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UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ

CURSO ENGENHARIA INDUSTRIAL MECÂNICA

TIAGO PAULO NAU

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Aplicação de Expressões Analíticas e Planejamento de Ensaios

Mecânicos para a Verificação do Desempenho da Melhora de

Funcionamento de um Eixo de Grande Porte

São José

2

2008

TIAGO PAULO NAU





Trabalho de conclusão de Curso, apresentado à Banca Examinadora, como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Engenheira Industrial – Mecânica, na Universidade do Vale do Itajaí, Centro de Educação de São José. Orientador: Dr. Carlos Eduardo Iconomos Baixo.

3

São José

2008

TIAGO PAULO NAU





Esta monografia foi julgada adequada para a obtenção do título de Bacharel em Engenharia Industrial Mecânica e aprovada pelo Curso de Engenharia Industrial Mecânica da Universidade do Vale do Itajaí, Centro de Educação de São José.

Área de Concentração: Ensaio Mecânico.

São José, junho de 2008.

Prof. Dr. Carlos Eduardo Iconomos Baixo. UNIVALI – CE de São José

Orientador

4

Dedico este trabalho aos meus pais e a minha namorada, pessoas importantes que sempre me apoiaram.

5

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, meus familiares, amigos e ao meu orientador

Professor Carlos Baixo, que participaram desta conquista.

6

RESUMO

Este trabalho de conclusão de curso descreve atividades de melhora de projeto de um eixo utilizado em motores e geradores elétricos de grande porte. Em operação, o eixo, usinado em aço 1040/45, 4140 ou superiores, está sujeito a carregamentos combinados de flexão e de torção, que podem gerar deformações, fadiga, vibração e, até, sua ruptura. Destas, a falha mais eminente é a deformação, dada a possibilidade desta desbalancear e possibilitar colisão entre o rotor e o estator, estas gerando como conseqüência, respectivamente, vibrações no equipamento e falha da máquina, seja este o motor ou o gerador. A melhora de projeto proposto consistiu em inserir, externamente ao eixo e por um processo de montagem a quente, um acoplamento do tipo “aranha”, com o objetivo de diminuir sua deformação. Com esta montagem é evitado um sobre-dimensionamento, pois permite aumentar a capacidade de carga transversal de forma localizada, mantendo, nas regiões com menor solicitação, um eixo de menor diâmetro. Com isto, é gerada uma economia de matéria prima na fabricação e, conseqüentemente, uma redução do peso do produto final. O trabalho foi realizado em duas etapas. Na primeira, partindo do projeto base do eixo, foram utilizados métodos analíticos para a estimativa da deflexão sob carga, com e sem o acoplamento, para serem comparadas diferenças na amplitude da deformação. Na segunda etapa, para a validação dos cálculos, foi planejado ensaios em uma prensa hidráulica buscando simular carregamentos semelhantes àqueles encontrados em serviço. Nestes planejamentos dos ensaios, foi solicitado uma célula de carga para a leitura da força aplicada pela prensa e relógios comparadores para a determinação das deformações em pontos ao longo do eixo. Para viabilizar os ensaios, foram projetados, com o auxílio de uma ferramenta computacional de desenho, dispositivos de fixação do eixo na base da prensa, do eixo na célula de carga e da célula de carga na haste da prensa. Com a realização dos cálculos, foi comprovada a diminuição da deformação do eixo com a utilização do acoplamento tipo “aranha”, sendo necessário realizar os ensaios, segundo o planejamento, para validar os cálculos.

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Motores elétricos .................................................................................................... 14

Figura 1.2. Geradores ............................................................................................................... 15

Figura 1.3. Carcaças ................................................................................................................. 15

Figura 1.4. Estatores ................................................................................................................. 16

Figura 1.5. Rotores ................................................................................................................... 16

Figura 1.6. Eixo liso ................................................................................................................. 17

Figura 1.7. Eixo costelado ........................................................................................................ 17

Figura 1.8. Eixo com acoplamento aranha ............................................................................... 18

Figura 1.9. Entreferro ............................................................................................................... 18

Figura 2.1. Viga bi-apoiada ...................................................................................................... 20

Figura 2.2. Viga em balanço ..................................................................................................... 21

Figura 2.3. Viga com extremidade em balanço ........................................................................ 21

Figura 2.4. Carga concentrada .................................................................................................. 22

Figura 2.5. Carga distribuída .................................................................................................... 22

Figura 2.6. Carga uniformemente distribuída ........................................................................... 22

Figura 2.7. Elemento de viga, utilizado para dedução das reações entre carga, força cortante e

momento fletor ......................................................................................................................... 24

Figura 2.8. Diagramas de forças cortantes e momentos fletores para vigas simplesmente

apoiadas com carga concentrada .............................................................................................. 26

Figura 2.9. Linha elástica de viga fletida.................................................................................. 28

Figura 2.10. Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente

distribuída ................................................................................................................................. 33

Figura 2.11. Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação ................................ 35

Figura 2.12. Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica ................................................. 36

Figura 2.13. Distância �� na deformação ................................................................................ 37

Figura 2.14. Distância �� no momento .................................................................................... 37

Figura 2.15. Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D ............... 38

Figura 2.16. Carga sobre viga e Tangente de referencia .......................................................... 40

Figura 2.17. Declividade no ponto D ....................................................................................... 40

Figura 2.18. Distância vertical entre o ponto D e a tangente de referência .............................. 40

Figura 2.19. Distância vertical entre o ponto D e a linha horizontal AB ................................. 41

8

Figura 2.20. Distâncias dos pontos EF e ED ............................................................................ 41

Figura 2.21. Plano de área centróide C ..................................................................................... 42

Figura 2.22. Centróide de figura com dois eixos de simetria ................................................... 43

Figura 2.23. Centróide de figura com um eixo de simetria ...................................................... 44

Figura 2.24. Centróide da área composta ................................................................................. 46

Figura 2.25. Momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro ..................... 48

Figura 3.1. Carga concentrada no eixo bi-apoiado ................................................................... 50

Figura 3.2. Carga distribuída no eixo bi-apoiado ..................................................................... 51

Figura 3.3. Pontos de medição da deformação do eixo ............................................................ 51

Figura 3.4. Pontos de medição da deflexão. ............................................................................. 52

Figura 3.5. Dimensões do eixo ................................................................................................. 53

Figura 3.6. Gráfico esquemático dos momentos ...................................................................... 55

Figura 3.7. Declividade da tangente de referência ................................................................... 57

Figura 3.8. Declividade da tangente de referência ................................................................... 59

Figura 3.9. Pontos de medição da deflexão .............................................................................. 61

Figura 3.10. Dimensões do eixo ............................................................................................... 62

Figura 3.11 Gráfico esquemático dos momentos ..................................................................... 66

Figura 3.12. Declividade da tangente de referência ................................................................. 68


Figura 3.14. Gráfico esquemático dos momentos .................................................................... 75



Figura 3.17. Gráfico da deflexão em cada ponto do eixo para cada intensidade de força ....... 83

Figura 3.18. Gráfico do valor de deflexão pela carga, no ponto 3 ........................................... 84

Figura 4.1. Montagem dos acessórios no ensaio de flexão ...................................................... 92

Figura 4.2. Montagem dos acessórios no ensaio de flexão para o eixo com a aranha ............. 93

9

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1. Centróides de figuras planas .................................................................................. 45

Tabela 2.2. Área de figuras planas ........................................................................................... 49

Tabela 3.1. Diâmetros do eixo .................................................................................................. 53

Tabela 3.2. Fórmulas de momentos de inércia ......................................................................... 54

Tabela 3.3. Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas referentes ao

gráfico de momentos ................................................................................................................ 54

Tabela 3.4. Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos ............................................. 56

Tabela 3.5. Fórmulas de deflexão em cada ponto .................................................................... 57

Tabela 3.6. Valores da deflexão em cada ponto ....................................................................... 58

Tabela 3.7. Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos ............................................. 59

Tabela 3.8. Fórmulas de deflexão em cada ponto .................................................................... 60

Tabela 3.9. Valores da deflexão em cada ponto ....................................................................... 60

Tabela 3.10. Diâmetros do eixo ................................................................................................ 63

Tabela 3.11. Fórmulas de momentos de inércia ....................................................................... 63



Tabela 3.13. Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos ........................................... 67

Tabela 3.14. Fórmulas de deflexão em cada ponto .................................................................. 68

Tabela 3.15. Valores da deflexão em cada ponto ..................................................................... 69













10

Tabela 3.27. Deflexão do eixo liso e do eixo com o acoplamento aranha em cada ponto pelas

intensidades de força ................................................................................................................ 82

Tabela 3.28. Ganho (diminuição da deflexão) do eixo com o acoplamento tipo aranha para o

eixo liso no ponto 3 .................................................................................................................. 83

Tabela 4.1. Possíveis erros na medição .................................................................................... 89

Tabela 4.2. Acessórios e instrumentos utilizados no ensaio..................................................... 90

11

LISTA DE SÍMBOLOS

A área

a, b, c dimensões, distâncias

C centróide

E módulo de elasticidade, erro

F força

h altura

I momento de inércia de uma área plana

J momento de inércia polar

L comprimento

M momento fletor

P força concentrada

Q intensidade da carga distribuída

�� média

r raio

s desvio-padrão

u incerteza

V força cortante

v deflexão

v’, v’’ etc. dv/dx, dv/dx etc.

x, y, z distâncias, coordenadas do centróide

θ ângulo

k curvatura (k = 1 ρ⁄ )

ρ raio de curvatura

δ deflexão, entreferro

12

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 14

1.1. Histórico do eixo ............................................................................................................... 14

1.2. Objetivo ............................................................................................................................. 19

1.2.1. Objetivo geral ................................................................................................................. 19

1.2.2. Objetivo específico ......................................................................................................... 19

