e que actua na asa do avião.

Resolução

a) Determinação da massa volúmica do gás à saída

Aplica-se a equação da conservação da massa escrita na forma (volume de controle

fixo):

PASSA A: d d∀

∂ρ∀+ ρ =

∂∫ ∫ i 0c cS

v n St

Admitindo que o escoamento é permanente

d d0 0c cS

v n St∀

∂ρ∀ = ⇒ ρ =

∂∫ ∫ i

⇓

1 1 1 2 2 2 3 3 3 0u S u S u S−ρ −ρ +ρ =

↓

entrada de combustível por unidade de tempo

, /ρ2 2 2 2 3u S kg s

HIDRÁULICA I – 3

,ρ + = ρ1 1 1 3 3 32 3u S u S

, , , ,,

−ρ + × × +ρ = ∴ ρ = =

×31 1 1

3 33 3

2 3 1 90 0 4 2 3 0 348550 0 2

u SKg m

u S

b) determinação da força desenvolvida pelo motor

Hipóteses:

1. o movimento é permanente (do ar no banco de ensaio);

2. despreza-se o peso do sistema contido no volume de controle;

3. consideram-se as pressões em termos de pressões relativas.

Aplica-se a equação da conservação da quantidade de movimento escrita na forma

( ) ( )d d d d∀ ∀

∂ ρ∀+ = ρ ∀+

∂∫ ∫ ∫ ∫ic c c cS S

vv v n S f P S

t

escoamento permanente:

( )∀

∂ ρ=

∂∫ 0c

vt

⇒

( )d d d∀

ρ = ρ ∀+ σ∫ ∫ ∫ic c cS S

v v n S f S

( )d d d∀

ρ = ρ ∀+ +∫ ∫ ∫ic c abertasS S

v v n S f P S R

aplicando a equação segundo x

d 0c

f∀ρ ∀ =∫ e d

2

22 0

Su S =∫

−ρ +ρ = − +2 21 1 1 3 3 3 1 1 3 3u S u S p S p S R

com pressões relativas, = =1 3 0p p . Então

, , ,2 21 90 0 4 0 348 550 0 2 1 814R N= − × × + × × = +

17814R N=

HIDRÁULICA I – 4

PROBLEMA 4.2

Uma tubagem horizontal com 30cm de diâmetro conduz água. A velocidade média do

escoamento na secção 1 é de , 10 5ms− . Dois pequenos tubos verticais introduzem, na tubagem

principal, um caudal de 110 ls− cada, conforme figura.

Ache a diferença de pressões 1 2p p− desprezando o efeito das tensões tangenciais nas

paredes da tubagem e tendo em conta que a secção 2 está suficientemente afastada dos tubos

verticais.

Resolução

1) Admitindo que o escoamento é permanente e que a água é incompressível, a equação

da continuidade vem

d 0cSv n S =∫ i

• Aplicando ao caso em estudo

− − − + =1 1 2 2 0u A q q u A ,π= = =

2

1 20 34

A A A

, ,− − + =1 2 20 5 0 020 0A u A

,, , , ,,

−= + ⇒ = + =π×

12 2 1 2 2

0 0200 5 0 020 0 5 0 7830 34

u A A u m s

2) • A diferença de pressões pode ser determinada com base no princípio da conservação

da quantidade de movimento. Para regime permanente

( )dc

extS

v v n S Fρ = Σ∫ i (segundo x )

• Aplicando ao caso em estudo (desprezando tensões tangenciais)

( )d dρ =∫ ∫iabertas abertasS S

v v n S P S

HIDRÁULICA I – 5

( )ρ − + ρ = −1 1 1 2 2 2 1 1 2 2u u A u u A p A p A

= = ⇒ −ρ +ρ = −2 21 2 1 2 1 2A A A u u p p

( ) ( ) ( ), ,2 22 21 2 2 11000 1000 0 793 0 5p p U U ⎡ ⎤− = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 363 ap p p PΔ = − = 363 ap PΔ ≅

PROBLEMA 4.3

Um caudal Q entra verticalmente num pequeno canal de secção rectangular com fundo

horizontal e largura B , conforme se mostra na figura. A altura da água à saída é 2h .

Determinar a altura a montante, 1h , admitindo que a distribuição de pressões é hidrostática em

todas as secções transversais.

Resolução

Admitindo que o escoamento é permanente e que a água é incompressível, a equação da

continuidade vem

d 0cSv n S =∫ i

d d d+ + =∫ ∫ ∫i i i1 0 2

1 1 0 0 2 2 0S S S

v n S v n S v n S

d ( )= =∫ i i0

1 1 1 10 0S

v n S v n

d ( cos ) coscos

= − δ = − δ = − = −δ∫ i

0

120 0 0 0 0 0 12

S

L Bv n S u S u u L B Q

HIDRÁULICA I – 6

d =∫ i2

2 2 2 2S

v n S u Bh

= ⇒ =2 2 22

Qu B h Q uB h

Aplicando a equação da conservação da quantidade de movimento segundo x e desprezando

tensões tangenciais

( ) ( )d dρ = Σ = Σ =∫ ∫ic c

x pressão xS Sv v n S F F P S

ou seja,

( ) d ( ) d d dρ − + ρ + = γ − γ∫ ∫ ∫ ∫1 2

1 21 1 2 2 0

h h

S S ou u S u u S B z z B z z

⎛ ⎞ρ = γ − = γ − γ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 22 1 2 1 22 2 2 2 2 2

h h h hu B h B

ρ= + = +

γ

22 2 2 22 21 2 2 2 22 2

U hh u h h h

g

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 2 21 2

2

21

uh h

g h

= + = +2 22

1 2 2 3 22 2

2 21 1

u Qh h h

g h g h B

nota: ( )= ⇒ = + ⇒2 2

22 2 2 22

1 22

1 2r ru

F h h Fg h

⇒ = +2

21 2 1 2 rh h F

HIDRÁULICA I – 7

PROBLEMA 4.4

Um jacto horizontal de água, na atmosfera, incide num deflector fixado num corpo sólido com

peso P (Figura) assente num plano horizontal.

