1

1. Propriedades Operacionais dos Reais

O conjunto dos números Reais foi construído para resolver necessidades operacionais, por extensões sucessivas, a partir do conjunto mais primitivo dos Números Naturais, definido como:

ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

Embora os naturais se prestem bem a tarefa de contagem, podemos notar que apenas a operação de adição fica bem definida neste conjunto.

Para podermos definir a operação de subtração, temos que estender os Naturais, já que ao aplicar essa operação entre dois números naturais, dependendo do caso, pode-se obter um número negativo, o qual não pertence a ℕ. Acrescentando os números negativos obtemos então o conjunto dos Números Inteiros, definido como:

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Novamente esbarramos em uma limitação operacional. Se quisermos definir a operação de divisão, teremos a necessidade de estender os Inteiros, já que nem toda divisão entre inteiros resulta em outro número Inteiro. Incorporando os números que só podem ser expressos sob a forma de fração, chegamos ao conjunto dos Números Racionais, o qual é descrito por

ℚ = { =

ℤ ℤ {0}}

Exemplos de números racionais são:

… ,

3 , …

,… 1,… 0, …

2

… ,…

1

2, , …

No entanto, desde a Antiguidade os Gregos já sabiam da existência de alguns números que não podem ser colocados sob a forma de fração. Por exemplo:

i. O número cujo quadrado é 2, ao qual

convencionou-se chamar de √2 ;

ii. O número que mede a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, o qual os matemáticos convencionaram denominar pela letra grega π (Pi).

Esses são os chamados Números Irracionais. Alguns exemplos de números irracionais são:

... , √ , … √2 , … , √3,… , , … Assim, finalmente chegamos ao conjunto dos Números Reais, que são definidos simplesmente como a união entre os conjuntos dos Racionais e dos Irracionais. Ou seja:

ℝ = ℚ ∪ 𝕀

A figura a seguir resume as relações entre os conjuntos numéricos apresentados acima

Observação: Para quaisquer dos conjuntos

acima, a notação 𝕏* , significa 𝕏 – {0} e a

notação 𝕏+ , significa o subconjunto dos

números não negativos pertencentes a 𝕏. Ou

seja : ℤ+ = ℕ ; ℝ* = ℝ - {0} .

A seguir apresentaremos algumas propriedades fundamentais das operações entre números Reais.

2. Frações

As frações, como já vimos, representam os números racionais. Vamos começar recordando as regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. 2.1 Adição e Subtração de frações

Primeiramente é necessário reescrever as frações que se deseja somar ou subtrair, com o mesmo denominador. Esse denominador será o M.M.C entre os denominadores de todas as frações envolvidas na operação. Em seguida efetua-se a soma ou subtração dos numeradores.

2

Exemplos:

Para somar

, primeiramente notamos

que o M.M.C entre 6 e 4 é 12. Logo podemos escrever:

3

=

10

12

12=

1

12

Efetue:

2

1

Notemos que o M.M.C. entre 9, 6 e 4 é 36. Logo podemos escrever:

2

1

=

3

30

3

3 =

30

3 =

2

3

2.2 Multiplicação de frações

Para multiplicar frações basta multiplicar os numeradores e os denominadores das mesmas. Logo temos:

=

Exemplos:

a)

=

=

b)

=

2.3 Divisão de frações

Por definição, sabemos que a divisão entre dois números Reais quaisquer equivale a multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo. Ora, mas as frações também são número reais, logo podemos escrever:

=

=

Exemplos:

a)

=

=

=

b)

=

=

=

3. Potências

Seja a um número real e m um inteiro positivo. Chama-se potência de base a e expoente m ao número am , definido por :

am = a·a·a ... a

Por definição:

i. a0 = 1 ; ∀ a ℝ*

ii. a-m = (

) = (

)

; ∀ a ℝ

iii. Não é definida a expressão 00 Observações: Como consequências da definição, vemos que:

i. a1 = a ; ∀ a ℝ

ii. 1m = 1 ∀ m ℤ

iii. Potências de expoente par são sempre não negativas, ou seja, a2n ≥ 0 ; ∀ n ℤ.

iv. Potências de expoente negativo têm o mesmo sinal da base.