1.3 Justificativa. ........................................................................................................................ 19

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................................... 20

2.1. Vigas e eixos ...................................................................................................................... 20

2.1.1. Viga bi-apoiada............................................................................................................... 20

2.1.2. Viga em balanço ............................................................................................................. 20

2.1.3. Viga com extremidade em balanço ................................................................................ 21

2.2. Carregamentos transversais ............................................................................................... 21

2.2.1. Carga transversal concentrada ........................................................................................ 21

2.2.2. Carga transversal distribuída .......................................................................................... 22

2.3. Relações entre carga, força cortante e momento fletor ..................................................... 23

2.4. Diagrama força cortante e momento fletor ........................................................................ 25

2.5. Deformações de vigas ........................................................................................................ 27

2.5.1. Equação diferencial da linha elástica.............................................................................. 27

2.5.2. Cálculo da deflexão em vigas simplesmente apoiadas pelo método das integrações .... 32

2.5.3. Cálculo da deflexão em vigas simplesmente apoiadas pelo método das áreas .............. 35

2.6. Propriedades de áreas planas ............................................................................................. 42

2.6.1. Centróide de uma área .................................................................................................... 42

2.6.2. Centróide de área composta ............................................................................................ 46

2.6.3. Momento de inércia polar ............................................................................................... 47

2.6.4. Áreas ............................................................................................................................... 49

3. APLICAÇÃO DE MÉTODOS ANALÍTICOS PARA ESTIMATIVA DA

DEFLEXÃO DO EIXO .......................................................................................................... 50

3.1. Determinação das cargas à que o eixo está submetido em operação................................. 51

3.2. Aplicação dos Métodos de cálculo da deflexão em vigas bi-apoiadas .............................. 51

3.3. Análise dos resultados dos cálculos .................................................................................. 82

4. PLANEJAMENTO DOS ENSAIOS DE DEFLEXÃO EM VIGA BI- APOIADA ....... 85

13

4.1. Objetivo para os ensaios .................................................................................................... 85

4.2. Tipo de ensaio a ser realizado............................................................................................ 86

4.3. Medições ............................................................................................................................ 86

4.4. Avaliação de incerteza na determinação da deflexão do eixo ........................................... 87

4.5. Possíveis erros envolvidos nos ensaios ............................................................................. 89

4.6. Instrumentos e acessórios a serem utilizados .................................................................... 90

4.7. Ensaio de flexão................................................................................................................. 91

4.7.1. Procedimentos dos ensaios ............................................................................................. 91

5. CONCLUSÕES ................................................................................................................... 94

6. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 95

14

1. INTRODUÇÃO

1.1. Histórico do eixo

O trabalho de melhora de projeto refere-se a um eixo utilizado em motores e geradores

de grande porte de uma empresa que fabrica os mesmos.

Figura 1.1: Motores elétricos.

15

Figura 1.2: Geradores.

Motores e geradores são basicamente constituídos de três partes: a carcaça, o estator e

o rotor.

a. Carcaça

Carcaça é um conjunto sólido, que é a base estrutural da máquina.

Figura 1.3: Carcaças.

b. Estator

O estator, o nome já diz, é estático (não se move), é fixo na carcaça.

16

Figura 1.4: Estatores.

c. Rotor

O rotor encontra-se no centro do estator, é a parte girante do motor ou gerador.

Figura 1.5: Rotores.

17

No centro do rotor encontra-se o eixo. Este tem três tipos construtivos:

• Eixo liso;

• Eixo costelado;

• Eixo liso com acoplamento aranha.

Figura 1.6: Eixo liso.

Figura 1.7: Eixo costelado.

18

Figura 1.8: Eixo com acoplamento aranha.

A seleção do tipo é feito basicamente em função do tamanho do motor (carcaça), do

número de pólos e do tipo de material empregado na fabricação do eixo.

Eles são fabricados para suportar os esforços mecânicos nas mais diversas aplicações.

Dependendo da aplicação poderão ser utilizados os seguintes materiais: ASI 1040/45, 4140 ou

superiores.

Os eixos recebem um tratamento térmico com o objetivo de avaliar as tensões internas,

evitar empenamentos e aumentar a resistência à fadiga provocada pelos de torção e flexão.

O critério de aceitação é que a deflexão não ultrapasse 5% do valor do entreferro.

Sendo que o valor do entreferro varia de máquina para máquina.

Figura 1.9: Entreferro (δ = D – De2).

Nos motores de indução, esta necessidade de otimização (utilização do acoplamento

tipo aranha) deve-se ao fato de estarem solicitando potências cada vez maiores para a mesma

carcaça e/ou devido à severidade do tipo de aplicação onde o motor será empregado.

19

1.2. Objetivo

1.2.1. Objetivo geral

Aplicar conhecimentos de engenharia industrial mecânica para estimar a deflexão de um

eixo assim como avaliar as incertezas de medição.

1.2.2. Objetivo específico

1 Estimar os valores de deflexão do eixo com e sem o acoplamento tipo aranha por meio

e expressões analíticas;

2 Avaliação da diferença de deflexão do eixo com e sem o acoplamento tipo aranha;

3 Planejar ensaios mecânicos para o eixo com e sem o acoplamento tipo aranha.

1.3. Justificativa

Em relação aos eixos e rotores, a empresa utiliza três tipos construtivos:

a. Eixo liso;

b. Eixo costelado;

c. Eixo liso com acoplamento tipo aranha.

Para os eixos lisos e costelados, os cálculos empregados para a determinação da

deflexão já estão suficientemente desenvolvidos. Porém, não se tem um modelo de cálculo

que represente adequadamente a condição de eixos com acoplamento tipo aranha.

O ensaio servirá para validar os cálculos e para visualizar possíveis ajustes nos

cálculos e/ou no ensaio.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1. Vigas

Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas

em sua extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estas vigas são normalmente sujeitas a

cargas dispostas verticalmente,

cisalhamento e flexão, (BEER,

2.1.1. Viga simples

Uma viga, articulada nas duas extremidades, recebe o nome de viga simples. A

característica essencial de vigas desse tipo é que ambas as extremidades da viga podem girar

livremente durante a flexão, porem não

Além disso, uma das extremidades pode mover

horizontalmente), (TIMOSHENKO

apoios articulados devem ser,

(Fig. 2.1), (NASH, 1977).

2.1.2. Viga em balanço

Quando a viga é apoiada só em uma extremidade, de tal forma que, nesse ponto, não

possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas


cargas dispostas verticalmente, sendo que a aplicação da carga resultará em esforços de

BEER, 1995).

simples



livremente durante a flexão, porem não podem deslocar-se lateralmente (transversal ao eixo).

Além disso, uma das extremidades pode mover-se livremente na direção axial (isto é,

(TIMOSHENKO/GERE, 1994, pg. 78). Para tanto, para as vigas simples os

apoios articulados devem ser, um do tipo articulado fixo, e outro, do t

Figura 2.1: Viga bi-apoiada.

Viga em balanço


possam girar, quer o eixo, quer a seção transversal, diz-se que se trata de uma

20

de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas


resultará em esforços de



se lateralmente (transversal ao eixo).

se livremente na direção axial (isto é,

, 1994, pg. 78). Para tanto, para as vigas simples os

um do tipo articulado fixo, e outro, do tipo articulado móvel


se que se trata de uma viga engastada

ou em balanço. Na Fig. 2.2, apresenta

102).

2.1.3. Vigas simples com balanços

Quando a viga, simplesmente apoiada, se prolonga além de um, ou de ambos os

apoios, diz-se que se trata de vigas simples com balanços. É o que se mostra nas Fig. 2.3.

(NASH, 1977, pg. 103).

Figura 2.3: Viga

2.2. Carregamentos transversais

Uma viga pode estar submetida a

e cargas distribuídas, assim como as

2.2.1. Carga transversal

Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em um único ponto sobre a

estrutura, (Fig. 2.4). (www.cesec.ufpr.br

. Na Fig. 2.2, apresenta-se um exemplo desse tipo de viga. (NASH,

Figura 2.2: Viga em balanço.

Vigas simples com balanços


se que se trata de vigas simples com balanços. É o que se mostra nas Fig. 2.3.

Figura 2.3: Vigas com extremidade em balanço.

Carregamentos transversais

Uma viga pode estar submetida a diferentes tipos de cargas como cargas concentradas

, assim como as combinações entre ambas.

transversal concentrada


www.cesec.ufpr.br, 2008).

21

se um exemplo desse tipo de viga. (NASH, 1977, Pg.


se que se trata de vigas simples com balanços. É o que se mostra nas Fig. 2.3.

com extremidade em balanço.

diferentes tipos de cargas como cargas concentradas


2.2.2. Carga transversal

Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por unidade de

comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m)

(www.cesec.ufpr.br, 2008)

Quando a carga por unidade de comprimento possui valor constante, é atribuído o

nome de carga uniformemente distribuída

Figura 2.6: Carga uniformemente

Figura 2.4: Carga concentrada.

Carga transversal distribuída


comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m)

Figura 2.5: Carga distribuida.


carga uniformemente distribuída (Fig. 2.6). (www.cesec.ufpr.br

Figura 2.6: Carga uniformemente distribuida.

22


comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m) (Fig. 2.5).


www.cesec.ufpr.br, 2008).

23

2.3. Relações entre carga, força cortante e momento fletor

Este capítulo segue referente à TIMOSHENKO/GERE, 1994.

A força cortante, V, momento fletor, M, e as cargas que atuam na viga possuem

relações importantes. Considerando um elemento de viga, obtido por meio de duas seções

transversais distantes dx uma da outra (Fig. 2.6a). Se a força cortante V e o momento fletor M

que atuam no lado esquerdo do elemento forem positivos, terão os sentidos vistos na Fig. 2.7.