Por acção do jacto, o corpo desloca-se na direcção do jacto incidente estando sujeito a uma

força de atrito resultante da força vertical total que actua na respectiva base.

Conhecida a velocidade do jacto, jV , num referencial em repouso e a respectiva área

transversal, jA , pretende-se determinar a velocidade final (constante) do corpo sólido.

Nota: o deflector provoca o desvio do jacto em ângulo recto, sendo desprezáveis as tensões

tangenciais actuantes no jacto e a resistência do ar. Considere constante o coeficiente de atrito

na base do corpo ( aC ).

Resolução

Hipóteses:

− a velocidade do jacto, jV , é constante

− a secção de jacto, jA , é constante antes e depois da deflecção

− a água é considerada incompressível.

− a resistência do ar é nula

− o corpo sólido desloca-se com uma velocidade constante

− adopta-se um referencial variável que se desloca com o corpo sólido

a) Aplicação do princípio da conservação da massa

Jacto de água

Aj, Vj

P

atmosfera

HIDRÁULICA I – 8

O volume de controlo é móvel com velocidade Vs

1jA A=

d d 0c c

s rS S

V n S V n S+ =∫ ∫i i

0SV =

2 11 2 r rA A V V= → =

b) Aplicação do princípio de quantidade de movimento (linear)

b1) Segundo x x−

( ) ( )d d dc c c

xx x s x r

S S

vF v v n S v v n S

t∀

∂ρ= ∀+ ρ + ρ

∂∑ ∫ ∫ ∫i i

− = −ρ1

21a rF V A sendo ( )= +

F.normalresultantenabase docorpo

a aF P R C = (peso + reacção do impulso) aC

=aC coeficiente de atrito

b2) Segundo y y− para cálculo de P R+

( )dc

y y rS

F v v n S= ρ∑ ∫ i

2

22rP R V A− + = ρ

HIDRÁULICA I – 9

2

2rR P V A= +ρ

( )= + ρ2

2a r aF P V A C

donde

( )+ ρ + = +ρ2 1

2 2r a rV A P C V A

+ρ = ρ2 1

2 2a r a rP C V AC V A

( )= ρ −1

2 1a r aP C V A C

( )=

ρ −1 1a

ra

P CV

A C

Num referencial fixo: 1r j SV V V= −

( )= −

ρ −1a

S ja

P CV V

A C

Se = → =0a S jC V V

PROBLEMA 4.5

Considere o depósito munido de rodas representado na Figura o qual se desloca com a

velocidade ( )W t relativamente a um referencial em repouso (inercial). O reservatório contém um

líquido com massa volúmica ρ (constante). Do orifício existente na parede do reservatório sai

um jacto com caudal Q.

Desprezando todas as forças de resistência e atrito deduza a equação do movimento do

depósito segundo a direcção horizontal e a expressão do valor da velocidade W .

A aplicação da equação da conservação da massa conduz a

W (t)

Q

z

x

HIDRÁULICA I – 10

d d dd ∀

ρ ∀+ ρ =∫ ∫ i 0c c

rS

v n St

dd

+ρ = 0M Qt

⇔ ( ) = −ρ0M t M Qt

A equação de conservação da quantidade de movimento escreve-se, num referencial inercial,

( ) ( ) ( )d d d d d∀ ∀

∂ρ ∀+ ρ + ρ = ρ ∀+

∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫i ic c c c c

s rS S S

v v v n S v v n S f P St

⇔

⇔ ( )d d d d dd ∀ ∀

ρ ∀+ ρ = ρ ∀+∫ ∫ ∫ ∫ic c c c

rS S

v v v n S f P St

Segundo o eixo dos xx:

( )d d dd ∀

ρ ∀+ ρ =∫ ∫ i 0c c

x x rS

v v v n St

d d dd ∀

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ ∀+ ρ − − + =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∫ ∫

i

0c c

rx

S

v nv

Q QW W St S S

⇔ d d dd ∀

⎛ ⎞ρ ∀− ρ − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 0

c cS

Q QW W S

t S S

Sendo S a secção do orifício de saída, a resolução dos integrais conduz a

dd

+ρ −ρ =2

0QMW WQt S

d dd d

+ +ρ −ρ =2

0QM WW M WQt t S

.

Introduzindo a equação de conservação da massa:

( )dd

−ρ + −ρ +ρ −ρ =2

0 0QWQW M Qt WQt S

( )dd

ρ=

−ρ

2

0

QWt S M Qt

Considerando que a velocidade inicial do reservatório é nula

( )d d= ρ

−ρ∫ ∫2

0 0 0

1W tQW tS M Qt

ln−ρ⎛ ⎞

= ρ ⎜ ⎟−ρ ⎝ ⎠

20

0

1 M QtQWS Q M

ln ρ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠01Q QtW

S M


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 10 20 30 40 50Tempo (s)

Vel

ocid

ade

(m/s

)

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150

Distância percorrida (m)

Tem

po (m

)

PROBLEMA 4.6

Numa tubagem convergente de eixo horizontal existem duas secções, com áreas de , 21 0 m e

, 20 5 m onde, para o escoamento de um dado líquido incompressível, se têm alturas

piezométricas no eixo de ,15 0 m e ,5 0 m , respectivamente. Calcular:

a) O caudal escoado, supondo nula a perda de carga ente as secções e admitindo que o

coeficiente de Coriolis, α , tem o valor de 1,1.

b) O coeficiente de quantidade de movimento se o valor da componente segundo x da força

resistente for 4 kN.

Resolução

a)

,

,

21

22

1 0

0 5

A m

A m

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

,1 15 0p

m=γ

,2 5 0p

m=γ

O princípio da conservação da energia pode ser traduzido pela equação:

d dd dd d∀

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ + + ∀+ ρ + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ i2 2

2 2c c

C

S

Qu u We g z e g z v n St t t

em que


e – energia interna por unidade de massa

2

2u – energia (mecânica) cinética por unidade de massa

g z – energia (mecânica) potencial por unidade de massa

= + +p t vW W W W - trabalhos exercidos sobre o sistema

pW – trabalho das forças normais actuando na superfície de controle

Se as forças normais forem essencialmente de pressão o fluido pouco compressível

dd d

d= − = −∫ ∫i i

c

p

S S

Wp v S p v n S

t

tW – trabalho das forças tangenciais actuando na superfície de controle

vW – trabalho fornecido ao sistema (e.g. por um veio)

CQ – calor fornecido ou perdido pelo sistema.

