Séries Numéricas II

Lies de Matemtica II Sries numricas e representao de funes em sries de potncias

Cap. I Pgina 14

I.1.3 Estudo da natureza de algumas sries: sries geomtricas, sries de Mengoli e srie

harmnica.

Definio I.9.

Seja , {0}.

Chamamos srie geomtrica, de primeiro termo e razo , a toda a srie +=1 cujo termo geral

se pode escrever na forma = 1.i

Estudemos, agora, a convergncia desta srie.

Proposio I.10.

Seja , {0}.

A srie geomtrica 1+=1 convergente se e s se || < 1.

Alm disso,

(i) Se || < 1 ento

lim+

=

1

e 1+=1 tem soma =

1;

(ii) Se 1 e > 0 ento lim+ = + e 1+

=1 divergente;

(iii) Se 1 e < 0 ento lim+ = e 1+

=1 divergente;

(iv) Se 1 ento no existe lim+ e 1+

=1 divergente.

Demonstrao:

i Sendo 0, podemos escrever a srie +

= na forma 1+

=1 . Trata-se de uma srie geomtrica de

primeiro termo e razo .


Cap. I Pgina 15

Consideremos a sucesso associada srie 1+=1

= 1

=1 = + + 2 ++ 1.

(a) Se = 1, ento = + + + + = .

Deste modo

lim+

= {+, se > 0, se < 0

(b) Se 1, ento = 1

1.ii Assim:

(b-i) quando || < 1 obtemos lim+ = 0 e, consequentemente,

1+=1 = lim+ =

1.

(b-ii) quando > 1 obtemos lim+ = +.

Neste caso, uma vez que 1 < 0, conclumos que lim+ = {+, se > 0, se < 0

.

(b-iii) Se 1, ento lim+ no existe. Logo 1+=1 divergente.

Exemplos I.11.

a) A srie (4

5)

+=1 = (

4

5) (

4

5)1

+=1 uma srie geomtrica de primeiro termo

= 4

5 e razo =

4

5. Dado que || = |

4

5| < 1, conclumos que a srie

convergente, sendo a sua soma =4

5

1(4

5)=

4

9.

b) Seja (8

53)+1

+=0 . Podemos reescrever a srie como

ii Trata-se da soma dos primeiros termos de uma progresso geomtrica. Todavia, verificamos, sem dificuldade, que, para 1, se tem

= + + 2 ++ 1

e, tambm,

= + 2 + 3 ++ 1 + .

Deste modo, subtraindo, membro a membro, as duas igualdades anteriores, obtemos

= (1 ) = (1

) = 1

1.


Cap. I Pgina 16

(8

53)+1+

=0

= (8

53)+

=1

= (8

53)(

8

53)1+

=1

.

Assim trata-se de uma srie geomtrica de primeiro termo =8

53 e razo =

8

53,.

convergente visto que || = |8

53| < 1.

Neste caso temos =8

53

1(8

53)=

8

11(53 + 8).

c) A srie 3 (52

7)

+=1 = (

152

7) (52

7)1

+=1 uma srie geomtrica de razo

=52

7> 1, logo divergente.

Consideremos agora a seguinte srie numrica

1

2+1

6+1

12+1

20+1

30+1

42+

Repare-se que no uma srie geomtrica. (Porqu?)

Olhando com ateno para os seus termos, verificamos que

1

2+1

6+1

12+1

20+1

30+1

42+ =

1

1 2+

1

2 3+

1

3 4+

1

4 5+

1

5 6+

1

6 7+

Deste modo, podemos afirmar que a sucesso (1

(+1))

o termo geral da srie e escrever

1

( + 1)=

+

=1

1

2+1

6+1

12+1

20+1

30+1

42+

Dado que 1

(+1)=1

1

+1, escrevemos cada termo da srie como uma diferena de dois nmeros

reais, isto ,


Cap. I Pgina 17

1

( + 1)=

+

=1

(1 1

2) + (

1

21

3) + (

1

31

4) + (

1

41

5) + (

1

51

6) + (

1

61

7) +.

Seja =1

, . Ento o termo geral escrito na forma = +1.

A sucesso associada srie dada por

= (1 1

2) + (

1

21

3) + (

1

31

4) ++ (

1

11

) + (

1

1

+ 1) = 1

1

+ 1.

Como lim+ = 1 ento a srie convergente e tem soma = 1.

Toda a srie em que o termo geral se pode escrever na forma = +1 chamada de srie

de Mengoli, srie redutvel ou srie telescpica.