Em geral, a força cortante e o momento fletor variam com a grandeza x, medida ao longo do

eixo da viga; assim, terão valores ligeiramente diferentes na face direita do elemento

considerado, em relação à face esquerda. Chamando esses acréscimos de dV ou dM,

respectivamente, tem-se para a face direita V + dV e M + dM. A carga que atua no elemento

pode ser concentrada, distribuída ou um momento. Supondo que a carga seja distribuída, com

uma taxa de carregamento q, vê-se, pela Fig. 2.7a, que a carga total (suposta positiva quando

q atua para baixo) é igual à qdx. Assim, do equilíbrio das forças na direção vertical, tem-se:

� − �� + �� − �� = 0 (2.1)

ou

�� = −� (2.2)

Assim, quando uma carga distribuída, q, atua, a força cortante varia ao longo da viga e

a taxa de variação em relação a x é –q. Segue-se que, quando � = 0, a força cortante V é

constante.

24

Fig. 2.7: Elemento de viga, utilizado para dedução das reações entre carga, força

cortante e momento fletor.

Fazendo o somatório dos momentos em torno do eixo que passa pela face esquerda do

elemento visto na Fig. 2.7a, encontra-se:

� + �� + �� + �� − �� + �� = 0 (2.3)

Desprezando os produtos de diferenciais, obtém-se a seguinte relação:

�� = � (2.4)

Esta equação mostra que a taxa de variação do momento fletor é igual ao valor

algébrico da força cortante, desde que uma carga distribuída (ou nenhuma carga) atue na viga.

Supondo-se agora que o elemento da viga suporte uma carga concentrada P (ver Fig.

2.7b). Analisando o equilíbrio do elemento na direção vertical, vê-se que há variação brusca,

ou descontinuidade, na força cortante entre os dois lados do elemento. V1 na força cortante é

igual à carga P, com sinal negativo, ou seja,

�1 = −� (2.5)

Então, ao passar da esquerda do ponto de aplicação da força para a direita, a força

cortante sofre um decréscimo brusco de valor igual a P. No lado esquerdo do elemento, a taxa

de variação do momento fletor é

25

�� = � (2.6)

enquanto na face direita,

�� = � + �1 (2.7)

Portanto, conclui-se que, no ponto de aplicação de uma carga concentrada P, a taxa de

variação dM/dx decresce bruscamente num valor igual a P.

O último caso a ser considerado é o de uma carga em forma de momento, M0 (Fig.

2.7c). Do equilíbrio na direção vertical, tem-se:

�� = 0

o que mostra que a força cortante permanece constante quando se passa de um lado para outro

do ponto de aplicação da carga. O equilíbrio dos momentos resulta em:

� + �0 + �� − �� + �1� = 0 (2.8)

ou

�1 = �0 (2.9)

Onde, M1 é o acréscimo do momento fletor. Esta equação mostra que há um súbito aumento

no momento fletor da viga, decorrente do conjugado M0 aplicado, quando se considera a viga

da esquerda para direita.

2.4. Diagrama de força cortante e momento fletor

Segundo BEER (1995, pg. 712), “a determinação dos valores máximos absolutos da

força cortante o do momento fletor fica bem facilitada se os valores de V e M são marcados

em relação à distância x medida a partir de uma extremidade da viga”.

Figura 2.8: Diagramas de forças cortantes e momentos fletores para vigas simplesmente

Como ilustração, consider

concentrada P (Fig. 2.6a). A

�� = !"

�! = �"

Em qualquer seção transversal à esquerda de

0 # � # $, pode-se concluir do equilíbrio, que:

� � !"

� � !" �

Estas expressões mostram que a força cortante permanece constante do apoio

ponto de aplicação da carga, enquanto o momento fletor é função linear de

Para � � 0, o momento é nulo

Para � � $, é igual a


apoiadas com carga concentrada.

Como ilustração, considerando uma viga simplesmente apoiada,

As reações dos apoios são:

Em qualquer seção transversal à esquerda de P, isto é, em qualquer s

se concluir do equilíbrio, que:

Estas expressões mostram que a força cortante permanece constante do apoio

ponto de aplicação da carga, enquanto o momento fletor é função linear de

, o momento é nulo.

, é igual a.

26


uma viga simplesmente apoiada, AB, com uma carga

(2.10)

(2.11)

, isto é, em qualquer seção em que

(2.12)

(2.13)

Estas expressões mostram que a força cortante permanece constante do apoio A até o

ponto de aplicação da carga, enquanto o momento fletor é função linear de x.

27

�$%/&

Os diagramas correspondentes a essa parte, para a força cortante e para o momento

fletor, encontram-se nas Fig. 2.8b e c, respectivamente.

Para uma seção transversal à direita de P, isto é, para $ < � < &, tem-se:

� = !" − � = − �

" (2.14)

� = !" � − �� − $� = �$ �1 − �

"� (2.15)

Verifico novamente que a força cortante e o momento fletor é função linear de x.

Quando � = $, o momento fletor é:

�$%/&

e quando � = & é nulo.

As Fig. 2.8b e c mostram os diagramas completos para a força cortante e o momento

fletor. Nota-se que a declividade ��/�� do diagrama de momentos fletores é igual a V, e que

a declividade ��/�� do diagrama de forças cortantes é – � (isto é, igual a zero), de acordo

com a equação:

�� = −� (2.16)

No ponto de aplicação da carga P, há uma variação brusca no diagrama de forças

cortantes (igual a P) e uma variação correspondente no dos momentos fletores.

(TIMOSHENKO/GERE, 1994).

2.5. Deformações de vigas

2.5.1. Equação diferencial da linha elástica

As cargas transversais que atuam sobre uma viga causam deformações, curvando seu

eixo longitudinal.

Considerando uma viga simplesmente apoiada,

da aplicação da carga P, o eixo longitudinal da viga é reto. Depois da flexão, o eixo torna

curvo (linha ACB). Supondo que

nesse plano. A curva ACB, denominada

Figura 2.9: Linha elástica de viga fletida.

Para reduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza

curvatura k e o momento fletor

curvatura da viga fletida relaciona

supõe que o eixo x é positivo para a direita e que

2.9a, admitindo que a curvatura da viga seja positiva, se a viga fletida for côncava para baixo

e negativa se for côncava para cima. A viga represent

curvatura negativa. Continuando a adotar a convenção de sinais em que um momento fletor

positivo produz curvatura negativa, enquanto um negativo produzirá curvatura positiva.

Assim, altera-se a equação:

( = )* = �

+,

para a seguinte:

( = )* = − �

+,

Considerando uma viga simplesmente apoiada, AB, representada na Fig. 2.9a.

, o eixo longitudinal da viga é reto. Depois da flexão, o eixo torna

Supondo que xy seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam

, denominada linha elástica, situa-se nele também.

Figura 2.9: Linha elástica de viga fletida.

Para reduzir a equação diferencial da linha elástica, utiliza-

e o momento fletor M. Deve-se, entretanto, notar que a convenção de sinais para a

curvatura da viga fletida relaciona-se com o sentido dado aos eixos coordenados

é positivo para a direita e que y é positivo para baixo, como se vê na Fig.


e negativa se for côncava para cima. A viga representada na Fig. 2.9a está fletida com



:

28

representada na Fig. 2.9a. Antes

, o eixo longitudinal da viga é reto. Depois da flexão, o eixo torna-se

seja um plano de simetria e que todas as cargas estejam

se nele também.

-se a relação entre a

se, entretanto, notar que a convenção de sinais para a

se com o sentido dado aos eixos coordenados. Quando se

é positivo para baixo, como se vê na Fig.


ada na Fig. 2.9a está fletida com



(2.17)

(2.18)

29

Para estabelecer a relação entre a curvatura k e a equação da linha elástica, considera-

se dois pontos, -) e -, distantes ds um do outro (Fig. 2.9a). Em cada um desses pontos,

traça-se uma normal à tangente da curva; estas normais cortam-se no centro de curvatura, O.

Admitindo que a tangente à linha elástica no ponto -) faça um ângulo . com o eixo x (Fig.

2.9b), no ponto -, o ângulo correspondente será . − �., onde �. é o ângulo entre as

normais /-) e /-. A figura mostra que:

�0 = 1�. (2.19)

e que

)* = �2

�3 (2.20)

Então, a curvatura k é igual a taxa de variação do ângulo ., em relação à distância s,

medida ao longo da linha elástica:

( = )* = �2

�3 (2.21)

Para a curvatura representada na Fig. 2.9b, a quantidade

�./�0 é negativa,

porque o ângulo . decresce, quando se passa da esquerda para a direita, segundo a curva

elástica.

Na maioria das aplicações práticas ocorrem apenas pequenas deformações nas vigas.

As linhas elásticas são muito achatadas e tanto o ângulo . quanto a inclinação da curva são

quantidades muito pequenas, podendo-se, então, admitir que:

�0 ≈ �� (2.22)

. ≈ 56. = �7�� (2.23)

Onde, v é a deflexão da viga a partir de sua posição inicial (ver Fig. 2.9a). Substituindo essas

expressões na equação de k anterior, tem-se:

30

( = )* = �2

�� = �87��8 (2.24)

Combinando com a Eq. 2.18, tem-se:

�87��8 = − �

+, (2.25)

Esta é a equação diferencial básica para a linha elástica de uma viga, que deve ser

integrada em cada caso particular para se ter a deflexão v.

As convenções de sinais a serem consideradas na equação anterior são:

a. Os eixos x e y são positivos nos sentidos indicados na Fig. 2.9a, ou seja, para a

direita e para baixo;

b. A deflexão v é positiva quando estiver no sentido positivo de y;

c. O momento fletor M é positivo quando produz compressão na parte superior da

viga. Se a convenção de sinais para v ou para M for invertida (por exemplo,

tornando v positivo para cima) o sinal negativo da equação anterior deve ser

mudado para positivo.