Propriedades operacionais das Potências:

a. am . an = am+n

b.

=

c. am . bm = (a.b)m

d.

= (

)

e. (am)n = a m.n

f. =

Exemplos:

a. 103 = 10.10.10 = 1000

b. 15 = 1.1.1.1.1 = 1

c. 04 = 0.0.0.0 = 0

d. (-3)2 = (-3).(-3) = 9

e. (-2)3 = (-2).(-2).(-2) = -8

f. (x-x)0 = 00 (indefinido)

g. (

)

= (

) =

h. 32.34 = 3(2+4) = 36

2 3

4 6 9

m fatores

3

i.

= 2 = 2 =

j. (23)2 = 26

k. 2 = 2 = 2

l. 2450 = 1

4. Raízes Reais

Dado um número real a e um inteiro positivo n , dizemos que um número Real x é a raiz n-ésima de a se, por definição , xn = a . Quando n = 2, a raiz denomina-se quadrada e quando n = 3 a raiz denomina-se cúbica. As demais raízes são denominadas pelo ordinal do inteiro correspondente. Por exemplo: n = 4, raiz quarta, n=10, raiz décima, etc. Exemplos:

a) A raiz cúbica de 8 é 2, pois 23 = 8 ; b) A raiz quinta de -32 é -2, pois (-2)5 = -32; c) As raízes quadradas de 16 são 4 e -4,

pois 42 = 16 e (-4)2=16; d) As raízes quartas de 81 são 3 e -3. Pois

34 = 81 e (-3)4 = 81. Observações:

i) Se n (chamado de índice da raiz) for ímpar, então qualquer número Real a possuirá apenas uma raiz n-ésima (ou de índice n), a qual representa-se por

√ . E essa raiz terá o mesmo sinal de a.

ii) Se n for par, então somente os números reais não negativos terão raízes de índice n. Neste caso haverá, na verdade, duas raízes n-ésimas, iguais e de sinais contrários. As quais

denotaremos por: √ e √ .

Exemplos:

Calcule x , sabendo que:

a) x3 =1 b) x5 = -1 c) x2 = 2 d) x4 = -1

Da definição acima temos:

a) x = √1

= 1

b) x = √ 1

= -1

c) x = √2

d) x = √ 1

, x ∉ ℝ

Definição: Sendo m e n inteiros e primos entre si, com n > 0, define-se:

= √

Propriedades Operacionais das Raízes

a. √

√

= √

b. √

√ = √

c. (√

) = √

d. √√

= √

e. √ = √

f. √

= √

g. √

√

=

=

Exemplos: Calcule:

i. 3√2 √32 √

Solução: 3√2 √2 √2 =

3√2 √2 2 √2 2 =

3√2 2 √2 2√2 = 21√2

ii. √ 2 2√12 3√2 √

Solução:

√3 2 2√3 2 3√3 2 √3 2 =

√3 2 √3 2 √3 2 √3 2 =

√3 2 √3 2 √3 √3 2 √3 2 =

(1 √3) √ 3 2 2 =

(1 √3) √2

4

iii. 3√2 √3 √3 2√2

Solução:

3√ 2 3 2√ =

√

iv. 3√

√

Solução:

3√2 √2 = 3√2

√2 =

3√2 = 3√2 2

= 3 2 √2

= 12√2

v.

= √ = √ 2

= √ 2

= 2 =

vi.

=

=

√ =

√ =

Simplifique:

i. √32 = √2

=

√2

ii. √ = √ 3 = 3 √

4.1 Racionalização de Denominadores

Regra 1: O fator racionalizante de uma expressão irracional é um fator que quando multiplicado pela expressão elimine a raíz. Exemplos:

i) O fator racionalizante de √ , onde

p < n, é √ , pois

√ √

=

ii) O racionalizante de √ √ é a

expressão conjugada √ √ , pois

( √ √ ) ( √ √ ) =

Regra 2: Para racionalizar o denominador de uma fração irracional, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo racionalizante do denominador.