Neste caso, a sucesso associada srie dada por

= (1 2) + (2 3) + (3 4) ++ ( +1) = 1 +1iii,

o que nos permite concluir que a srie referida convergente se e s se lim+ , sendo a

sua soma = 1 lim+ +1.iv

Todavia, tambm chamamos srie de Mengoli s sries cujo termo geral se pode escrever na forma

= +, para algum .

Por exemplo, consideramos que 1

2+8+7+=1 uma srie de Mengoli, visto que o seu termo geral

=1

2+8+7 se pode escrever na forma

=1

( + 1)( + 7)=

16

+ 1

16

+ 7 +6

.

iii Note-se que = ( +1)=1 =

=1 +1

=1 = 1 +

=2

=2 +1 = 1 +1.

iv Recorde a propriedade Se a sucesso () converge para o nmero real ento qualquer subsucesso de () tambm converge para o mesmo limite.

Assim, verificamos que lim+ = lim+ +1, visto que (+1) uma subsucesso de ().


Cap. I Pgina 18

Assim, de um modo geral, adotamos a seguinte definio.

Definio I.12.

Chamamos srie de Mengoli a toda a srie +=1 cujo termo geral se pode escrever na forma

= +, para alguma sucesso de termo geral e algum .

Deste modo, a sucesso associada srie definida por

=( +) =

=1

+

=1

=1

Usando propriedades de somatrios obtemos

+

=1

=

+

=1+

=

=1+

+

+

=+1

e

=1

=

=1

+

=+1

Da resulta

=

=1

+

=+1

= 1 + 2 ++ (+1 + +2 ++)

e, consequentemente,

= 1 + 2 ++ lim+

(+1 + +2 ++ +).

Logo, podemos garantir que se lim+ ento a srie

=

+

=1

( +)

+

=1


Cap. I Pgina 19

convergente e tem soma = 1 + 2 ++ lim+ .v

Exemplos I.13.

a) A srie 1

(+2)(+1)+=1 uma srie de Mengoli uma vez que

1

(+2)(+1)=

1

+1

1

+2= +1,

sendo = 1. A sucesso associada dada por

= (1 2) + (2 3) ++ (1 ) + ( +1) = 1 +1

Assim temos =1

2

1

+2, logo lim+ = lim+ (

1

2

1

+2) =

1

2 e,

consequentemente, 1

(+1)+=1 =

1

2.

b) A srie 1

(+1)(+3)+=1 uma srie cujo termo geral se pode decompor do seguinte modo

1

(+1)(+3)=

1

2

+1

1

2

+3= +2.

Trata-se de uma srie de Mengoli, sendo = 2. A sucesso associada correspondente dada

por

= (1 3) + (2 4) + (3 5) ++ (1 +1) + ( +2)

Ou seja,

= 1 + 2 +1 +2 =1

4+1

6

12

+ 2

12

+ 3,

logo a srie convergente e a soma da srie igual a

= lim+

=1

4+1

61

2lim+

(1

+ 2+

1

+ 3) =

1

4+1

6=5

12.

Finalmente, consideramos a srie harmnica definida por

v Verificamos que lim+ = lim+ + , para algum , visto que (+) uma subsucesso de

().


Cap. I Pgina 20

1

+

=1

= 1 + 1

2+1

3+ 1

4+ 1

5+ .

Comeando por calcular as somas parciais temos

1 1 = 1

2 2 = 1 +

1

2=3

2= 1,5

3 3 = 1 +

1

2+1

3=3

2+1

3=11

6= 1,8(3)

4 4 = 1+

1

2+1

3+1

4=11

6+1

4=25

12= 2,08(3)

5 5 = 1 +

1

2+1

3+1

4+1

5=25

12+1

5=137

60= 2.28(3)

6 6 = 1 +

1

2+1

3+1

4+1

5+1

6=137

60+1

6=147

60= 2,45

Observamos que as somas parciais vo aumentando medida que adicionamos mais uma parcela.

Porm, no podemos ter a certeza que as somas parciais se vo aproximar de um nmero real

positivo medida que aumenta. Ser que a srie harmnica convergente?

Consideremos ento a subsucesso (2) de (), constituda pelos termos de ordem 21, 22, 23, .

Por induo matemtica vamos provar que 2 1 +

2 para todo .

Para = 1 temos 2 =3

2 1+

1

2.

Para todo temos

2+1 = 2 +1

2 + 1+

1

2 + 2++

1

2+1.

Por hiptese de induo vem


Cap. I Pgina 21

2 1 +

2.