Derivando a Eq. 2.25 em relação a x e considerando as equações:

� = ��/��

e

� = ��/��, obtém-se:

�97��9 = − �

+, (2.26)

�:7��: = ;

+, (2.27)

31

Para simplificar as discussões que seguem, as derivadas são indicadas por meio de

“linhas”, assim:

<= ≡ �7��; <′′ ≡ �87

��8; <=== ≡ �97��9; <′′′′ ≡ �:7

��:. (2.28)

Com esta notação, as equações diferenciais vistas anteriormente tomam as seguintes

formas:

@A<′= = −�; @A<′= = −�; @A<==== = �. (2.29)

Expressão exata para a Curvatura. Quando a linha elástica tem grande inclinação, não

é possível admitir as simplificações dadas pela Eq. 2.23. Deve-se, então, usar a expressão

exata, relacionando a inclinação v’ com o ângulo de rotação . do eixo da viga:

56. = <′ (2.30)

ou

. = $BC56 <′ (2.31)

Desta forma,

( � )* � �2

�3 � �(�DEFG 7H)��

�3 (2.32)

Como �0 � �� + �<, tem-se:

�3�� I1 + ��7

��J)/

� K1 + (<′)L)/ (2.33)

Sendo:

32

�� $BC56 <=) � 7==

)M(7=)8 (2.34)

Obtém-se:

( � )* � �2

�3 � 7==K)M(7=)8L9/8 (2.35)

Comparando esta expressão com a Eq. 2.24, vê-se que a hipótese de uma linha elástica

achatada equivale a se desprezar (<′) em comparação com a unidade, o que torna o

denominador da Eq. 2.35 igual a um. Esta equação deve ser usada para a curvatura, quando o

problema a resolver envolve grandes deflexões das vigas. (TIMOSHENKO/GERE, 1994).

2.5.2. Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das

integrações

A equação diferencial da linha elástica é usada para a obtenção da deflexão de uma

viga simplesmente apoiada. Se a viga suporta uma carga uniformemente distribuída, com a

taxa q (ver Fig. 2.10), o momento fletor, à distância x do apoio da esquerda, será:

� � ;"� − ;�8

(2.36)

e a equação @A<== � −� permitirá escrever:

@A<== � − ;"� + ;�8

(2.37)

33

Figura 2.10: Linha elástica de viga simplesmente apoiada com carga uniformemente

distribuída.

Multiplicando ambos os membros da Eq. 2.37 por dx e integrando, tem-se:

@A<= = − ;"�8N + ;�9

O + P) (2.38)

Onde, C1 é uma constante de integração. Na determinação desta constante, observa-se que,

pela simetria, a inclinação da curva elástica no meio do vão é zero. Então, tem-se a condição:

<= = 0

quando � = &/2

que, mais sucintamente, pode ser escrita:

<= �"� = 0 (2.39)

Entrando com esta condição na Eq. 2.38, tem-se:

P) = ;"8N (2.40)

o que transforma a Eq. 2.38, em:

@A<= = − ;"�8N + ;�9

O + ;"9N (2.41)

34

Novamente, multiplicando ambos os membros da equação por dx e integrando, tem-se:

@A< = − ;"�9) + ;�:

N + ;"9�N + P (2.42)

A constante de integração, P, pode ser encontrada porque

< = 0

quando � = 0, ou

<�0� = 0

Esta condição, na Eq. 2.42, dá P = 0 e a equação de 2.42 transforma-se em

< = ;�N+, �&R − 2&� + �R� (2.43)

A equação 2.43 permite achar a deflexão em qualquer ponto da viga. O valor máximo,

S, ocorre no meio do vão e é calculado fazendo-se � = &/2 na equação de < acima. Tem-se

então:

S = <Tá� = V;":RWN+, (2.44)

A inclinação máxima ocorre nas extremidades da viga. Na extremidade esquerda

(x=0), a Eq. 2.41 (TIMOSHENKO/GERE, 1994) tem-se:

.� = <′Tá� = ;"9N+, (2.45)

2.5.3. Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das áreas

� Teoremas relativos às áreas do diagrama de momento

Considerando uma viga

Desenha-se o diagrama que representa a variação de grandeza

pela divisão do momento fletor

é constante para toda a viga, vê

fletores, exceto por uma diferença de escalas e ordenadas.

Lembrando que �X⁄

�2�� = �8Y

��8 = �+,

ou

�. = �+, ��

Figura 2.11: Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação.

Considerando dois pontos quaisquer de viga,

Eq. 2.47 de C até D, obtém

Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das áreas

Teoremas relativos às áreas do diagrama de momento

Considerando uma viga AB submetida a um carregamento arbitrário (Fig. 2.11a).

se o diagrama que representa a variação de grandeza �/@A ao longo do vão, obtido

pela divisão do momento fletor M pela rigidez flexional EI (Fig. 2.11b). Se a rigidez flexional

ra toda a viga, vê-se que esse diagrama é igual ao diagrama de momentos

fletores, exceto por uma diferença de escalas e ordenadas.

��⁄ � ., escreve-se:

: Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação.

Considerando dois pontos quaisquer de viga, C e D, e integrando os dois membros da

m-se:

35

Cálculo da deflexão em viga simplesmente apoiada pelo método das áreas

submetida a um carregamento arbitrário (Fig. 2.11a).

ao longo do vão, obtido

(Fig. 2.11b). Se a rigidez flexional

se que esse diagrama é igual ao diagrama de momentos

(2.46)

(2.47)

: Áreas do diagrama de momentos e ângulos de deformação.

, e integrando os dois membros da

Z �.2[2\ = Z �

+,�[

�\ ��

ou

.] − .^ = Z �+,

�[�\ ��

onde .^ e .] são as declividades dos pontos

segundo membro da equação acima representa a área sob o diagrama de

pontos C e D (Fig. 2.11d). Chamando esse ângulo de

_` a ⁄ = Área sob o diagrama de

Este é o primeiro teorema relativo à área do diagrama de momentos

O ângulo .] ^⁄ e a área sob o diagrama de

palavras, a uma área positiva (localizada acima do eixo

anti-horário da tangente à linha elástica, quando se move de

corresponde a uma rotação no sentido horári

Fig. 2.12: Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica.

Considerando os pontos

(Fig. 2.13). As tangentes à linha elástica interceptam a vertical pelo ponto

formam o comprimento dt

linha elástica por P e P’, são valores muito pequenos, e podemos adotar que

de circunferência de raio �)

��

são as declividades dos pontos C e D, respectivamente (Fig. 2.11c). Mas o

segundo membro da equação acima representa a área sob o diagrama de

(Fig. 2.11d). Chamando esse ângulo de .] ^⁄ , tem-se

= Área sob o diagrama de �b cd⁄ � entre C e D

primeiro teorema relativo à área do diagrama de momentos

e a área sob o diagrama de �� @A⁄ � têm o mesmo sinal. Em outras

palavras, a uma área positiva (localizada acima do eixo x) corresponde uma rotação no sentido

horário da tangente à linha elástica, quando se move de C para D

uma rotação no sentido horário.

: Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica.

Considerando os pontos P e P’ situados entre C e D e separados de uma distância

(Fig. 2.13). As tangentes à linha elástica interceptam a vertical pelo ponto

dt. A declividade em P e o ângulo �., formado pelas tangentes à

, são valores muito pequenos, e podemos adotar que

) subentendido pelo ângulo �.. Tem-se, desse modo:

36

(2.48)

(2.49)

, respectivamente (Fig. 2.11c). Mas o

segundo membro da equação acima representa a área sob o diagrama de �� @A⁄ � entre os

primeiro teorema relativo à área do diagrama de momentos.

têm o mesmo sinal. Em outras

) corresponde uma rotação no sentido

D. Uma área negativa

: Ângulo formado pelas tangentes à linha elástica.

e separados de uma distância dx

(Fig. 2.13). As tangentes à linha elástica interceptam a vertical pelo ponto C em pontos que

, formado pelas tangentes à

, são valores muito pequenos, e podemos adotar que dt é igual ao arco

se, desse modo:

�5 = �)�.

ou, substituindo o valor de

�5 = �) �+, ��

Fig. 2.13

Integrando a Eq. 2.51 de

elástica de C a D, a tangente pelo ponto

integral do primeiro membro representa então: a distância, medida na vertical, do ponto

tangente pelo ponto E. Essa distância, designada por

em relação a D. Tem-se dessa forma:

5^ ]⁄ = Z �)]

^�+, ��

ou, substituindo o valor de �. da equação 2.47:

Fig. 2.13: Distância ef na deformação.

Fig. 2.14: Distância ef no momento.

o a Eq. 2.51 de C até D. Vê-se que, enquanto o ponto

, a tangente pelo ponto P varre a vertical traçada por

integral do primeiro membro representa então: a distância, medida na vertical, do ponto

. Essa distância, designada por 5^ ]⁄ , é chamada desvio tangencial de C

se dessa forma:

37

(2.50)

(2.51)

se que, enquanto o ponto P percorre a linha

varre a vertical traçada por C desde C até E. A

integral do primeiro membro representa então: a distância, medida na vertical, do ponto C a

desvio tangencial de C

(2.52)

Nota-se que �� @A⁄o valor da Eq. 2.51 representa o momento estático desse elemento de área em relação a um

eixo vertical que passa por

estático em relação a esse eixo da área de diagrama

Fig. 2.15: Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D.

Assim, pode-se estabelecer o

momentos: o desvio tangen

área limitada pelo diagrama

passa pelo ponto C.