Exemplos:

a)

√ =

√

√ √ =

√

=

√

b)

√ =

√ = √

√ √ =

√

c) √

√ =

( √ ) ( √ )

( √ ) ( √ )=

√

=

√

d)

√

=

√

( √

) ( √

)=

√

√ =

2√3

1 √3 1

√3 1 √3 1 =

2√3

1 √3 1

5. Ordem no Conjunto dos Reais

Definição: Diz-se que um número real x é menor que outro real y, denota-se x < y,

quando y – x ℝ*+ , ou seja y –x é um número

real não negativo e diferente de zero.

Note-se que x < y ⇔ y > x , escreve-se y maior que x.

Propriedades da relação “< ”:

a) Transitividade

b) A adição de uma constante não altera o sentido da desigualdade

c) Desigualdades de mesmo sentido podem

ser adicionadas.

d) A multiplicação por um número positivo, nos dois lados, não altera o sentido da desigualdade.

Se x < y e y < z , então x < z

Se x < y , então x +a < z + a ; ∀ a ℝ

Se x < y e a < b, então x + a < y + b

Se x < y e a > 0 , então ax < ay

5

e) A multiplicação por um número negativo,

nos dois lados, altera o sentido da desigualdade.

f)

6. Módulo

O módulo, ou valor absoluto, de um número real x qualquer, denota-se por |x|, e é definido como:

= { , ≥ 0 , 0

Exemplos: |2| = 2 , |0| = 0 , |-

| =

, | -𝛑|=𝛑

Graficamente o valor absoluto de um número real é representado pela distância entre o ponto que o representa na reta real e a origem.

Na mesma linha de raciocínio, a expressão |x - y| , representa a distância entre os números x e y na reta real. Muito utilizadas também são as expressões do tipo |x-a| < δ, que representa o conjunto dos números reais cuja distância até um número a é menor que δ. Ou seja :

|x - a|< δ = {xℝ | a - δ < x < a + δ}

7. Produtos Notáveis e Fatoração

7.1 Produtos Notáveis

Alguns produtos entre polinômios ocorrem de forma tão comum nos cálculos algébricos que vale a pena sabe-los de cor, para se economizar tempo. Vejamos os principais deles: a) = 2 b) = c) = 3 3 d) = e) =

7.2 Fatoração

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como o produto de fatores mais simples. Vejamos a seguir os casos mais comuns de fatoração:

i. Fator em evidência Nesse caso usa-se simplesmente a propriedade distributiva da multiplicação com relação a adição (subtração).

ax+bx = x(a+b)

ii. Fatoração por Agrupamento

ax+bx+ay+by = x(a+b)+y(a+b) = (x+y)(a+b)

iii. Fatoração pelos Produtos Notáveis

Basta notar que, para cada um dos produtos notáveis apresentados anteriormente, se lermos as igualdades no sentido inverso, teremos um caso de fatoração. Logo temos: 2 = = 3 3 = =

=

7.3 Frações Algébricas

As operações com frações algébricas obedecem às mesmas regras das operações com frações numéricas. Ou seja:

i)

=

, 0

ii)

=

, 0

iii)

=

=

, 0

iv)

=

= , 0

Se x < y e a < 0 , então ax > ay

Se 0 < x < y e 0 < a < b , então ax < by ax > ay

+ _

0 y x

|y| |x|

y x

|x-y| = |y-x|

6

Exemplos: Calcular

a)

=

=

=

b)

=

=

= 2

8. Logaritmos

Seja a um número real, positivo e diferente de 1. Denomina-se logaritmo, na base a, de

um número positivo x o número real y tal

que ay = x.

Ou seja: Para todo x > 0, temos

loga x = y ⇔ ay = x ( 0 < a 1) Exemplos:

a) log 10 100 = 2 b) log5 25 = 2 c) log2 16 = 4 d) log 1/5 25 = -2

e) log 81 9 =

f) log1 5 (não existe) g) log-2 8 (não existe) h) log2 -3 (não existe) i) log0 7 (não existe)

Da definição concluímos que, para quaisquer x e y > 0 e 0 < a 1:

=

1 = 0

=

= ⇔ =

Observação: Na notação usual, costuma-se omitir a base 10. Ou seja, costuma-se escrever , simplesmente como .