Reparemos que

1

2 + 1+

1

2 + 2++

1

2+1

1

2+1+1

2+1++

1

2+1=2

2+1=1

2.

Assim obtemos

2+1 1+

2+1

2= 1 +

+ 1

2,

ou seja, acabmos de verificar a tese de induo.

A desigualdade anterior permite-nos afirmar que (2) um infinitamente grande positivo, logo

() tambm um infinitamente grande positivo. Assim a sucesso das somas parciais, () , no

converge para um real positivo e portanto conclumos que a srie harmnica divergente.

Contrariamente aos exemplos anteriores, de um modo geral, no possvel determinar o valor da

soma de uma srie convergente, embora, em alguns casos, se consiga encontrar um valor

aproximado da referida soma a partir de um termo, de ordem suficientemente elevada, da sua

sucesso associada.

Assim, no mbito do nosso curso, o estudo de sries numricas consistir, essencialmente, no

desenvolvimento de condies que nos permitam estabelecer se uma srie convergente ou no

isto , determinar a sua natureza.

Alm disso, atendendo s definies anteriores, constatamos que a natureza de uma srie (isto , a

sua convergncia ou divergncia) no depende dos seus primeiros dez, vinte ou mil termos, ou seja

se > 1 um nmero natural ento as sries +=1 e

+= so da mesma natureza.

Exerccios I.14.

1. Considere a srie

1 +1

3+1

9+1

27+1

81+.


Cap. I Pgina 22

(a) Justifique que se trata de uma srie geomtrica.

(b) Determine o termo geral, , da sucesso das somas parciais.

Resposta: =3

2(1

1

3);

(c) Classifique a srie quanto natureza (convergncia ou divergncia) e calcule, se possvel,

a soma da srie. Resposta: A srie convergente e a sua soma igual a 1,5.

2. Justifique que as seguintes sries so geomtricas e calcule, sempre que possvel, a respetiva

soma:

(a) 3

2+=1 . Resposta: convergente, = 3;

(b) 1

3(2)1+=1 . Resposta: divergente.

(c) 21+=1 , onde || < 1 . Resposta: convergente, =2

1.

(d) (3

2+

1

22)+=1 . Resposta: convergente, = 7.

(e) (5

232+

3

23)+=1 . Resposta: convergente, =

23

7.

3. Determine a natureza de cada uma das sries seguintes e, sempre que possvel, calcule a sua

soma:

(a) 1

21+=0 . Resposta: convergente, = 4;

(b) 10

3+=1 . Resposta: convergente, =

1

27;

(c) (1)1


1

20;

(d) 4

31+=1 . Resposta: divergente;

(e) 2+1+=0 . Resposta: convergente, =3

21;

(f) (2)3


2

19.

1. Considere a srie

1

3+1

8+1

15+1

24+1

35+.

(a) Justifique que se trata de uma srie de Mengoli.


Cap. I Pgina 23

(b) Determine o termo geral, , da sucesso das somas parciais.

Resposta: =1

2(1 +

1

2

1

+1

1

+2);

(c) Classifique a srie quanto natureza (convergncia ou divergncia) e calcule, se possvel,

a soma da srie. Resposta: A srie convergente e a sua soma igual a 0,75.

2. Verifique que 1

2+8+7+=1 uma srie de Mengoli e calcule a sua soma.

Resposta: =1

6(1

+1

1

+7) ; = lim =

1

6(

1

+16=1 )

1

6(

1

++16=1 ) =

223

840.

3. Justifique que as seguintes sries so de Mengoli e, sempre que possvel, calcule a sua soma:

(a) 1


5

12;

(b) (2 2

+1)+=2 . Resposta: convergente, = 2 1;

(c) 1

+2+=1 . Resposta: divergente;

(d) ln(1 +1

)+=1 . Resposta: divergente;

(e) 1

(31)(3+5)+=2 . Resposta: convergente, =

13

240.

(f) 1

(31)(3+8)+=1 . Resposta: convergente, =

33

360;

(g) ln (1 1

2)+=2 . Resposta: convergente, = ln

1

2.


Cap. I Pgina 24

I.1.4 Condio necessria de convergncia para uma srie numrica. Algumas operaes

com sries numricas convergentes.

Uma propriedade bastante importante das sries convergentes diz respeito convergncia da

sucesso dos seus termos.

Teorema I.15. [Condio necessria de convergncia]

Se a srie numrica +=1 convergente ento lim+ = 0.

Demonstrao:

Seja () a sucesso associada srie dada, ento 1 = 1 e = 1, > 1.