Recordando que o momento estático de uma área em relação a um eixo é igual ao

produto da área pela distância do seu centróide até o eixo, podemos escrever o segundo

teorema na forma

5^ ]⁄ = �ÁBh$ hi5Bh

Onde, a área se refere àquela limitada pelo diagrama

centróide da área até o eixo vertical que passa por

É necessário distinguir entre o desvio tangencial de

tangencial de D em relação a

distância vertical do ponto

@A�� representa um elemento de área sob o diagrama de

o valor da Eq. 2.51 representa o momento estático desse elemento de área em relação a um

eixo vertical que passa por C (Fig. 2.14). Assim, o segundo membro da Eq. 2.52 é o momento

ação a esse eixo da área de diagrama �� @A⁄ � situado entre

: Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D.

se estabelecer o segundo teorema relativo à área do diagrama de

momentos: o desvio tangencial de C em relação a D, 5^ ]⁄ , é igual ao momento estático da

área limitada pelo diagrama �� @A⁄ � entre os pontos C e D em relação ao eixo vertical que


oduto da área pela distância do seu centróide até o eixo, podemos escrever o segundo

hi5Bh P h j��k)

a área se refere àquela limitada pelo diagrama �� @A⁄ � e onde

centróide da área até o eixo vertical que passa por C (Fig. 2.15a).

É necessário distinguir entre o desvio tangencial de C em relação a

em relação a C, designado por 5^ ]⁄ . O desvio tangencial

distância vertical do ponto D à tangente à curva elástica traçada do ponto

38

representa um elemento de área sob o diagrama de �� @A⁄ � e

o valor da Eq. 2.51 representa o momento estático desse elemento de área em relação a um

o segundo membro da Eq. 2.52 é o momento

situado entre C e D.

: Distância do centróide da área até o eixo vertical que passa por C e D.

segundo teorema relativo à área do diagrama de

, é igual ao momento estático da

entre os pontos C e D em relação ao eixo vertical que


oduto da área pela distância do seu centróide até o eixo, podemos escrever o segundo

(2.53)

e onde �k) é a distância do

em relação a D, 5] ^⁄ , e o desvio

. O desvio tangencial 5] ^⁄ representa a

à tangente à curva elástica traçada do ponto C, e é obtido pelo

39

produto da área sob o diagrama de �� @A⁄ � pela distância �k do seu centróide até o eixo

vertical que passa por D (Fig. 2.15b).

5] ^⁄ = �ÁBh$ hi5Bh P h j)�k (2.54)

Nota-se que, se uma área limitada pelo diagrama de (� @A⁄ ) está situada acima do

eixo x, seu momento estático em relação a um eixo vertical será positivo; se ela está situada

abaixo do eixo x, seu momento estático será negativo. Nota-se na Fig. 2.15 que um ponto com

desvio tangencial positivo fica situado acima da tangente correspondente, enquanto um ponto

com desvio tangencial negativo ficaria situado abaixo da tangente correspondente.

� Vigas com carregamento assimétrico

Quando uma viga simplesmente apoiada, com ou sem balanços, suporta uma carga

assimétrica, não podendo encontrar por simples inspeção de viga, a tangente é horizontal.

Deve-se buscar outros meios de para adotar uma tangente de referência, isto é, uma tangente

de declividade conhecida para ser utilizada na aplicação dos teoremas relativos à área do

diagrama de momentos.

Usualmente, é mais prático adotar a tangente de referência em um dos apoios da viga.

Considerando, por exemplo, a tangente no apoio A da viga simplesmente apoiada AB (Fig.

2.16a). Pode-se determinar sua declividade calculando o desvio tangencial 5l m⁄ do apoio B,

em relação a A, e dividindo 5l m⁄ pelo vão L entre apoios.

Recordando que o desvio tangencial em um ponto situado acima da tangente é

positivo, escreve-se:

.m � − Fn o⁄" (2.55)

Fig. 2.16

Uma vez determinada a declividade da tangente de referência, a declividade

qualquer ponto D (Fig. 2.17) pode ser obt

.] m⁄ , e calcular-se:

.] = .m + .] m⁄

Fig. 2.18: Distância vertical entre o ponto D e a tangente de referência.

Fig. 2.16: Carga sobre viga e Declividade.

Uma vez determinada a declividade da tangente de referência, a declividade

(Fig. 2.17) pode ser obtida usando-se o primeiro teorema para obter

Fig. 2.17: Declividade no ponto D.


40

Uma vez determinada a declividade da tangente de referência, a declividade .]de

se o primeiro teorema para obter-se

(2.56)


O desvio tangencial

relativo às áreas do diagrama de momentos.

Vê-se que 5] m⁄ é igual ao segmento

D até a tangente de referência

vertical de D até a linha horizontal AB

segmento FD, essa deflexão pode ser expressa como a diferença entre

Os triângulos semelhantes AFE

+p� = ql

"

ou

@r = �" 5l m⁄

Fig. 2.19: Distância vertical entre o ponto D e a linha horizontal AB.

Fig. 2.20: Distâncias dos pontos EF e ED.

e lembrando a convenção de sinais adotada para

(BEER, 1995):

O desvio tangencial 5] m⁄ de D em relação ao apoio A é obtido do segundo teorema

relativo às áreas do diagrama de momentos.

é igual ao segmento ED (Fig. 2.18) e representa a distância vertical de

até a tangente de referência. Por outro lado, a deflexão X]no ponto D

D até a linha horizontal AB (Fig. 2.19). Como X] tem o mesmo comprimento do

, essa deflexão pode ser expressa como a diferença entre

AFE e ABH levam a:


Fig. 2.20: Distâncias dos pontos EF e ED.

e lembrando a convenção de sinais adotada para deflexões e desvios tangenciais, escreve

41

é obtido do segundo teorema

(Fig. 2.18) e representa a distância vertical de

D representa a distância

tem o mesmo comprimento do

, essa deflexão pode ser expressa como a diferença entre EF e ED (Fig. 2.20).

(2.56)

(2.57)


deflexões e desvios tangenciais, escreve-se

42

X] = @j − @r = 5] m⁄ − �" 5] m⁄ (2.58)

2.6. Propriedades de áreas planas

2.6.1. Centroide de uma área

A fim de definir as coordenadas do centróide de uma área, utiliza-se a área s e o

sistema de coordenadas x, y, mostrado na Fig. 2.21, onde também se vê um elemento de área

�s, de coordenadas x e y. A área total s pode ser achada por integração, conforme segue:

s = Z �s (2.59)

Figura 2.21: Plano de área centróide C.

As distâncias � e X ao centróide C da área são obtidas das equações:

�k = Z ��mZ �m (2.60)

X� = Z Y�mZ �m (2.61)

43

Onde se entende que as instalações devem ser executadas sobre toda a área s.

Os numerados que aparecem nas equações anteriores são conhecidos como os

momentos estáticos de área e serão representados pelo símbolo t. Portanto, tem-se

t� = Z X �s (2.62)

tY = Z � �s (2.63)

onde, t� é o momento estático em relação ao eixo x e tY é o momento estático em relação ao

eixo y. Usando esta simbologia, pode-se escrever as equações para as coordenadas do

centróide:

�k = uvm (2.64)

X� = uwm (2.65)

Todas as vezes que os contornos da área forem definidos por expressões analíticas

simples, calcula-se as integrais na primeira e na terceira equação e, então, usa-se as Eqs. 2.64

e 2.65 para localizar o centróide.

Figura 2.22: Centróide de figura com dois eixos de simetria.

Existem casos nos quais a posição do centróide pode ser determinada por inspeção.

Por exemplo, quando uma área tem dois eixos de simetria (Fig. 2.22), o centróide localiza-se

na sua interseção, quando a área tem um eixo de simetria (Fig. 2.23), o centróide localiza-se

44

em algum lugar neste eixo, necessitando-se, apenas, de uma coordenada para se localizar C.

Finalmente, se a área for simétrica em relação a um ponto (apesar de não ter nenhum eixo de

simetria), este ponto será o centróide (ver a Fig. 2.23).

Figura. 2.23: Centróide de figura com um eixo de simetria.

45

Na tabela a seguir tem as localizações dos centróides para várias formas de áreas

planas.

Plano Figura Centróide

Retângulo

�k = %2 X� = ℎ

2

Triângulo

�k = % + C3 X� = ℎ

3

Trapézio

--- X� = ℎ�2$ + %�3�$ + %�

Parábola

�k = 3%8 X� = 2ℎ

5

Tabela 2.1: Centróides de figuras planas.

Quando os contornos da área são curvas irregulares, é possível dividi-la em pequenos

elementos, ∆s, e substituir as integrais por somatórios:

s = ∑ ∆s (2.66)

t� = ∑ X∆s (2.67)

tY = ∑ �∆s (2.68)

46

As quantidades encontradas para estes somatórios podem ser substituídas nas Eqs.

2.64 e 2.65 para se obter x e y. Os resultados obtidos deste modo serão boas aproximações dos

valores exatos desde que os elementos de área ∆s não sejam muito grandes.


2.6.2. Centróides de áreas compostas

Na prática, freqüentemente são encontradas áreas compostas por partes, com formas

geométrica familiares, para as quais já são conhecidas as áreas e as posições dos centróides.

Para determinar as áreas e localizar os centróides destas figuras, é preciso somente substituir a

área em partes adequadas e usar o somatório ao invés de integração.

Para ilustrar este método, considera-se a área composta, mostrada na Figura 2.24. Esta

área pode se subdividida em dois retângulos de área s) e s e centróides P) e P, cujas

localizações são consideradas conhecidas. Representando por �), X) e �, X as coordenadas

de P) e P, respectivamente, obtém-se para as coordenadas do centróide P da área composta

as seguintes expressões.

�k = �~m~M�8m8m~Mm8 (2.69)

X� = Y~m~MY8m8m~Mm8 (2.70)

Figura 2.24: Centróide da área composta.