O princípio da conservação da energia pode ser escrito

d dd dd d

2 2

2 2c c

C

S

Qpu u We g z e g z v n St t t∀

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ + + ∀+ ρ + + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ i

No caso presente 0CdQdt

= (conduta termicamente estanque)

0tdWdt

= (despreza-se a variação de energia devido às forças

tangenciais)

= 0vdWdt

(não há veios introduzidos no sistema)

Como o fluido é incompressível, os três termos acima seriam os únicos responsáveis pela

alteração da energia interna do fluido. Sendo nulos, tem-se =e cte .

Sendo o fluido é incompressível e o escoamento permanente .

Sabendo que o escoamento é permanente 0ut

∂⎛ ⎞=⎜ ⎟∂⎝ ⎠ e que o volume de controle é fixo vem


d⎛ ⎞

ρ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ρ⎝ ⎠∫ i

20

2abertasS

p ue g z v n S

( ) ( )d d⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ + +ρ +ρ − + ρ + +ρ +ρ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫1 2

2 2

1 21 2

02 2S S

u ue p g z u S e p g z u S

d d d d

d d d d

− ρ − − ρ − ρ

+ ρ − − ρ − ρ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1

1 1 1 1

21

1 1 1 1 1

22

2 2 2 2 2

2

02

S S S S

S S S S

ueu S p u S g zu S u S

ueu S p u S g zu S u S

d d

d d

−ρ − −ρ −ρ

+ρ + +ρ +ρ =

∫ ∫

∫ ∫1 1

2 2

31 1 1 1 1 1

32 2 2 2 2 2

12

1 02

S S

S S

eU S p U g zu S u S

eU S p U g zu S u S

Introduzindo a definição do coeficiente de Coriolis, d

α =∫ 3

3S

u S

U S, o fluxo de energia cinética é

d d−ρ = −αρ ρ = αρ∫ ∫1 2

3 33 31 21 1 2 2

1 1e2 2 2 2S S

U Uu S S u S S

Quanto aos termos relativos à energia potencial, note-se que

d dρ ≈ ρ = ρ∫ ∫ GS S

g zu S gU z S gU S z

em que Gz é a cota do centro de gravidade da Secção S. Assim, a equação da energia

escreve-se

−ρ − −ρ −αρ

+ρ + +ρ +αρ =

1

2

31

1 1 1 1 1 1 1 1

32

2 2 2 2 2 2 2 2

2

02

G

G

UeU S p U S gU S z S

UeU S p U S gU S z S

Neste problema, em que há uma secção de entrada (secção 1) e uma secção de saída

(secção 2) e em que o escoamento é permanente e o fluido é incompressível, a equação de

conservação da massa é

− + =1 1 2 2 0U S U S

= =1 1 2 2U S U S Q

Introduzindo na equação de conservação da energia:

−ρ +ρ − + −ρ +ρ −αρ + αρ =1 2

3 3

1 2 2 21 2

02 2

G GQ Q

eQ eQ p Q p Q gQz gQzS S

Simplificando a equação, obtém-se


− + −ρ +ρ −αρ + αρ =1 2

2 2

1 2 2 21 2

02 2

G GQ Q

p p gz gzS S

Dividindo pelo peso volúmico do fluido

+ +α = + + αγ γ1 2

2 21 2

2 21 22 2

G Gp Q p Q

z zgS gS

A equação anterior expressa a condição de que a carga (energia mecânica por unidade de

peso) se mantém constante entre as secções de entrada e de saída.

Considerando que a conduta é horizontal, =1 2G Gz z . Resolvendo a equação em ordem ao

caudal

+ α = +αγ γ

2 21 2

2 21 22 2

p Q p QgS gS

α ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ γ γ⎝ ⎠

2 1 22 22 1

1 12

p pQ

g S S

−γ γ

=α ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2

2 22 1

1 12

p p

Q

g S S

,, , ,

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟× ⎝ ⎠2 2

15 51 1 1 1

2 9 8 0 5 1 0

Q

, −⇒ = 3 17 7m sQ

b)

O coeficiente da quantidade de movimento pode ser estimado com base na equação de

conservação da quantidade de movimento na forma integral

( )d d d d d∀

ρ = + + τ + ρ ∀∫ ∫ ∫ ∫ ∫iaberta abertas outras outras cS S S S

v v n S P S P S S f

Segundo eixo dos xx:

( ) ( )d d d d d dρ − + ρ + = − + + τ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1

1 1 2 2 1 2outras outras

x xS S S S S S

u u S u u S p S p S P S S

Se se desprezar a força tangencial e também a componente das forças de pressão segundo

x que age nas secções fechadas obtém-se

d d d d−ρ +ρ = −∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1

2 21 2 1 2

S S S Su S u S p S p S


Introduzindo a definição do coeficiente de quantidade de movimento, d

β =∫ 2

2S

u S

U S, obtém-se

−βρ +βρ = −2 21 1 2 2 1 1 2 2U S U S p S p S

−βρ +βρ = −2 2

1 1 2 21 2

Q Qp S p S

S S

−γ γ

β =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 2

2

2 1

1 1

p pS S

Qg S S

, ,,, ,

× − ×β = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

215 1 5 0 5 2 067 7 1 19 8 0 5 1

O valor é obtido é irrazoável.

