TRANSLAÇÕES

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Translações

Ao olhares para a figura podes observar que certos elementos se repetem periodicamente, numa determinada direcção e sentido.

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Translações

Também na figura abaixo, ao passar-se de um elemento base para a sua réplica é como se todos os pontos desse elemento fossem deslocados segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância.

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Translações

Em baixo, a figura B foi obtida da figura A deslocando todos os seus pontos segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância.

A figura B diz-se que foi obtida por translação da figura A.

A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem através de uma translação.

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Translações

Na figura que podes observar agora, o deslocamento dos pontos foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos.

A figura D não foi obtida por translação da figura C.

Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C.

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Translações

Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual.Todos os pontos da imagem resultam da figura original por um deslocamento dos seus pontos definido por:

• uma direcção;

• um sentido;

• um comprimento.

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Translações

Para obtermos a imagem de uma figura através de uma translação, vimos que é necessário definir uma direcção, um sentido e um comprimento.

Esta informação pode ser como que condensada naquilo a que se chama um segmento de recta orientado, o qual se representa desta forma:

Um segmento de recta orientado define um vector.

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Translações

Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector.Na figura abaixo estão representados diversos segmentos de recta orientados que representam o mesmo vector, uma vez que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e a mesma norma (ou comprimento).

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Translações

Um vector fica então definido desde que se conheça:

• a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector)

• o sentido (um dos dois possíveis na direcção)

• o comprimento (ou norma)

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Translações

Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho.

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Translações

1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado

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Translações

2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado

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Translações

3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector

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Translações

4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original

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Translações Propriedades das translações

Repara que na translação do triângulo da figura. Podemos retirar algumas conclusões sobre as propriedades das translações:

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• Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e geometricamente igual .

• Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo geometricamente igual (com a mesma amplitude).

• Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual.

Translações Composição de translações

Repara na figura que representa uma mesa de bilhar. Observa os deslocamentos da bola branca.

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A bola deslocou-se primeiro segundo o vector representado pela letra a e, de seguida, teve um novo deslocamento segundo o vector representado pela letra b, ficando então naquela posição.

Translações Composição de translações

Podemos imaginar a situação da mesa de bilhar como sendo a translação dos círculos representados na figura abaixo. Será que poderíamos chegar, de uma só vez, ao círculo representado a laranja?

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Translações Composição de translações

A figura abaixo mostra a resposta à pergunta anterior. Se considerarmos o vector representado pela letra c e a translação associada a esse vector, podemos obter directamente o círculo a laranja, a partir do círculo a verde.

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Inicialmente fizemos uma composição de duas translações. A primeira associada ao vector seguida de uma outra associada ao vector .

Aquela composição corresponde a fazer uma única translação, agora associada ao vector .

ar

br

cr

A bola azul foi obtida da bola verde por e a bola vermelha foi obtida da bola azul por .

aT

bT

A bola vermelha pode, no entanto, ser obtida directamente da bola verde por .

cT

Diz-se que é uma translação compostatranslação composta de duas translações, após , e escreve-se:

cT b

TaT

:seLê

abcTTT

−

=

bT

aTapós

• Ao vector chamamos vector soma do vector com o vector .

Escreve-se:

ab

c

bac +=

Adição de vectores

1.º processo: “Regra do triângulo”

2.ºProcesso: “Regra do paralelogramo”

Exercícios:

1. Observando o cubo da figura indique o vector que representa a

soma .

2. Observa a figura e completa:• a) OA + AF = _____• b) BO +OC = _____• c) BO + DE = _____• d) OD + CE = _____• e) OA + _____ = OB

3. [ABCD] é um paralelogramo.Completa:a) AB + BC = _____b) AB + CD = _____c) AC + CB = _____d) CB + AD = _____

4. Na figura estão representados 12 paralelogramos geometricamente iguais.

Indica:

FIM

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