47

Generalizando este exemplo, observa-se que é possível usar as seguintes expressões na

obtenção das propriedades de qualquer área composta:

s = ∑ s� (2.71)

t� = ∑ X�s� (2.72)

tY = ∑ ��s� (2.73)

onde s� representa um componente de área com coordenadas do centróide �� e X�, e os

somatórios, incluindo todas estas áreas que compreendem a área composta total. Estas

equações são válidas independentemente do número de áreas componentes. No caso particular

em que a área é dividida em somente duas partes, como na Fig 2.4, o centróide P da área

inteira sempre se localiza na linha de junção dos centróides P) e P. (TIMOSHENKO/GERE,

1994).

2.6.3. Momento de inércia polar

O momento de inércia de uma área plana, em relação a um eixo perpendicular ao

plano da área, é chamado momento de inércia polar e definido como a integral.

� = Z 1�s (2.74)

na qual cada elemento de área �s (ver Fig. 2.21) é multiplicado pelo quadrado da distância 1

ao ponto /, onde o eixo intercepta o plano. A integração dada na Eq. 2.74 é estendida sobre

toda a área s.

Com referência à Fig. 2.21, nota-se que 1 = � + X e, conseqüentemente, da Eq.

2.74 obtém-se:

� = Z�� + X��s = A� + AY (2.75)

Esta equação mostra que o momento de inércia polar, em relação a qualquer p

é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares

passam pelo mesmo ponto.

Considerando o cálculo do momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu

centro (Fig. 2.25). Dividindo a área do círculo em

área do anel torna-se:

�s = 2�1 �1

e, por definição, seu momento de inér

2�1R �1

Para obter o momento

toda a área:

� = Z 2�1R� ⁄� �1 �

onde, d é o diâmetro e r é o raio do círculo.

Figura 2.25: Momento de inércia polar de um círculo em relação ao

Determinado o momento de inércia polar em relação a seu centro, pode

achar seus momentos de inércia em relação a um diâmetro. Como o momento de inércia é o

mesmo para todos os diâmetros, vê

Esta equação mostra que o momento de inércia polar, em relação a qualquer p

é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares

o cálculo do momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu

Dividindo a área do círculo em anéis de raio 1 e espessura

e, por definição, seu momento de inércia polar em relação ao centro torna

Para obter o momento de inércia polar de toda a área circular, é preciso integrar sobre

� ��:R � �D:

é o raio do círculo.

omento de inércia polar de um círculo em relação ao

Determinado o momento de inércia polar em relação a seu centro, pode


mesmo para todos os diâmetros, vê-se pela Eq. 2.25 (TIMOSHENKO/GERE

48

Esta equação mostra que o momento de inércia polar, em relação a qualquer ponto O,

é igual à soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares x e y, que

o cálculo do momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu

e espessura �1, vê-se que a

(2.76)

cia polar em relação ao centro torna-se:

(2.77)

de inércia polar de toda a área circular, é preciso integrar sobre

(2.78)

omento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro.

Determinado o momento de inércia polar em relação a seu centro, pode-se facilmente


/GERE, 1994) que:

49

A� = AY = � = ��:

ON = �D:N (2.79)

2.6.4. Áreas

Na tabela abaixo, as áreas de figuras geométricas são apresentadas.


Plano Figura Área

Retângulo

s = %ℎ

Triângulo

s = %ℎ2

Trapézio

s = ℎ�$ + %�2

Parábola

s = 2%ℎ3

Tabela 2.2: Área de figuras planas.

50

3. Determinação das cargas à que o eixo está submetido em operação

No estudo dos ensaios, o eixo apresenta duas situações distintas.

a. Eixo liso (sem aranha)

Na análise para eixo liso (sem o acoplamento tipo aranha), o eixo foi considerado

como uma viga não prismática de seção circular bi-apoiada suportando uma carga

concentrada (Fig. 3.1).

Figura. 3.1: Carga concentrada no eixo bi-apoiado.

b. Eixo com acoplamento tipo aranha

Na análise para eixo com o acoplamento tipo aranha, foi considerado que o conjunto

suporta uma carga concentrada, que atua sobre o dispositivo tipo aranha, que, por sua vez,

transmite a carga de forma distribuída sobre o eixo. Assim, o conjunto foi considerado como

sendo uma viga não-prismática de seção circular bi-apoiada com dois carregamentos

distribuídos (Fig. 3.2).

51

Figura 3.2: Carga distribuída no eixo bi-apoiado.

3.1. Pontos de avaliação de deflexão

Na figura 3.3 estão indicados os pontos onde serão avaliados os valores de deformação

do eixo.

Figura 3.3: Pontos de medição da deformação do eixo.

3.2. Aplicação dos métodos de cálculo da deflexão em vigas bi-apoiadas

Para calcular os valores de deflexão do eixo foi utilizada uma ferramenta

computacional chamada Mathcad.

52

Primeiramente os cálculos foram realizados considerando uma viga prismática

unidimensional, onde o cálculo de deflexão pode ser encontrado com o método das

integrações. Porém, com a variação de diâmetros no eixo, ficou inviável a determinação das

deflexões pelo método das integrações devido ao grande número de constantes que o método

apresentou. Para esta situação foi utilizado o método das áreas, ficando simplificada a

determinação das deflexões dos pontos.

Os ensaios terão quatro níveis de intensidades de força, mas nos cálculos a seguir

estarão apresentados apenas os resultados para somente uma intensidade de força (a maior

intensidade, 20000N, que foi a força limite indicada pela empresa), e posteriormente uma

tabela com os valores dos cálculos das deflexões para cada intensidade de força.

a. Cálculo da deflexão no eixo liso (sem o acoplamento tipo aranha)

Conforme previamente mencionado, para determinar as deflexões em três pontos pré-

definidos ao longo do eixo, foi utilizado o método das áreas de momento para calcular a

deflexão pelo método das áreas de momento, foi, assim, definida uma extremidade do eixo

como referência. Á título de validação (prova real) dos cálculos, os mesmos foram refeitos,

porém, utilizando outra extremidade do eixo como referência. Assim, os valores encontrados

calculando-se a deflexão por uma extremidade ou por outra tem que serem igual valor ou,

dependendo da ocasião, valores bem próximos.

Figura 3.4: Pontos de medição da deflexão.

53

EIXO NÃO PRISMÁTICO SEM ACOPLAMENTO ARANHA

(CARGA CONCENTRADA)

� Dados de entrada:

Figura 3.5: Dimensões do eixo.

Diâmetros do eixo

Tabela 3.1: Diâmetros do eixo.

54

� Formulários:

As fórmulas dos momentos de inércia (Tabela 3.2), são referentes as seções

apresentadas no eixo, que nesse caso são seções circulares.

Momentos de inércia

Tabela 3.2: Fórmulas de momentos de inércia.

As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas, demonstrada na Fig.

3.6.

Área Centróide

55

Tabela 3.3: Fórmulas para estimar as áreas e centróides das figuras geométricas

referentes ao gráfico de momentos.

Gráfico Esquemático dos Momentos:

Figura 3.6: Gráfico esquemático dos momentos.

56

Na Tabela 3.4 estão às fórmulas para estimar a distância entre o eixo e a tangente do

ponto C (Fig. 3.7).

Pontos Fórmulas

DC

UV

UVR

UVN

Tabela 3.4: Fórmulas para estimar as distâncias entre os pontos.

57

Figura 3.7: Declividade da tangente de referência.

A deflexão em cada ponto é a subtração da distância entre os pontos UV e TV.

Ponto Fórmulas

2

3

4

Tabela 3.5: Fórmulas de deflexão em cada ponto.

58

� Resultados

Os valores de deflexão em cada ponto de medição está disponível na Tabela 3.6.

Ponto Deflexão

2

3

4

Tabela 3.6: Valores da deflexão em cada ponto.

Comprovação dos Cálculos

Os valores de deflexão encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o

ponto C, tem que ser iguais aos valores encontrados, nos mesmo pontos, tomando como

referência o ponto D.

� Fórmulário


ponto D (Fig. 3.8).

59

Pontos Fórmulas

CD

UV.)

UVR.)

UVN.)



60


Ponto Fórmulas

2.1

3.1

4.1


� Resultados


Ponto Deflexão

2

3

4


Como os valores encontrados por um ponto de referência são iguais e/ou bem

próximos dos encontrados pelo outro ponto de referência, considera-se que os cálculos estão

corretos.

61

b. Cálculo da deflexão no eixo com o acoplamento tipo aranha

Para o cálculo da deflexão no eixo com acoplamento tipo aranha foi utilizado o

método das áreas de momento para determinar as deflexões em três pontos pré-definidos ao

longo do eixo. Neste caso, como são duas forças atuando no eixo, os cálculos foram

subdivididos em três partes.

Primeiro foram calculadas as deflexões nos pontos levando em consideração apenas

uma força sobre o eixo, sendo considerado, neste caso, a carga que atua do lado esquerdo do

eixo.

Depois os cálculos foram repetidos, porém considerando apenas a carga que atua na

parte direita do eixo.

Finalizando, as deflexões encontradas no ponto2, 3 e 4, considerando a carga da

esquerda e a carga da direita, são somadas, assim encontrando o valor total da deflexão no

ponto2, 3 e 4.

Para calcular a deflexão pelo método das áreas de momento, foi definida uma

extremidade do eixo como referência. Á título de validação dos cálculos, os procedimentos

foram refeitos utilizando, porém, a outra extremidade do eixo como base. Assim os valores

encontrados calculando-se a deflexão por uma extremidade ou por outra tem que ser de igual

valor ou, dependendo da ocasião, valores bem próximos.

Figura 3.9: Pontos de medição da deflexão.

62

EIXO NÃO PRISMÁTICO COM ACOPLAMENTO ARANHA

(CARGA DISTRIBUIDA)

� Dados de entrada

Figura 3.10: Dimensões do eixo.

63

Diâmetros do eixo

Tabela 3.10: Diâmetros do eixo.

� Formulário

As fórmulas dos momentos de inércia (Tabela 3.11), são referentes as seções

apresentadas no eixo, que nesse caso são seções circulares.