Considere-se agora a distribuição de pressões nas paredes do convergente e a força

resistente, 4000xT = kN. Pela equação de conservação da energia, obtida na alínea

anterior, tem-se

( )( )

⎛ ⎞= + α −⎜ ⎟γ γ ⎝ ⎠

21

2 21

1 12

p Qp xg S S x

O diâmetro varia linearmente:

1( ) 2 tanD x D x= − δ

Assim, a pressão no interior da conduta ao longo do convergente será

( ) ( )( )

tantan

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + α − = +α −⎜ ⎟ ⎜ ⎟γ γ γ ⎜ ⎟π − δ⎛ ⎞⎜ ⎟− δ ⎝ ⎠⎜ ⎟π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 21 1

2 2 2 4221 1 11

1 1 1 162 2 22

4

p Q p Qp xg gS S D xD x


( )( )

tan⎛ ⎞= + αρ −⎜ ⎟⎜ ⎟π − δ⎝ ⎠

2

1 2 421 1

1 162 2

Qp x p

S D x

A componente da pressão segundo o eixo dos xx é:

( )( ) sen

tan

⎡ ⎤⎛ ⎞= + αρ − δ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥π − δ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

1 2 421 1

1 162 2

Qp x p

S D x

Aplicando este resultado na equação de conservação da quantidade de movimento obtém-

se

( ) ( )d d d d d dρ − + ρ + = − + + τ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1

1 1 2 2 1 2outras outras

x xS S S S S S

u u S u u S p S p S P S S

( ){ }/sen d d

tan∪

−βρ +βρ = −

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪− + αρ − δ − τ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟π − δ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫ ∫

1 2

2 2

1 1 2 21 2

2

1 2 421 1

1 16 2 2c outras

xS S S S

Q Qp S p S

S S

Qp S S

S D x

( ){ }/sen d

tan∪

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪βρ − = − − +αρ − δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟π − δ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫

1 2

22

1 1 2 2 1 2 422 1 1 1

1 1 1 162 2c

xS S S

QQ p S p S p S T

S S S D x

em que os sinais negativos nas parcelas d∫outras

xS

p S e dτ∫outras

xS

S expressam o facto de se

considerar as reacções da conduta sobre o fluido.

A integração de

( ){ }/sen d

tan∪

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪+ αρ − δ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟π − δ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫

1 2

2

1 2 421 1

1 162 2cS S S

Qp S

S D x

é mais simples em coordenadas polares. Para a transformação de coordenadas, note-se que

cos

a x−=

δ, cosx a= − δ

sendo 1

2 tan

Da =

δ.

Assim


1 cos2 tan

Dx = − δ

δ

Note-se ainda que *cos tan cos 2sen

= = =δ δ δ δ

1 1

2D Daa e *

cos sen−

= =δ δ

1 2

2D DLL pelo que os limites

de integração em são * *sen

− =δ

2

2D

a L e *2sen

=δ

1Da .

A integração será feita entre 0θ = e 2 senθ = π δ :

( ){ }/sen d

tan∪

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪+ αρ − δ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟π − δ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫

1 2

2

1 2 421 1

1 162 2cS S S

Qp S

S D x

sen

2sen

2sen

sen d d

tan costan

=θ= π δδ

θ= =δ

⎧ ⎫⎛ ⎞= + αρ − δ θ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎨ ⎬⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟π − δ − δ⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟δ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

∫ ∫1

2

221 2 40 1 2 1

1

1 162

22

D

DQ

pS D

D

Como o integrando não depende de θ

( )2sen

2sen

sen dsen

=δ

=δ

⎡ ⎤⎛ ⎞= π δ + αρ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥π δ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

1

2

22

1 2 421

1 1622 2

D

DQ

pS

2sen

2sen

sen sen d2sen 2sen sen

=δ

=δ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= π δ − + π δαρ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟δ δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

1

2

2 2 22 21 2

1 2 2 4 31

1 12 22 2

D

DD D Q

pS

2sen 2sen

2sen 2sen

sen d dsen

= =δ δ

= =δ δ

⎛ ⎞− ⎜ ⎟= π + π δαρ −⎜ ⎟π δ⎝ ⎠

∫ ∫1 1

2 2

2 22 21 2

1 2 2 4 31

1 1 14

D D

D DD D

p QS

Note-se que −π = π − π = −

2 2 2 21 2 1 2

1 24 4 4D D D D

S S


( ) ( )2sen 2sensen

− −⎛ ⎞αρ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= − + αρ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟δ δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π δ ⎝ ⎠

2 22 21 2

1 1 2 1 22 21

1 12 2

Q Q D Dp S S S S

S

( ) ( ) ⎛ ⎞= − + αρ − +αρ −⎜ ⎟⎝ ⎠

22

1 1 2 1 221 21

1 1 1 12 2

Qp S S S S Q

S SS

( ) ( )⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − + αρ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 221 1 2 2

1 21

1 1 12

S Sp S S Q

S SS

( ) ⎛ ⎞= − + αρ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 1 2 2

1 21

1 2 12

Sp S S Q

S SS

A força ( ) ⎛ ⎞Π = − +αρ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 1 2 2

1 21

1 2 12x

Sp S S Q

S SS representa a força de pressão, segundo x,

que age nas paredes da conduta.

Introduzindo este resultado na equação de conservação da quantidade de movimento

obtém-se:

( )⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ ⎪βρ − = − − − + αρ − − −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

2 1 1 21

1 1 1 2 12 x

SQ p S p S p S S Q T

S S S SS

Note-se que a pressão na secção 2, pela equação de conservação da energia, pode

escrever-se

α ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟γ γ ⎝ ⎠

22 12 22 1

1 12

p pQ

g S S

Introduzindo este resultado na equação de conservação de quantidade de movimento e

simplificando

( )⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪βρ − = − − ρ − − − + αρ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎩ ⎭

2 2 2 21 1 1 2 1 1 22 2 2

2 1 1 22 1 1

1 1 1 1 1 2 12 2 x

SQ p S p Q S p S S Q T

S S S SS S S

( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞α⎛ ⎞βρ − = − + ρ − − − −αρ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 22 21 1 2 1 1 22 2

2 1 1 22 1 1

1 1 1 1 2 12 2 x

S SQ p S S Q p S S Q T

S S S SS S S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞α⎛ ⎞βρ − = ρ − −αρ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 22 22 2

2 1 1 22 1 1

1 1 1 1 2 12 2 x

S SQ Q Q T

S S S SS S S

⎛ ⎞α⎛ ⎞β − = − − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22 2 2

2 1 1 22 1 1

1 1 1 2 12

xTS SS S S SS S S Q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞β − = α − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2

2 1 12

1 1 1 1 xTS S SS Q


( ) ( )β − = α − −ρ1 2

1 2 1 2 2xS S T

S S S SQ

( )β = α −

− ρ1 2

21 2

xS S TS S Q

O resultado acima mostra que o coeficiente da quantidade de movimento depende da

magnitude das forças resistentes e não depende das forças de pressão. As forças de

pressão, cujo trabalho é conservativo, não contribuem para a deformação do perfil de

velocidades. Na ausência de forças resistentes não há dispêndio de energia mecânica do

escoamento e o perfil de velocidades não sofre deformação. Nesses condições, β = α =1.

