1

HOMENS MULHERES

Turma A 35 15

Turma B 10 20

SIMULADO DE MATEMÁTICA – 2

TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO

COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2011.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 08

Assinale as proposições verdadeiras some os resultados obtidos e marque na Folha de Respostas.

QUESTÃO 01. Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas duas turmas de um curso de Inglês.

Com base nesses dados, é correto afirmar:

(01) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos um homem é 56,25%.

(02) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, encontrarmos uma mulher ou um aluno da turma B é 81,25%.

(04) A probabilidade de, sorteando-se três alunos da turma B, encontrarmos um homem e duas mulheres é de aproximadamente 16,6%.

(08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com mulheres é igual a 595.

(16) O número de comissões que podem ser formadas com duas mulheres de cada turma é igual a 295.

(32) Se os Homens da turma B vão disputar uma prova de atletismo onde não há possibilidade de empate entre dois concorrentes então o número de resultados possíveis para esta disputa considerando apenas os três primeiros lugares é 720.

2

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Número de casos possíveis: n(E) = 80.

Número de casos favoráveis: n(A) = 45

p = %25,56100

56,25

80

45==

(02) FALSA.

Número de casos possíveis: n(E) = 80.

Número de casos favoráveis: n(A) = 45

p = %25,56100

56,25

80

45==

(04) FALSA.

Número de casos possíveis: n(E) = C30,3 = 40606

282930=

××.

Número de casos favoráveis: n(A) = 10 × C20,2 = 1900.

p = 46,80%0,46798...4060

1900==

(08) VERDADEIRA.

Número de casos favoráveis: n(A) = C35,2 = 5952

3435=

×.

(16) FALSA.

Número de casos favoráveis: n(A) = C15,2 × C20,2 = = =×=×

××

1901052

1920

2

141519950

(32) VERDADEIRA.

Número de casos favoráveis: n(A) = 10 × 9 × 8 = 720.

QUESTÃO 02.

Sobre Geometria de Posição pode-se afirmar que:

(01) Se dois planos são paralelos e uma reta é oblíqua a um deles, então é oblíqua ao outro.

(02) Se a reta r é paralela ao plano α, então não existe plano β contendo a reta r e perpendicular

ao plano α.

(04) Se as retas r e s são reversas, então existe uma reta t perpendicular a essas retas.

3

(08) Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a esses planos é paralela à interseção deles.

(16) Se a reta r é perpendicular ao plano α, então as retas contidas em α são perpendiculares ou ortogonais à reta r.

(32) Se uma reta é perpendicular a duas retas de um plano, então é perpendicular ao plano.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Na figura ao lado β // δ e r é oblíqua a β e

obliqua a δ

(02) FALSA.

A reta r é paralela `reta s ⊂ α ⇒ r // α.

A reta r ⊂ β e β ⊥ α.

(04) VERDADEIRA.

As retas r e s são reversas e a reta t é perpendicular a essas retas.

(08) VERDADEIRA.

α ⊥ β, β ∩ α = r, s // α e s // β ⇒ s // r.

(16) VERDADEIRA.

Se a reta r é perpendicular ao plano α, então ela é perpendicular a todas retas contidas em α que passam pelo ponto

P = r ∩ α e ortogonal a todas as retas do plano α que passam fora de P.

(32) FALSA

A reta pode estar contida no plano.

4

QUESTÃO 03

Considerando-se a função real

≥−

<≤−

<+

=

3xse;13x2

3x0se;21

0xse;x4x

)x(f x

2

, pode-se afirmar:

(01) f assume valor mínimo para x = 3.

(02) A imagem de f é o intervalo [ –7; +∞ [.

(04) A função f é crescente no intervalo [ ]7;2−

(08) A reta y = – 2 intercepta o gráfico de f em quatro pontos.

(16) Se x < – 4, então f(x) > 0.

RESOLUÇÃO:

Analisando o gráfico tem-se a solução da questão

(01) VERDADEIRA.

Para x = 3 f(3) = 2(3) – 13 = – 7.

(02) VERDADEIRA.

(04) FALSA.

No intervalo [ ]7 ;2− a função f não é crescente nem

decrescente.

(08) VERDADEIRA.

(16) VERDADEIRA.

Se x < – 4, então f(x) > 0.