8.1 Propriedades dos Logaritmos

i. =

ii. (

) =

iii. =

iv. √

=

=

8.2 Mudança de Base

Se temos loga x e queremos determinar logb

x, podemos usar a identidade:

=

Como consequência da fórmula de mudança de base podemos afirmar que, para quaisquer a e b positivos e diferentes de 1, temos:

= 1 ou =

9. Noções de Trigonometria

9.1 Medidas de Ângulos e Arcos

Um arco geométrico é uma das partes delimitada por dois pontos sobre uma circunferência.

Note-se que na figura acima, podemos falar também no arco BA.

7

Todo arco tem um ângulo central correspondente.

Na figura acima o ângulo = AÔB é o ângulo central correspondente ao arco AB.

O comprimento de um arco é a medida linear do mesmo, tomada sobre a circunferência. Para medir o comprimento de um arco usa-se unidades de medida de distância (m, cm, mm, etc.).

A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente, independentemente do raio da circunferência que contêm o arco. As unidades usadas para medir arcos (ou seus ângulos correspondentes) são o grau ou o radiano.

Um grau (nota-se 10) é definido como a fração de 1/360 da circunferência. Consequentemente, o ângulo correspondente a circunferência completa mede 3600.

Um arco de 1 radiano é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. Assim, para calcular a medida de um arco em radianos, basta dividir o seu comprimento pelo raio da circunferência.

Assim, como o comprimento total de uma circunferência de raio r é dado por 2πr, podemos dizer que a medida do arco (ângulo) correspondente a circunferência completa é 2π.

Podemos então dar a medida, em radianos, correspondente a alguns ângulos mais comumente usados:

300 =

.

Logo, 300 =

2 =

.

450 =

2 =

.

600 =

2 =

.

900 =

2 =

.

1800 =

2 = .

2700 = 3 900 =

.

9.2 Trigonometria e o Triângulo Retângulo

Imaginemos alguém subindo uma rampa plana. Conforme nos afastamos do ponto de partida, atingimos uma determinada altura e também percorremos uma certa distância ao longo da rampa.

A situação corresponde a um triângulo retângulo ABC, como mostrado na figura abaixo.

8

A Tangente do ângulo B é definida como a inclinação ou a taxa (ou coeficiente) de variação da altura conforme nos afastamos do ponto B. Ou seja:

=

=

Analogamente teremos:

=

=

O Seno do ângulo é definido como a razão entre a altura e a distância percorrida. Ou seja:

=

=

=

=

O Cosseno do ângulo é definido como a razão entre o afastamento e a distância percorrida. Ou seja:

=

=

=

=

Observações:

O cateto c é denominado projeção

da hipotenusa segundo o ângulo . Analogamente, o cateto b é denominado projeção da hipotenusa

segundo o ângulo . Vemos, da fórmula de definição do cosseno, que para calcular a projeção de um segmento, basta multiplicar o segmento pelo cosseno do ângulo de projeção. Assim temos,

= e , analogamente,

= ;

Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares, ou seja, tem-se

= 0 .

9.3 O Círculo Trigonométrico

Denomina-se círculo trigonométrico o círculo orientado cujo raio vale uma unidade de comprimento e no qual o sentido positivo de medida dos arcos é o anti-horário.

Círculo Trigonométrico

Notemos que, em consequência do raio do círculo trigonométrico ser igual a 1, podemos afirmar que os arcos medidos sobre a circunferência do círculo trigonométrico têm sua medida igual ao seu comprimento. Podemos usar o círculo trigonométrico para representar os arcos trigonométricos e suas respectivas funções trigonométricas. Como mostrado na figura abaixo.

Círculo Trigonométrico

=

; =

=

=

; =

Observando o círculo trigonométrico pode-se provar algumas igualdades trigonométricas, como por exemplo:

9

sen θ = cos (

, pois =

cos θ = sen (

, pois =

9.4 Alguns Arcos Notáveis A seguir listamos os valores das funções trigonométricas para alguns ângulos (arcos) de uso mais comum.