Quantificando o coeficiente da quantidade de movimento:

( ),, ,

, ,× ×

β = − =− × × 2

1 0 5 40001 1 1 031 0 5 1000 7 7

Note-se que o mesmo valor poderia ter sido obtido por:

Π− − −

γ γ γ γβ =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 2

2

2 1

1 1

x xTp pS S

Qg S S

, , , ,,, ,

× − × − −β = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

215 1 5 0 5 5 83 0 41 1 03

7 7 1 19 8 0 5 1


PROBLEMA 4.7

Num trecho, de comprimento 2L m= de uma conduta cilíndrica de eixo horizontal está inserida uma mudança de direcção de 90 . Na conduta escoa-se um fluido compressível. O diâmetro da conduta é ,0 2D m= . A velocidade média do escoamento em cada secção é , 10 25u ms−= . As pressões nas secções 1 e 2 são, respectivamente, , 51 5 10 Pa× e , 50 9 10 Pa× . As densidades nas secções 1 e 2 são respectivamente, ,1 5 md e ,0 5 md em que md é a densidade média no

trecho de conduta.

Figura 2

No instante inicial ( 0t s= ), a densidade média no trecho de conduta é ,1 0md = . Calcule: a) A lei de variação da massa no trecho em função do tempo e a massa em 3t s= ; b) A força que o escoamento exerce sobre o trecho de conduta quando 3t s= .

RESOLUÇÃO

Equação da continuidade:

d d dd ∀

ρ ∀+ ρ =∫ ∫ i 0c c

rS

v n St

d d d dd ∀

ρ ∀+ ρ + ρ =∫ ∫ ∫i i1 2

1 1 1 2 2 2 0c S S

v n S v n St

dd

−ρ +ρ =1 1 1 2 2 2 0M u S u St

Como ,ρ = ρ1 1 5 m e ,ρ = ρ2 0 5 m

dd

− ρ + ρ =1 1 2 23 1 02 2m m

M u S u St

A velocidade é constante na conduta e no tempo. Sendo d∀ρ ∀ = = ρ∫

cmM LS , obtém-se:

L/2

x

y

1

2

L/2


dd

− + =3 1 02 2

M M Mu ut L L

⇔ dd

=1 M uM t L

A resolução da equação diferencial é

d d=∫ ∫0 0

1M t

M

uM tM L

⇔ ln ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠0

M u tM L

( ) = 0

u tLM t M e

Em 3t s= tem-se

,,( )×⎛ ⎞

= = ×π ×⎜ ⎟⎝ ⎠

0 252 320 23 2 1000

4M t e

( ) ,= =3 5 82M t kg

b)

A equação de conservação da quantidade de movimento escreve-se

( )d d d d dd ∀ ∀

ρ ∀+ ρ = ρ ∀+∫ ∫ ∫ ∫ic c c c

rS S

v v v n S f P St

( )d d d d d d dd ∀ ∀

ρ ∀+ ρ = + + τ + ρ ∀∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ic aberta abertas outras outras cS S S S

R

v v v n S P S P S S ft

em que R é a reacção da conduta sobre o fluido dentro do volume de controlo.

Segundo x:

( )d d d dd ∀

ρ ∀+ ρ = −∫ ∫ ∫i1 1

1 1 1 1 1c

x x x xS S

v v v n S P S Rt

Segundo y:

( )d d d dd ∀

ρ ∀+ ρ = +∫ ∫ ∫i2 2

2 2 2 2 2c

y y y yS S

v v v n S P S Rt

Segundo z:

( )= + −0 zR gM t

Simplificando:

Segundo x:

dd

−ρ = −21 1

12 x

M u u S p S Rt

⇔ − ρ = −2

11 32 2 m x

u uM u SL p S RL L


⇔ ( ) ( )= +2

1xuR t p S M tL

Segundo y:

dd

+ρ = − +22 2

12 y

M u u S p S Rt

⇔ + ρ = − +2

21 12 2 m y

u uM u SL p S RL L

⇔ ( ) ( )= +2

2yuR t p S M tL

Segundo z:

( ) ( )=zR t gM t

Em 3t s= tem-se

, ,( ) , ,= = × ×π + ×2 2

5 0 2 0 253 1 5 10 5 824 2xR t N

, ,( ) , ,= = × ×π + ×2 2

5 0 2 0 253 1 5 10 5 824 2yR t N

( ) , ,= ×9 8 5 82zR t N

e F R= − .


PROBLEMA 4.8

Calcular as forças a que estaria sujeito o maciço de amarração da bifurcação representada em

planta na figura,

, ,1 20 0 50 500A B C D E A B C D ED m D D D D m p p p p p kPa= = = = = = = = = =

nas seguintes condições:

a) Quando as válvulas instaladas em B , C , D e E se encontram fechadas.

b) Quando as válvulas em B e E se encontram fechadas e por cada uma das secções C e

D se escoa um caudal de 3 13 m s− .

c) Quando as válvulas em B e C se encontram fechadas e por cada uma das secções D e

E se escoa um caudal de 3 13 m s− .

d) Quando por cada uma das secções B , C , D e E se escoa um caudal de , 3 11 5 m s− .

Considere o coeficiente de Coriolis 1α = e despreze o peso da água. Os eixos da conduta e da

bifurcação são horizontais.