Momentos de inércia

Tabela 3.11: Fórmulas de momentos de inércia.

64

CARGA DISTRIBUÍDA ESQUERDA:

� Formulário

As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas (Tabela 3.12),

demonstrada na Fig. 3.12.

Áreas Centróides

66





ponto C (Fig. 3.12).

67

Pontos Formulas

DC

UV

UVR

UVN


68



Ponto Fórmulas

2

3

4


69

� Resultados


Ponto Deflexão

2

3

4



Os valores encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o ponto C tem

que ser iguais aos valores encontrados nos mesmo pontos, tomando como referência o ponto

D.

70

� Formulário


ponto D (Fig. 3.13).

Pontos Fórmulas

CD

UV.)

UVR.)

UVN.)


71



Ponto Fórmulas

2.1

3.1

4.1


72

� Resultados


Ponto Deflexão

2.1

3.1

4.1


Como os valores encontrados por um ponto de referência são iguais e/ou bem

próximos dos encontrados pelo outro ponto de referência, considera-se que os cálculos estão

corretos.

73

CARGA DISTRIBUÍDA DIREITA

� Formulário

As fórmulas de área e centróide são referentes às figuras planas (Tabela 3.19),

demonstrada na Fig. 3.14.

Áreas Centróides

75





ponto C (Fig. 3.15).

76

Pontos Fórmulas

DC

UV

UVR

UVN


77



Ponto Fórmulas

2

3

4


78

� Resultados


Ponto Deflexão

2

3

4



Os valores encontrados nos pontos 2, 3 e 4, tomando como referência o ponto C tem

que ser iguais aos valores encontrados nos mesmo pontos, tomando como referência o ponto

D.

� Fórmulário


ponto D (Fig. 3.16).

79

Pontos Fórmulas

CD

UV.)

UVR.)

UVN.)


80



Ponto Fórmulas

2.1

3.1

4.1


� Resultados


81

Ponto Deflexão

2.1

3.1

4.1


DEFLEXÕES TOTAIS

Para estimar a deflexão total em cada ponto, foram somados os valores encontrados

considerando somente o carregamento da esquerda com os valores encontrados considerando

somente o carregamento da direita.

Ponto Deflexão

2

3

4


82

3.3. Análise dos resultados dos cálculos

Lembrando que o eixo foi submetido a quatro diferentes intensidades de cargas.

Assim foi montada a Tabela 3.27, com cada intensidade de carga atuando sobre o eixo,

isso para o eixo liso e para o eixo com o acoplamento tipo aranha, com os valores das

deflexões em cada ponto.

Tabela 3.27: Deflexão do eixo liso e do eixo com o acoplamento aranha em cada ponto

pelas intensidades de força.

Com o intuito de facilitar a visualização das deflexões originadas por cada intensidade

de força em cada ponto de medição sobre o eixo, foram plotados os respectivos valores em

um só gráfico (Figura 3.17).

83

Figura 3.17: Gráfico da deflexão em cada ponto do eixo para cada intensidade de força.

Para obter um percentual de diferença de deflexão, foi elaborada a Tabela 3.28, onde

foi colocado os valores das deflexões do ponto 3 para cada carga, que é o ponto que

apresentou um valor superior de deflexões comparado com os demais pontos, e foi plotado

um gráfico da deflexão pela carga (Figura 3.18).

Tabela 3.28: Ganho (diminuição da deflexão) do eixo com o acoplamento tipo aranha

para o eixo liso no ponto 3.

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Deflexão nos Pontos

Eixo c/ Aranha - 5000N Eixo Liso - 5000N Eixo c/ Aranha - 10000N

Eixo Liso - 10000N Eixo c/ Aranha - 15000N Eixo Liso - 15000N

Eixo c/ Aranha - 20000N Eixo Liso - 20000N

84

Figura 3.18: Gráfico do valor de deflexão pela carga, no ponto 3.

Com a Tabela 3.28 e com a Figura 3.18, ficou visível que houve uma diminuição da

deflexão do eixo com a adição do acoplamento tipo aranha.

Assim conclui-se que o acoplamento aumentou a rigidez do eixo, porém, para verificar

se o método e as considerações tomadas na realização dos cálculos foram suficientes e/ou

adequadas, é sugerido à realização de um ensaio de deflexão com os mesmos parâmetros

tomados nos cálculos.

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 5000 10000 15000 20000 25000

Deflexão x Carga

Eixo c/ Aranha Eixo Liso

85

4. PLANEJAMENTO DOS ENSAIOS DE DEFLEXÃO EM VIGA BI-APO IADA

A proposta para os ensaios devem proceder respeitando as informações indicadas a

seguir.

4.1. Objetivo para os ensaios

Os ensaios mecânicos são de vital importância para a quantificação da deformação do

eixo liso e do eixo com o acoplamento tipo aranha, sob carregamento, permitindo com isto

validar os valores encontrados pelos cálculos analíticos. Após os ensaios, a expectativa sobre

os cálculos é que os resultados sejam compatíveis com uma das três possibilidades listadas

abaixo:

• Os valores, encontrados pelo ensaio, serem iguais ou com diferenças

insignificantes dos encontrados pelos cálculos analíticos;

• Os valores, encontrados pelo ensaio, serem próximos aos encontrados pelos

cálculos analíticos;

• Os valores, encontrados pelo ensaio, serem muito diferentes dos encontrados pelos

cálculos analíticos.

Dependendo da compatibilidade dos resultados, atitudes podem ser tomadas a fim de

melhorar e/ou viabilizar os resultados:

• Verificar se os métodos e considerações utilizadas nos cálculos são satisfatórios

para a obtenção do valor de deflexão do eixo;

• Ajustar os cálculos e/ou utilizar considerações mais precisas nos cálculos e/ou

verificar possíveis problemas com os dispositivos de ensaio;

• Revisar os procedimentos, considerações e até mesmo o método dos cálculos e/ou

verificar erros nos dispositivos de medição e/ou verificar erros de leitura e medição

dos valores.

86

A respeito da melhora de projeto do eixo (adição do acoplamento tipo aranha), pode-se

considerar três tipos de hipóteses:

• Que o acoplamento tipo aranha não provoca o enrijecimento do eixo;

• Que o acoplamento tipo aranha provoca o enrijecimento do eixo;

• Que o acoplamento tipo aranha provoca o enrijecimento somente nas regiões do

contato.

Dependendo da hipótese à que o eixo com o acoplamento tipo aranha se encaixe, pode

se saber se o acoplamento aumenta a rigidez (diminui a deformação) do eixo ou não.

4.2. Tipo de ensaio a ser executado

Lembrando que o eixo suporta cargas transversais ao longo de seu eixo.

O ensaio a ser realizado visa simular o funcionamento do eixo em operação de

trabalho. Assim, o ensaio que melhor simula esse tipo de carregamento é o ensaio de

deflexão, mais especificamente, um ensaio de deflexão em viga bi-apoiada, com os dois

apoios do ensaio correspondendo aos mancais à que o eixo está fixado na carcaça da máquina

e a carga axial representando a força de deflexão entre os apoios.

4.3. Medições

Do ponto de vista técnico, a medição é empregada para monitorar, controlar ou

investigar um processo ou fenômeno físico.

Medir é um procedimento experimental pelo qual o valor momentâneo de uma

grandeza física (mensurando) é determinado como um múltiplo e/ou uma fração de uma

unidade, estabelecida por um padrão, e reconhecida internacionalmente.

A operação de medição é realizada por um instrumento de medição ou, de uma forma

mais genérica, por um sistema de medição (SM), podendo este último ser composto por vários

módulos.

87

Obtém-se desta operação instrumentada a chamada indicação direta, que é o número

lido pelo operador diretamente no dispositivo mostrador, acompanhado da respectiva unidade

indicada neste dispositivo. Para que a medição tenha sentido, é necessário determinar a

chamada indicação. A indicação corresponde ao valor momentâneo do mensurando no

instante da medição, e é composta de um valor acompanhado da mesma unidade do

mensurando. (ALBERTAZZI, 2002).

Nas variações das propriedades mecânicas e das características dos elementos

mecânicos, geralmente se lida com um número finito de elementos. O número total desses

elementos, denominado população, pode, em alguns casos, ser bastante grande. Nessas

situações, normalmente é impraticável medir as características de cada elemento da

população, haja visto que isso envolve ensaios destrutivos em alguns casos; dessa forma,

selecionamos uma pequena parte do grupo, denominada amostra, para tais determinações.

Assim, a população é o grupo completo e a amostra, uma parte dele. (SHIRLEY, 2005).

4.4. Avaliação de incerteza na determinação da deflexão do eixo

Cada fonte de incerteza deve ser claramente identificada. É recomendado o uso de

termos simples e que evitem interpretações ambíguas. Se conveniente, um símbolo pode ser

associado à fonte de incertezas.

Recomenda-se também explicitar a unidade em que os valores relativos à fonte de

incertezas serão expressos.

Cada fonte de erro influi de forma sistemática e aleatória sobre o erro de medição.

Após compensar a parcela sistemática, restará ainda a parcela aleatória a ser considerada. Para

quantificar a parcela aleatória é comum estimar experimentalmente sua dispersão por meio do

desvio padrão. Como definido a incerteza padronizada de uma fonte de erro é a faixa de

dispersão em torno do valor central equivalente a um desvio padrão.

A incerteza padronizada deve ser estimada para cada fonte de erro envolvida. É

importante fazer uma análise crítica do processo de medição para identificar as fontes

significativas de erros e quantificar os valores correspondentes das respectivas incertezas

padronizadas de cada componente. A análise do conjunto destas incertezas padronizadas

levará à estimativa da incerteza combinada.

88

O procedimento para estimar a incerteza padronizada baseia-se em parâmetros

estatísticos, estimados a partir de valores de observações repetitivas do mensurando.