θ sen (θ) cos (θ) tg (θ) ctg (θ) sec (θ) cossec (θ)

0 0 1 0 ∞ 1 ∞

(30

0)

1

2

√3

2

√3

3 √3

2√3

3 2

(45

0) √2

2

√2

2 1 1 √2 √2

(60

0) √3

2

1

2 √3

√3

3 2

2√3

3

(90

0) 1 0 ∞ 0 ∞ 1

π 1 00) 0 -1 0 ∞ -1 ∞

(270

0) -1 0 ∞ 0 ∞ -1

2π 3 00) 0 1 0 ∞ 1 ∞

9.5 Identidades Trigonométricas

A seguir apresentamos algumas Identidades trigonométricas úteis. A demonstração dessas identidades pode ser encontrada em qualquer livro de ensino médio.

a) = 1

b) 1 + tg2θ = sec2θ

c) sen 2θ = 2senθ cosθ

d) cos 2θ = cos2θ – sen2θ

e) 2 =

10

EXERCÍCIOS

Calcule as expressões abaixo envolvendo números negativos e frações

1. (-2) + 1 – 3 – (-4) =

2. 5 +2 – (-3) =

3. 5 + (-5) ⋅ (-1) =

4. 6 ÷ (-3) – 2 ⋅ (-8) =

5.

=

6.

=

7.

=

8.

2 =

9.

(

) (

) =

10.

=

11.

(

)

=

Calcule as expressões abaixo envolvendo potências e raízes

1. 23 ⋅ 63 ÷ 43 =

2. 52 ⋅ 4 =

3. =

4. (

)

=

5. 63 ÷ 23 =

6. 04 =

7. 05 ÷ 05 =

8. 1 =

9. 2 3 (

) =

10. 2 =

11. √3

√

=

12. √2 √ =

13. √

√ =

14. √

√

√ =

15. (√3

) =

16. √√102

=

17. √2 3 =

18. √√

=

19. √√2

=

20. √ =

21. √ 0

=

22.

=

23.

=

24. √

√ =

Fatore as seguintes expressões algébricas

1. =

2. 3 2 =

3. 1 =

4. 1 =

5. =

6. 12 =

7. 2 2 =

8. =

9. 1 =

10. 3 3 =

Racionalize os denominadores das seguintes frações

1.

√ =

2.

√ =

3.

√ =

4.

√ √ =

5. √

√ =

6.

√ =

11

Simplifique as seguintes frações algébricas

1.

=

2.

=

3.

=

4.

1 =

5.

=

6.

=

7.

=

Calcule os valores dos seguintes logaritmos

1. 12 =

2.

=

3. √ =

4.

1 =

5.

=

6. 1 =

Determine para que valores de x os logaritmos a

seguir são determinados

1. 10

2. 3

3. 3 2

4. 0

5.

Determine o valor de x nas seguintes equações

1. = 32 7. 3 = 2

2. 2 = 2 8. = 1

3. 0, =

9. 1 = 2

4. 3 = 1 10. 1 =

5.

= √ 11.

= 0

6. √3 = 12. =

Calcule as seguintes expressões:

1. 2 0 =

2.

√ =

3. √

=

4. √ 2 =

5. 1 =

6. √ =

7. 2 =

Trigonometria

1. A quantos graus equivale 1 radiano?

2. Converta os seguintes ângulos em radianos

a. 1350 =

b. 1200 =

c. 3150 =

3. Mostre, usando o círculo trigonométrico que:

a. (

) =

b. (

) =

4. Calcule os seguintes valores

a. cos 1200 =

b. sen 1200 =

c. sen 1500 =

d. cos -600 =

5. Sabendo que =

determine senθ ⋅ tgθ

12

6. A figura abaixo mostra uma torre, na qual foram

amarrados dois cabos de sustentação, os quais estão ancorados nos pontos P e Q. Os ângulos que os cabos fazem com o solo e a distância entre P e Q estão indicados na figura. Pede-se:

a. Quando se caminha 10m a partir do ponto Q em direção a torre e olha-se para o alto, a que altura do solo se encontram cada um dos cabos?

b. Determine a altura da torre?

7. Dado o plano inclinado da figura abaixo, pede-se

calcular a distância d, que representa a projeção da altura (h) sobre o plano da rampa.

a. 5

http://issuu.com/exactasnet/docs/revis__o_de_calculos_e_operacoes_al/1