Resolução

,,

1 200 50

A

B C D E

D mD D D D m

=⎧⎨ = = = =⎩

500A B Ep p p K Pa= = = =…

a) Válvulas B , C , D e E fechadas

A equação de conservação da quantidade de movimento é

ye

xe


( )d d d d d d dd ∀ ∀


R


Estando as válvulas fechadas será:

d

Π

+ =∫ 0abertas

A

SP S R

x AR = −Π xR – efeito do maciço sobre o volume de controle

( ),,

221 2

1 134AA m

Π×= =

, ,11 13 500000 565 5A N e kNΠ = × = , 1565 5xR N e= −

Força sobre o maciço: , 1565 5F N e=

b) Válvulas B e E fechadas; 3 13C DQ Q m s−= =

3 16AQ m s−= ,,

16 5 3051 13AU m s−= =

O escoamento é permanente e o fluido é incompressível. No plano xy:

( )d dρ = +∫ ∫iaberta abertasS S

v v n S P S R

Segundo x:

( ) ( ) ( )d d d

d d d

ρ +ρ +ρ =

− − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

i i i

A C D

A C D

Ax A A Cx C C Dx D DS S S

Ax Cx Dx xS S S

v v n S v v n S v v n S

p S p S p S R

d cos º d cos º d

d cos º d cos º d

Π ΠΠ

−ρ + ρ + ρ =

− − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2 260 60

60 60

A C D

A DC

A C D

A DC

A C DS S S

M MM

A C D xS S S

u S u S u S

p S p S p S R

Segundo y:


sen º d sen º d

sen º d sen º d

ΠΠ

ρ − ρ =

− + +

∫ ∫

∫ ∫

2 260 60

60 60

C D

DC

C D

DC

C DS S

MM

C D yS S

u S u S

p S p S R

, ,= βρ = × × × =1 0 1000 6 5 305 31831A A AM Q U N

( ), 20 5500 000 98175

4C D NΠ×

Π = Π = × =

( ),

×= = × × =

π 23 41000 3 458360 5

C DM M N

• As componentes de CΠ e

DΠ segundo y anulam-se.

• O mesmo acontece com as de

CM e de DM

( ) ( )cos cosΠ Π +Π + − + − =60 60 0o oA C D A C D xM M M R

cos cosΠ − Π + − − =2 60 2 60 0o oA C A C xM M R

cos ,= ⇒ Π −Π + − − =60 0 5 0oA C A C xM M R

, , , ,565 5 98 175 31 831 45 836 xR− + − =

, , ,1 14536 3 453 3 453 3x xR kN R kNe F kNe= = − ⇒ =

c) Válvulas B e C fechadas; 3 13D EQ Q m s−= =

• As componentes de EΠ e

DΠ segundo x anulam-se.

• O mesmo acontece com as de

DM e de EM

Segundo x : ( ), ,Π + − = ⇒ = +0 565 5 31 8A A x xM R R kN

,597 3xR kN=


Segundo y : ( ) ( )cos cosΠ +Π − − − − =30 30 0E D E D yM M R

cos cos , ,2 30 2 30 170 0 79 4E E y yM R RΠ + = ⇒ + =

,249 4yR kN=

, ,1 2597 3 249 4R kN e kN e= − −

, ,1 2597 3 249 4F R kN e kN e= − = +

,arc , ,,

249 4 22 66 22 66797 3

tgθ = = ⇒ θ =

d)

Em face das simetrias verificadas tem-se

( ), , ,Π + − = ⇒ = + =0 565 5 31 8 597 3A A x xM R R kN kN

, ,1 1597 3 597 3xR kN e F kN e= − ∴ =


PROBLEMA 4.9

Numa galeria circular em pressão, com ,3 0m de diâmetro, escoa-se um caudal de 3 125m s− .

Aquela galeria tem inserida uma curva com eixo horizontal, de raio igual a 10m e ângulo ao

centro de 60 , em que a altura piezométrica se pode considerar constantemente igual a 100m .

Determinar a força sobre o troço curvo da galeria nos seguintes casos:

a) Quando se dá o escoamento atrás referido.

b) Quando não há escoamento em virtude de a galeria ter sido obturada por uma comporta

muito afastada da curva.

c) Quando a obturação se faz imediatamente a jusante da curva por uma comporta.

Resolução

A equação de conservação da quantidade de movimento é

( )d d d d d d dd ∀ ∀


R


O escoamento é permanente e o fluido é incompressível. A equação de conservação da

quantidade de movimento fica

( )d d d∀

ρ = + + ρ ∀∫ ∫ ∫iaberta abertas cS S

v v n S P S R f

Segundo x:

( ) ( )d cos º d d cos º dρ − +ρ + = − −∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 2

60 60 xS S S S

u u S u u S p S p S R

Segundo y:

( ) ( )sen º d sen º dρ − + = −∫ ∫2 2

60 60 yS S

u u S p S R


Segundo z:

= θ ρzR R Sg

( )d , ,×

= ρ = βρ = × × × =π∫ 2

225 41 0 1000 25 88 42

3SM u S QU kN

,π Π×

Π = = γ× × = × × =γ

2 99800 100 6927 24 4DppS kN

a) Quando se dá o escoamento

Segundo x :

cos cosΠ + −Π − − =60 60 0xM M R

( ), , , , ,6927 2 88 4 0 5 6927 2 88 4xR = + − +

( ), , , ,0 5 6927 2 88 4 3507 8 kN= + =

Segundo y :

( )cos cosΠ − − − =30 30 0yM R

( ) cos ,30 6075 7y yM R R kNΠ + = ⇒ =

Segundo z :

Comprimento ,= ×π× = ×π× =1 12 20 10 4726 6

R m

Volume: ( )

, ,π×

∀ = × =2

3310 472 74 02

4m

( ), ,3 374 02 9800 725 4G N e kN e= − × = −

Força F : , , ,1 2 335074 8 6075 7 725 4F kN e kN e kN e= + + −


Em planta: ,arctan,

θ = =6075 7 603507 8

,2 2 7015 6p x yF R R kN= + =

Na vertical: ,arctan ,,

δ = =725 4 5 90

7015 6

2 2 7053pF F G kN= + =

b)

( )cos ,60 0 1 0 5x xR RΠ −Π − = ⇒ Π − =

, , ,0 5 6927 2 3463 6xR kN= × =

cos , cos ,30 0 6927 2 30 5999 1y yR R kNΠ − = ⇒ = =

, ,1 23463 6 5999 1R kN e kN e= − −

, ,1 23463 6 5999 1pF kN e kN e= +

,arctan,

θ = =5999 1 603463 6


60θ =

,6927 2pF kN=

,arctan ,,

δ = ≈725 4 5 986927 2

c) Quando a obturação se faz à saída da curva, todo o impulso de montante descarrega no

maciço.