QUESTÃO 04

Considere os pontos A = (1, 2), B = (3, 4) e C = (5, −1).

É verdade que:

(01) A distância entre os pontos A e B é 2 u.c.

(02) A área do transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão 3

1k = , é um

triângulo de área 9

7u.a.

(04) A equação da reta AB na forma reduzida é y = x + 1.

5

(08) A altura do triângulo ABC relativa ao lado AB é igual a 2

27u.c.

(16) Se o ponto P = (p, 3) é tal que o ângulo BCP é reto, então p = 12.

(32) A equação da circunferência que tem AB como diâmetro é 011y6x4yx 22 =+−−+ .

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA.

( ) ( ) 22442413AB 22=+=−+−= .

(02) VERDADEIRA.

A área do triângulo ABC é 714.2

161201034.

2

1

115

143

121

.2

1S =−=−+−+−=

−

=

O transformado do triângulo ABC por uma homotetia de razão 3

1k = , é um triângulo A’B’C’

semelhante a ele. Os lados

deste triângulo medem 3

1 dos lados do triângulo ABC. .a.u

9

7

9

SS

9

1

S

S ABC'C'B'A

ABC

'C'B'A ==⇒=

(04) VERDADEIRA.

( ) 1xy1x2y1x13

242y +=⇒−=−⇒−

−

−=−

A = (1, 2), B = (3, 4) e C = (5, −1).

(08) VERDADEIRA.

A medida do segmento CH é a distância do ponto

C = (5, −1) á reta AB cuja equação é x – y + 1= 0, logo

2

27

2

7

11

115AH ==

+

++=

6

(16) FALSA.

Se o ângulo BCP é reto, BP2 = BC2 + PC2 ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒++−+−−+−=−+−222222 135p4135433p

15p60p41625p10p25419p6p 22 =⇒=⇒++−++=++−

(32) VERDADEIRA.

Como AB = 22 (item 01), o raio da circunferência mede

2 e o seu centro é o ponto M = )3,2(2

24,

2

13=

++

A equação da circunferência é:

( ) ( ) ⇒=−+−−+⇒=−+− 0213y6x4yx23y2x 2222

011y6x4yx 22 =+−−+

QUESTÃO 05

Considerando-se a função real f(x) = 3 + 2x – 1 e sendo g: A → R a sua inversa, pode-se afirmar:

(01) A imagem de f é A

(02) O gráfico de f está acima da reta y = 4

(04) g

211 = log25

(08) Se f(h(x)) = 3 + 2x então h

41 = 0

(16) O conjunto solução da inequação f(2x + 1) < 1 + 3 . 2x é o intervalo ]0,1[

(32) O gráfico da função g intercepta o eixo Ox no ponto (1,0)

Determinação da inversa de f(x);

( ) )6x2(log)x(g6x223x2

223x23xf 2

)x(g)x(g

1)x(g1x −=⇒−=⇒−=⇒+=⇒+= −−

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Se f(x) e g(x) são funções inversas, o conjunto domínio de f é o conjunto imagem de g e

vice-versa.

7

(02) FALSA.

Fazendo f(x) = 4 ⇒ ⇒=⇒=−⇒=⇒=+ −− 1x01x12423 1x1x a reta y = 4 intercepta o gráfico

de f(x) no ponto (1, 4).

(04) VERDADEIRA.

)6x2(log)x(g 2 −= ⇒ 5log)611(log2

11g 22 =−=

(08) VERDADEIRA.

Se f(h(x)) = 3 + 2x ⇒

⇒+=⇒=−⇒=⇒+=+ −− 1)x2(log)x(h)x2(log1)x(hx22x2323 221)x(h1)x(h

01112

1log1

4

12log

4

1h 22 =+−=+

=+

×=

(16) VERDADEIRA.

f(2x + 1) < 1 + 3 . 2x ⇒ 022.322.3222.3123 xx2xx2x11x2 <+−⇒<+⇒+<+ −+.

As raízes da equação 022.32 xx2 =+− são: { 22ou 122

132

2

8932 xxxx ==⇒

±=⇒

−±= .

A solução da inequação 022.32 xx2 <+− é: 1x0222221 1x0x <<⇒<<⇒<< , logo o

intervalo ] 0,1[

(32) FALSA.