Alm disso, uma vez que () convergente, temos que

lim+ = lim+

1 = .

Deste modo, conclumos que

lim+ = lim+( 1) = = 0.

Como corolrio deste resultado podemos concluir que se a sucesso () converge para um

nmero diferente de zero ou diverge ento a srie +=1 divergente.

Exemplos I.16.

a) A srie 2

3+1+=1 divergente uma vez que lim+ (

2

3+1) =

2

3 0;

b) A srie 2 (1 1

)+=1 divergente dado que

lim+ 2 (1

1

)= lim

+2 (1

1

)= lim

+

11

1

2

= lim0

1

2=

= lim0

2=1

2lim0

=1

2 0.

c) A srie cos +=1 divergente pois no existe lim cos.


Cap. I Pgina 25

O Teorema I.15. apresenta uma condio necessria para a convergncia de uma srie.

Contudo esta condio no suficiente.

Ou seja, no basta que () seja um infinitsimo para garantir a convergncia de +=1 .

Por exemplo, a srie harmnica, 1

+=1 , divergente, mas a srie geomtrica de primeiro termo

= 1 e razo =1

2,

1

2+=0 , convergente, embora lim+

1

= 0 e lim+

1

2= 0.

Vamos, agora, analisar algumas operaes com sries numricas convergentes, nomeadamente, a

adio e a multiplicao por um nmero real.

Teorema I.17. [Propriedade linear]

Se +=1 e

+=1 so duas sries convergentes e um nmero real ento as sries

( + )+=1 , ( )

+=1 e

+=1 so convergentes.

Alm disso, temos:

(i) +=1

+=1 = ( )

+=1 ;

(ii) +=1 =

+=1 .

Demonstrao:

Seja = =1 e =

=1 .

Ora se, por hiptese, +=1 e

+=1 so duas sries convergentes ento () e ()

tambm so convergentes o que nos permite escrever

+=1 = = lim e

+=1 = = lim .

Consequentemente, as sucesses ( ) e () so convergentes e, ainda,

lim( ) = e lim() = .

Deste modo, obtemos

( )+=1 = e

+=1 = .


Cap. I Pgina 26

Exemplo I.18.

A srie [2 (1

3)1

+7

(+1)]+=1 uma srie convergente uma vez que a soma de duas sries

convergentes:

(i) a srie geomtrica 2(1

3)1

+=1 , de primeiro termo = 2 e razo =

1

3 , tem soma

=2

11

3

=3;

(ii) a srie de Mengoli 7

(+1)+=1 tem soma = 7.

Deste modo, obtemos

[2 (1

3)1

+7

(+1)]+=1 = 3+ 7 = 10.

Note-se que se +=1 convergente e

+=1 divergente ento a srie ( + )

+=1

divergente. A demonstrao deste resultado decorre da aplicao do mtodo de reduo ao absurdo.

Basta utilizar [( + )+=1 ] =

+=1 e o Teorema I.17. para obter uma contradio.

Exerccios I.19.

1. Utilizando o corolrio da condio necessria de convergncia, verifique que as sries so

divergentes:

(a) 2

924+=1 . Resposta: lim+ =

1

9;

(b)

322

+=1 . Resposta: lim+ =

3

3;

(c) (1)

ln()+=1 . Resposta: No existe lim+ ;

(d) 3

3+=1 . Resposta: lim+ = +;

(e) [ sin (1

)]+=1 . Resposta: lim+ = 1;

(f) (1

+1)+2

+=1 . Resposta: lim+ =

2;


Cap. I Pgina 27

(g) (1)+1

+=1 . Resposta: Uma vez lim+

+1

= 1 0 conclumos que

lim+(1) +1

no existe.vi

(h) 21+1

4(21)+=1 . Resposta: lim+

21+1

4(21)=1

4 0.

2. Usando operaes com sries, mostre que (1

22+

3

2)+=1 convergente e calcule a sua

soma. Resposta = 7.

3. Investigue a natureza de cada uma das sries seguintes:

(a) 2+3

5+=1 . Resposta: convergente.

(b) 1+(1)

5+=1 . Resposta: convergente.

(c) [(

3)

+1

(+1)]+=1 . Resposta: divergente.

4. Suponha que a sucesso associada srie +=1 definida por =

2+1, .

(a) Calcule lim . Resposta: 0.

(b) Determine o termo geral da srie, . Resposta: =1

(21)(2+1).

(c) Diga, justificando, se +=1 uma srie de Mengoli.

vi No que se segue escreveremos lim, ou apenas lim , para indicar lim

+.

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