,6927 2xR kN= Π =

, 16927 2p xF R kN e= − = +

( ) ( ); , , ,2 20 6927 2 726 4 6965 1F kNθ = = + =

,arctan ,,

δ = =725 4 5 986927 2

PROBLEMA 4.10

Determine a pressão que deverá ter o escoamento na secção A para que a tubagem

representada na figura fique em equilíbrio no apoio B .

, ,2 20 50 0 10 10A C DS m S S m G kN= = = =

Despreze as perdas de carga, as diferenças de cota das secções, o peso da tubagem e a

contracção nas secções C e D .

Resolução

Desprezando as perdas de carga, tem-se

A C DH H H= =


22

2 2C CA A

A Cp Up U

z zg g

+ +α = + + αγ γ

Desprezando diferenças de cotas

22

2 2C cA A p Up U

g g+α = + α

γ γ

Como 2 2

2 20

2C CA A

C A

p Qp Qg S S

⎛ ⎞α= ⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ ⎝ ⎠

Como C DH H= e C D C DS S Q Q= ⇒ = e 2 2A CQ Q Q= =

A equação anterior vem, então, para 1α = :

( ) ( ) , ,, ,

2 2 2

2 241 1 4

2 2 0 01 0 250 1 0 5Ap Q Q Q

g g

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − = − =⎜ ⎟γ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2 242100 16

2Q Q

g g= − =

242Ap Qgγ

=

Para que a tubagem fique em equilíbrio no ponto B, então

0BΓ =∑

Forças em presença:

, 20 5 21A Ap QΠ = = ρ

,

2222 4 8

0 5A A AA

Q QM Q U Q Q

S= ρ = ρ = ρ = ρ

,

2210

0 1C DQM M Q= = ρ = ρ

Por equilíbrio de momentos vem

1 20M MG ΠΓ + Γ + Γ −Γ =

( ) cos2 2 2 22 21 2 8 2 10 000 4 10 6 10 60Q Q Q Q× ρ + × ρ − × − − × ρ − × ρ =


2 2 2 242 16 20000 40 30 0Q Q Q Q= ρ + ρ − + ρ − ρ =

( ) 2 242 16 40 30 20000 68 20000Q Q Nm+ + − ρ = ⇒ ρ =

2 220000 42 2000042

68 68A aQ Nm p Q P×

ρ = ⇒ = ρ =

12353A ap P=

PROBLEMA 4.11

Um torniquete hidráulico roda à velocidade de 10rpm sobre um “pivot” de 20mm de diâmetro e

de 50mm de altura, com uma folga de ,0 10mm , preenchida por um lubrificante de viscosidade

cinemática 3 2 16 10v m s− −= × . Os eixos dos jactos do torniquete, normais ao respectivo braço,

distam 150mm do eixo de rotação vertical, sendo os orifícios de saída circulares, com 10mm de

diâmetro.

Supondo nula a contracção do jacto e conhecendo a densidade relativa do lubrificante que é

igual à unidade, calcular o caudal de água que deverá escoar-se para manter o movimento em

regime permanente.

RESOLUÇÃO

O momento actuante devido às quantidades de movimento 1M e 2M é igual, em

regime permanente, ao momento resistente devido à mobilização da viscosidade na

película de lubrificante.

Momento associado a 1M e 2M

( ),' ' , ,

25 2

1 20 01

1 0 7 85 104

M M QU S m−Π×= = α ρ α = = = ×


2

1 2 51000

785 10Q

M M−

= =×

, , , , 6 21 2 10 15 0 15 0 30 3 82 10actuante M M M QΓ = + = × = ×

, 6 23 82 10actuante QΓ = ×

Momento resistente

A força resistente é F A= σ em que A é a área do cilindro com 20 mm de diâmetro

e 50 mm de altura.

Se se considerar vn

Δσ = μ

Δ

vem ( ) ( ),

3 401000 6 10 10

0 0001v a

v r−−σ = μ = × × × = σ

Como ( ) 1 110 21060 3

v r w r rpm r rad s r rad s r− −× Π Π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = × = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e ,10 0 01r mm m= = (raio do pivot), então

( ) , ,1 2 10 01 1 047 103

v r m s m s− − −Π= × = ×

Ou seja

, ,2 2 21000 6 10 1 047 10 628 3Nm Nm− − −σ = × × × × =

Como , , , 3 22 2 0 01 0 05 3 1416 10A r h m−= Π × = Π× × = ×

vem ,1 97F N=

e o momento resistente será

, ,0 01 0 0197resist F NmΓ = × =

Em regime permanente actuante resistΓ = Γ ⇒

, , ,6 2 5 3 13 82 10 0 0197 7 188 10Q Nm Q m s− −× = ⇒ = ×


O caudal escoado é , 4 3 12 1 437 10Q m s− −= ×

PROBLEMA 4.12

Uma pequena turbina de água, conforme esquema da figura, fornece uma potência de ,7 7kW .

Determine a força horizontal provocada pelo escoamento no túnel, desprezando o aumento de

energia devida ao atrito e as transferências de calor (turbina termicamente estanque).

RESOLUÇÃO

O cálculo da força provocada no túnel (envólucro) implica a aplicação do princípio da

conservação da quantidade de movimento.

“A taxa de variação da quantidade de movimento em ordem ao tempo de uma dada

massa fluida é igual à soma das forças exteriores que sobre elas actuam”:

( ) ( ) .d d dc c c

extSt

D v v v v n S fD t∀ ∀

∂ρ ∀ = ρ ∀+ ρ = Σ

∂∫ ∫ ∫ i

No caso em estudo

Trata-se de um escoamento permanente pelo que


( )d 0c

vt∀

∂ρ ∀ =

∂∫

A equação da quantidade de movimento vem

( )dc

xS

v v n S Fρ =∑∫ i

Ou seja, admitindo que a força exercida pelo túnel e pela turbina, no volume de

controle é xR ,

( )2 21 1 2 2 1 1 2 2 xU A U A p A p A Rρ − + = − − 1

Na equação anterior, desconhecem-se 2U , 2p e xR pelo que necessitamos de mais

duas equações.

