Resumo Series Numéricas

5/12/2018 Resumo Series Numéricas - slidepdf.com

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CENTRO DE ESTUDOS PEDAGÓGICOSExplicações de Matemáticas Prof: Eng.º Manuel Cerqueira

Secundário e Superior Tel. 21 938 94 71 TM : 96 647 58 [email protected]

Análise Matemática IN TEORIA DAS SÉRIES S.1.1

DEFINIÇÃO DE SÉRIE

Definição de SérieLimS Lim U U U Un kk

n

nn

nn

nn IN

1 1 1

Uma série Unn

1

é convergente sse o Lim(Sn) existir e for finito; caso contrário a série diz-se divergente.

Nota: Não é obrigatório o somatório começar em 1 , pode começar em qualquer inteiro. Só em casos muito simples ;tais como as séries geométricas e de Mengóli , é possível calcular a soma da série (valor da série). Na prática o maior interesse é saber se a série é convergente, e não o seu valor.

SÉRIE GEOMÉTRICA (SG) SÉRIE GEOMÉTRICA-ARITMÉTICA [SAG]

r r r

r n

n

1 1

1 n r

r

r r n

n . ( )

11

21

SÉRIE DE MENGÓLI OU TELESCÓPICA REGRA DO "TAPA" E COEF.INDETERMIN.O termo geral é formado por uma diferença entre doistermos desfasados de uma constante inteira.

(u ) . (u )n n k nn

k

nn

u u k Lim

11

Deve o limite de un ser finito, para a série ser convergente. Esta expressão obriga a que o somatóriocomece em 1 , caso não comece em 1 , usar a

propriedade dos somatórios. u ukk m

n

k pk m p

n p

Também se pode desenvolver Sn e cortar termos , fazendo depois olimite.

Na prática nem sempre se tem a diferença na série deMengoli, para isso temos que decompor a fracção emfracções simples:

n nP P

( )( ) n-b n-a; A= ; A=n P A B

n a n b n a n bn a n b

B

Este é o método do "tapa" para achar os coef.Em alternativa pode-se aplicar o método doscoeficientes indeterminados.

Condição necessária de convergência

A série Unn

1

é convergente un 0 . A recíproca é falsa. Notar ,que pela lei da conversão , se

u an 0 a série é div.

SÉRIE DE DIRICHLET1

n se » 1 div ; se > 1 conv.Critério para a escolha da serie de comparação: Se p kpolinómio

polinómioan

de grau kde grau p

Esta série usa-se no critério da comparação. ou na aproximação assimptótica.CRITÉRIOS PARA SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS

CRITÉRIO GERAL DA COMPARAÇÃO CRITÉRIO DA COMPARAÇÃO POR LIMITESSe 0 a bn n , p INn>p tem-se:

1º) bn converge a convergen2º) an diverge b divergen

Exemplos de comparação:

1---» 1 12

1 1n

nn! !( ) é convergent

2---» 1 2 2n

n

n

n

ndiverge »

Temos an

n

1

(an0) . Qual a Natureza?

Escolhe-se bn 0 . Calcular Lima

bn

n L

1º ) L IR e b são da mesma naturez+

n an2º ) L = 0 bn converge a convergen

3º)L=+ bn diverge a divergen






CRITÉRIOS ESPECIAISCASOS PARTICULARES DO C. DA COMPARAÇÃO

CRITÉRIO DA RAZÃO OU D' ALEMBERT CRITÉRIO DA RAÍZ OU DE CAUCHYDada a série an , an 0 , tem-se:

L Lim anan

1

1º) L a convn 1 » .2º)L a divn 1 » .3º) L=1» inconclusivo

Nota: Se L 1 ---» é divergente

Dada a série an , an 0 , tem-se:

L Lim ann

1º) L a convn 1 » .2º) L a divn 1 » .3º) L=1--»inconclusivoNota: Lim(..)--»Limite superior =maior dossublimites.

SÉRIE DE BERTRAND

Série de Bertrandé toda a série do tipo : 12 n nn

ln ( )

.

O critério de Bertrand diz que :

Div

Conv

Div

Conv

IR

IR

1

.11

.1

.1

CRITÉRIO DE ABEL

Seja an uma série convergente e bn uma sucessão , não negativa decrescente.Então:a bn n é convergente Ex: . 1

2

1

31

n n. ( )é convergente






SÉRIES ALTERNADAS

Chama-se série alternada a toda a série do tipo: n( 1) = ( ) , a 0n

n na con n a CRITÉRIO DE LEIBNITZ Se ( ) 1 n

na é alternada e a sucessão an:an 0 é decrescente A série é convergente

SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENT. TEOREMA DAS SÉRIES ABSOLUT. CONV.Diz-se que an é absolutamente convergente sse

| |an é convergente.

No caso de an ser convergente e | |an ser divergente , diz-se que a série é simplesmente ou(condicionalmente)convergente.

Toda a série absolutamente convergente , éconvergente; a recíproca é falsa.

Absolutamente convergente convergenteSimplesm. conv. não implica absolut. conv.

SÉRIES DE POTÊNCIASSÉRIES DE POTENCIAS: DEFINIÇÃO RAIO E INTERVALO DE CONVERGENCIASão séries de funções do tipo:

a xnn

n

0

an é uma sucessão qualquer.

R LimLim an

na

an

n+1

1 ----»Raio de converg.

]-R , R [Int. de conv.é abs. conv.NOTA:Nos extremos do intervalo de convergência , substituir xpelo valor dos extremos dos intervalos e estudar a converg. da

série numérica resultanteDEFINIÇÃO DE APROXIMAÇÃO ASSIMPTÓTICA

Definição: Diz-se que duas sucessões são assimptóticamente equivalentes sse: ~ 1nn n

n

aa b Lim

b

Exemplos 1/1

)/1sen(1~

1sen

n

n Lim

nn; 1

/1

)/1(1~

1

n

ntg Lim

nntg

1/1

)/11ln(1~

11ln

n

n Lim

nn, e

nLim

e

n

nn

11

11 1

11/

/

~/

NotaÉ errado dizer que an~bn , se Lim a Lim bn n( ) ( )

nnn /1

)Sen(1/nLimmas,0

10

1sen

2

2

Duas séries são da mesma natureza se: a b Lima

bn

n

n

n

n

n

1 1

1~

REGRAS FUNDAMENTAIS DAS APROXIMAÇÕES ASSIMPTÓTICAS1-Qualquer polinómio é assimptóticamente equivalente ao termo de maior grau. 7 4 3 6 73 2 3n n n n ~2- Qualquer fracção entre polinómios ou radicais é assimptóticamente equivalente ao quociente entre os termos demaior grau.3- A soma de uma exponencial de base a>1 é com qualquer polinómio é assimptóticamente equivalente à exp.

O mesmo para uma soma c/ outra exp. de menor base.2 4 9 6 22n nn n ~ 3 2 3n n n ~

4-A soma de um factorial com uma exponencial assimp. equiv. ao factorial. Ex

n nn

! ~ ! 25-A soma de um factorial com nn é assimp. equiv. a nn Exnn +n!~nn+

Comentário: Se a b b c a cn n n n n n~ ~ ~ Propriedade transitiva.

Ex nn +n!~nn e n n n n! ~ ! 4 9 62 logo nn +n!+

4 9 62n n nn~

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