Seja q uma variável aleatória. Sejam qk (para k = 1, 2, ..., n) n valores

independentemente obtidos para a variável q .

Sua média pode ser estimada por:

�� = )� ∑ ��) (4.1)

O desvio padrão experimental da variável q, representado por “s”, é estimado por:

0�� = �∑ �;��;��8��~��) (4.2)

Lembrando que, para que a estimativa de s(q) pela equação (4.2) seja confiável, é

necessário envolver um número suficientemente grande de observações independente (é

recomendável pelo menos n > 10).

Quando é utilizado o valor médio das indicações, obtido a partir da média de um

conjunto de “m” indicações de q, o desvio padrão experimental da média de q é estimado por:

0�� = 3�;�√T (4.3)

Neste caso, a incerteza padronizada associada à variável q, representada por u(q), é

estimada pelo desvio padrão da média das “m”observações efetuadas. Assim:

�� = 0�� (4.4)

Quando não são envolvidas médias de indicações, mas apenas um único valor da

indicação, a incerteza padronizada coincide com o desvio padrão experimental s(q).

O número de graus de liberdade envolvidos (v) na determinação u(q) é dado pelo

número de medições independentes efetuadas menos um (ALBERTAZZI, 2002), isto é:

< = i − 1 (4.5)

89

4.5. Possíveis erros envolvidos nos ensaios

Além dos erros de medição, há possibilidade de outros erros, porem estes são de difícil

determinação.

Na tabela 4.1 estão listadas algumas possibilidades de erros envolvidos no ensaio de

deflexão de eixo.

Problema Causa Solução

Deformação dos apoios Material e/ou dimensões

desapropriado

Dimensionar corretamente

os apoios conforme a

necessidade

Inclinação dos apoios

Devido à deformação do

eixo/viga ela sofre um

deslocamento horizontal,

com os apoios fixos ele

tende a inclinar-se

Utilizar roletes ou similares

em um dos apoios para que

o eixo/viga possa deslocar-

se sem resistência

Deformação da base da

prensa

Distância entre apoios

muito grande e/ou base não

apropriada para a aplicação

no ensaio

Utilizar base apropriada

e/ou utilizar outro elemento

servindo como base, desde

que aumente a resistência

da mesma

Movimentação e/ou

fixação errada das hastes

dos relógios comparadores

Medidas erradas

Utilizar hastes firmes e/ou

fixar as hastes em uma

posição fora da base da

prensa

Tabela 4.1: Possíveis erros na medição.

90

4.6. Instrumentos e acessórios a serem utilizados

Na realização dos ensaios alguns instrumentos e acessórios são de extrema

importância pra que a sua realização aconteça. Eles estão listados na tabela 4.2.

Instrumento/acessório Utilidade Informação

Prensa hidráulica

A prensa hidráulica que

aplica a força necessária

sobre o eixo

Capacidade de 20

toneladas

Célula de carga

Ela mede a intensidade da

força que está sendo

aplicada

Modelo alfa, formato Z,

capacidade de 5 toneladas e

erro máximo de 100g

Acessório de fixação

prensa/célula de carga

Prende a célula de carga na

extremidade da haste da

prensa hidráulica

Feito em aço 1020,

deformação à compressão

desprezível

Acessório de fixação célula

de carga/eixo liso

Dimensionada para acoplar

sobre o eixo liso e fixar-se

a célula de carga

Feito em aço 1020,


desprezível

Acessório de fixação célula

de carga/eixo com aranha

Dimensionada para acoplar

sobre o eixo com a aranha

e fixar-se a célula de carga

Feito em aço 1020,


desprezível

Apoios

Dois apoios mantêm o eixo

a uma determinada altura

da base da prensa.

Feito em aço 1020,


desprezível

Relógios comparadores Apontam o deslocamento

do eixo na direção vertical

Deslocamento de 1” e

precisão de 0,01mm

Paquímetros

Medir as distâncias dos

apoios e dos pontos de

medição da deflexão

Deslocamento 1000mm e

precisão de 0,05mm

Tabela 4.2: Acessórios e instrumentos utilizados no ensaio.

91

4.7. Ensaio de flexão

Segundo SOUZA (1982, pg. 148),

“O ensaio de flexão é geralmente de modo a reproduzir, no laboratório, as condições da prática. Desse modo, é possível criar várias maneiras de se efetuar esse ensaio, desde que a peça possa ser adaptada diretamente em uma máquina comum.”

O autor expressa, ainda, que:

“O ensaio é realmente um ensaio de flexão, sendo o corpo de prova constituído por uma barra de seção qualquer, preferencialmente circular ou retangular para facilitar os cálculos, com um comprimento especificado. O ensaio consiste em apoiar o corpo de prova sob dois apoios distanciados entre si de uma distância L, sendo a carga de flexão aplicada no centro do corpo de prova.” SOUZA (1982, pg. 148).

Sendo que no ensaio realizado a carga não estava no centro do eixo, e sim no centro do

acoplamento tipo aranha, que por sua vez estava deslocado para o lado direito do centro do

eixo (ver Fig. 3.1).

4.7.1. Procedimentos dos ensaios

Os ensaios mecânicos, para terem um bom desempenho, devem proceder segundo as

normas de flexão (ASTM D 790/2002 e/ou DIN 53452/1977). (www.inmetro.gov.br,

20/06/2008).

Os ensaios devem ser efetuados conforme o procedimento descrito a seguir,

lembrando que estes foram elaborados segundo a disponibilidade de equipamentos e

acessórios da empresa.

Uma prensa hidráulica efetuará a força sobre o eixo (Figura 4.1).

A força aplicada será medida com o auxílio de uma célula de carga, garantindo assim

uma precisão mais exata (Figura 4.1).

92

Suportes foram projetados especialmente para fazer a fixação da célula de carga na

prensa e da célula de carga no eixo, certificando que o os equipamentos não escorreguem e/ou

caiam (Figura 4.1).

O eixo ficará apoiado sobre dois apoios, e estes ficarão sobre a base da prensa, fixados

a ela por pontos de solda, assim evitando seu deslocamento (Figura 4.2).

As deflexões do eixo serão medidas por relógios comparadores, em pontos pré-

determinados. Estes serão fixados fora da base da prensa, evitando medições erradas no caso

da base da prensa deformar.

O distanciamento entre os apoios e entre os pontos de medição será efetuado com o

auxílio de um paquímetro.

Figura 4.1: Montagem dos acessórios no ensaio de flexão para o eixo liso.

93

Figura 4.2: Montagem dos acessórios no ensaio de flexão para o eixo com a aranha.

94

5. CONCLUSÃO

O desenvolvimento desse trabalho focou a otimização do projeto de um eixo liso,

usinado em aço 1040/45, 4140 ou superiores, utilizado em motores e geradores de grande

porte. Essa otimização consistiu em diminuir a deformação do eixo por meio da adição de um

acoplamento denominado “aranha”, por um processo de montagem a quente.

Para estimar os valores das deformações foi necessário avaliar qual método de cálculo

que atende a essa necessidade, pois alguns métodos são difíceis de estimar os valores de

deflexão de forma manuscrita, e qual o tipo de ensaio que melhor simula os carregamentos

encontrados em serviço.

Após encontrar os valores de deflexão do eixo liso e do eixo com o acoplamento tipo

aranha, cheguei à conclusão que o acoplamento aumentou a rigidez, a deformação diminuiu

em igual porcentagem, nos pontos de medição para cada intensidade de carga.

Como os ensaios não foram possíveis de ser realizados, a sugestão, é que os mesmo

sejam executados, seguindo as normas ASTM D 790/2002 e/ou DIN 53452/1977 de deflexão,

para verificar se as considerações tomadas nos cálculos foram suficientes para estimar os

valores de deflexão.

No caso de os valores dos ensaios serem diferentes dos encontrados nos cálculos, a

sugestão é a de primeiramente analisar as considerações tomadas na realização dos cálculos,

isso partindo do pressuposto que, como os ensaios foram planejados, os valores encontrados

por eles são confiáveis (não sofrem influencias por erros do tipo: de medição, de problemas

nos equipamentos, de deformações de acessórios, etc.).

O motivo dessas análises é conseguir as considerações necessárias para se fazer um

método de aplicação de expressões analíticas que estime a deflexão de eixos não prismáticos.

95

6. REFERÊNCIAS

1. ALBERTAZZI, Armando Gonçalves Jr. Metrologia, parte 1. Florianópolis: Lab

Metro UFSC, 2002

2. BEER, Ferdinand Pierre. Resistência dos Materiais. Tradução: Celso Pinto Morais

Pereira. 3. Ed. São Paulo: Makron Books, 1995.

3. LIRA, Francisco Adval de. Metrologia na Indústria. São Paulo: Érica, 2001.

4. NASH , Willian Arthur. Resistência dos Materiais. Tradução: Jaime Ferreira da

Silva, São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977

5. Normas. Disponível em: <www.inmetro.gov.br>. Acessado em 20/07/2008.

6. POPOV, Egor Paul. Introdução à Mecânica dos Sólidos. Tradução: Mauro O. C.

Amorelli, São Paulo: Edgard Blücher, 1978.

7. SHIRLEY, Joseph E., MISCHKE, Charles R., BUDYNAS, Richard G. Projeto de

Engenharia Mecânica. Tradução: João Batista de Aguiar, José Manoel de Aguiar.

7.Ed. Porto Alegre: Bookman, 2005.

8. SOUZA, Sérgio Augusto de. Ensaios Mecânicos de Materiais Metálicos. São Paulo:

Edgard Blücher, 1982.

9. Teoria sobre vigas. Disponível em: <www.cesec.ufpr.br>. Acessado em 07/04/2008.

10. TIMOSHENKO, GERE. Mecânica dos Sólidos. Tradução José Rodrigues de

carvalho. Livros Técnicos e Científicos Editora, 1995.

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