2U pode determinar-se pela aplicação da equação da continuidade

d d 0c cS

v n St∀

∂ρ∀+ ρ =

∂∫ ∫ i

Como o escoamento é permanente d 0c t∀

∂ρ∀ =

∂∫ . Como o fluido é incompressível

( )cteρ = ,

d d d0 0c c cS S S

v n S v n S v n Sρ = ρ = ⇒ =∫ ∫ ∫i i i

Ou seja,

,

21

11 11 1 2 2 2 2

2 2

54

0 8 88

4

D

U AU A U A U ms

A D−

⎛ ⎞×Π ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠− + = ⇒ = = =⎛ ⎞

Π ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 12 8 88U ms−=

Para determinar 2p é necessário recorrer ao princípio da conservação da energia

(1º princípio da termodinâmica) segundo o qual “a variação da energia de um

sistema de controle é o resultado das trocas de calor e de trabalho com o exterior”.

O princípio da conservação da energia pode ser traduzido pela equação:

d dd dd d

2 2

2 2c c

C

S

Qpu u We g z e g z v n St t t∀

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ρ + + ∀+ ρ + + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ρ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ i

Aplicando o caso em estudo


⎛ ⎞ ⎛ ⎞−ρ + + +ρ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 21 1 2 2

1 1 2 22 2v

G GdWp U p U

g z Q g z Qdt

Potência = Energia/tempo vdWdt

⇒ é uma potência (trabalho/tempo)

7700vdWW

dt= − porque se trata de um trabalho cedido pelo sistema

;= = =1 2 1 2G GQ Q Q z z

2 22 2 1 1 7700

2 2p U p U

Q⎛ ⎞

ρ + − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ρ ρ⎝ ⎠

( ), ,

2 2 220 609 8 88 5 1035001000 5 7700

4 1000 2 2 1000Q

p⎛ ⎞×Π× × + − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇓

2 71284 ap P=

Da equação 1 vem

( )2 21 1 2 2 1 1 2 2xR p A p A U A U A= − +ρ −

( ) ( ) ( ), ,,

2 22

1 20 609 0 457

103500 71284 1000 25 8 884 4xR A A= ×Π − ×Π + −

,

,

21

22

0 2913

0 1640

A m

A m

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

( ), , 112 81 12 81x xR kN R kN e= ⇒ = −

A força horizontal provocada pelo escoamento no túnel é

( ), 112 81xF R F kN e= − ⇒ =


PROBLEMA 4.13

Determine a diferença entre as potências do escoamento nas secções A e C da tubagem

indicada na figura, quando se escoa o caudal de , 3 12 0m s− .

Despreze as perdas de carga localizadas e considere uniforme a distribuição de velocidades nas

secções A e C .

RESOLUÇÃO

,1 0300

A

A

D mp kPa

=⎧⎨ =⎩

,0 5200

C

C

D mp kPa

=⎧⎨ =⎩

, 12

2 8 2 551

4

AU ms−= = =ΠΠ×

( ),

,,1

22 8 32 10 186

0 250 54

CU ms−= = = =Π× ΠΠ×

, ,,

2300000 2 55 30 949800 19 6A A AH z z

⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,,

2200 000 10 186 25 709800 19 6C A AH z z

⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ), , ,30 94 25 70 5 24A C A AH z z m−Δ = + − + =

( ) , ,9800 2 5 24 102669 102 7ACP Q H W kWΔ = γ Δ = × × = =


,102 7P kWΔ =

PROBLEMA 4.14

Considere o esquema indicado na figura seguinte. A conduta entre os reservatórios A e B tem

3km de comprimento e apresenta uma perda de carga unitária ,0 0005J = para o caudal

turbinado de , 3 12 0m s− . Determine:

a) A potência da turbina para um rendimento de ,0 80η = .

b) A potência que deveria ter uma bomba instalada em vez da turbina para, com um

rendimento ,0 60η = , elevar de B para A o mesmo caudal.

Desprezar todas as perdas de carga localizadas e a velocidade no interior dos reservatórios.

RESOLUÇÃO

1 2 80 40 40uH H H m+ Δ + Δ = − =

, ,1 2 0 0005 3000 1 5H H J mΔ + Δ = = × =

, ,40 1 5 38 5uH m= − =

, , ,0 80 9800 2 38 5 603680 603 7turbina uP Q H W kW= η γ = × × × = =


1 2t gH H H H= + Δ + Δ

, ,40 1 5 41 5tH m= + =

, , ,,

9800 2 41 5 1355666 7 1355 70 60

tbomba

Q HP W k u

γ × ×= = = =

η

PROBLEMA 4.15

Numa conduta de eixo horizontal em que se escoa um caudal de , 3 10 1m s− de água, existe um

estreitamento brusco, como se indica na figura.

A montante e a jusante do estreitamento estão montados piezómetros em que se lêem alturas de

,5 65m e ,5 00m , respectivamente, medidas em relação ao eixo da conduta. Calcular a perda de

carga provocada pelo estreitamento. Considere uniforme a distribuição de velocidades nas

secções.

RESOLUÇÃO


2

2p UH z

g= + + αγ

Como a distribuição de velocidades é uniforme, 1α = e U u= , ou seja, a velocidade

é a mesma em todos os pontos das secções rectas, designadamente nas secções 1

e 2.

( ),

, ,,,

221

1 221

0 15 65 5 752

2 0 319 64

UpH z mg

⎛ ⎞= + + = + =⎜ ⎟γ⎝ ⎠ ⎛ ⎞Π×

×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ),

, ,,,

221

2 222

0 15 00 5 517

2 0 219 64

UpH z mg

⎛ ⎞= + + = + =⎜ ⎟γ⎝ ⎠ ⎛ ⎞Π×

×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Desprezando a perda de carga contínua entre as secções 1 e 2 pelo facto de

estarem muito próximo

( )arg . , , ,1 2 5 752 5 517 0 235alH H H m mΔ = − = − =

,0 235H mΔ =

ResolucaoHI Cap4 VersaoNova Correcta RF - Autenticação · Resolução 1) Admitindo que o...

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