O domínio da função )6x2(log)x(g 2 −= é dado para todo x tal que 2x – 6 ≥ 0 ⇒ 2x ≥ 6 ⇒

x ≥ 3.

QUESTÃO 06

Seja a sequência ,...)x4 ,1x2 ,x()a( n += .

É verdade que:

(01) Se )a( n é uma PA, então sua razão é r = 3.

(02) Se )a( n é uma PG, então sua razão é q = − 2.

(04) Se )a( n é uma PA, então a soma dos seus 10 primeiros termos é 300.

(08) Se )a( n é uma PG, então a soma dos seus 10 primeiros termos é igual a ( )1212

1 10 −

(16) Se )a( n é uma PA, então o primeiro termo que excede 1999 é o de ordem 666.

(32) Se )a( n é uma PG, então .2.5aa 273032 =+

8

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

4x + x = 2(2x+1) ⇒ 5x = 4x + 2⇒ x = 2 ⇒ ⇒= ,...)8 ,5 ,2()a( n r = 3.

(04) FALSA.

( )155

2

10292S29392a,...)8 ,5 ,2()a( 1010n =

×+=⇒=×+=⇒=

(02) VERDADEIRA.

( ) ⇒−=⇒−=⇒++=⇒+=4

1x1x41x4x4x41x2x.x4 222 2q,...1 ,

2

1 ,

4

1)a( n −=⇒

−−=

(08) VERDADEIRA.

( )( )( )12

12

1

12

124

1

S2q,...1 ,2

1 ,

4

1)a( 10

10

10n −=−−

−−−=⇒−=⇒

−−=

(16) FALSA.

..666,666n2000n31997n319973n319993)1n(21999a,...)8 ,5 ,2()a( nn >⇒>⇒>⇒>−⇒>×−+⇒>⇒=

⇒

o primeiro termo que excede 1999 é o de ordem 667.

(32) VERDADEIRA.

( )3132 2

4

1a −

−= e ( )29

30 24

1a −

−= ⇒⇒⇒⇒ ( ) ( )( ) 5.2122

4

1aa 27229

3032 =+−−

−=+

QUESTÃO 07(UFBA2006)

O custo de produção diária e a receita pela venda de um determinado produto fabricado por uma

empresa, em milhares de reais, são dados, respectivamente, pelas funções C: [0, +∞[ → [0, +∞[

e R: [0, +∞[ → [0, +∞[, com C(x) = 2 + log2(x +1) e R(x) = 2x – 1, sendo x o número de centenas de unidades produzidas.

Com base nessas informações, é correio afirmar:

(01) As funções C e R são crescentes.

(02) R é a função inversa de C.

(04) Para uma receita igual a R$ 7.000,00, o custo é igual a R$ 4.000,00.

(08) Se a produção é de 100 unidades, então um aumento de 200% na produção acarretará um aumento de 100% no custo.

(16) A função lucro, definida por L = R – C, satisfaz a condição L(0)=L(1), mas não é uma função constante.

9

(32) A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função C.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA.

Tanto em C(x) quanto em R(x) as bases das respectivas funções são números

maiores que 1.

Veja a representação gráfica:

(02) FALSA.

C(x) = 2 +log2 (x +1) ⇒ x = 2 + log2 (y +1) ⇒ log2 (y +1) = x – 2 ⇒ y + 1 = 2x – 2

C’(x) = 2 x – 2 – 1 ≠ R(x).

(04) VERDADEIRA.

R(x) = 2x − 1 = 7 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 3. Substituindo este valor em C(x) , tem-se: 2 +log2 (3 +1),

logo 2 +2 = 4

(08) FALSA.

Considerando a produção de 1 centena e a produção com um aumento de 200% igual a 3

centenas e calculando os custos:

C(x) = 2 + log2 (x+1) ⇒ C(1) = 2 + log2 2= 3 e C(3) = 2+log2 4= 4 ⇒ um aumento de 1 no

custo, que equivale a %33,333333,03

1==

10

(16) VERDADEIRA.

L(x) = 2x – 1 – [2 + log2 (x+1)] = 2x – 3 – log2 (x+1).

L(0) = 1 – 3 – log2 (0+1).= – 2.

L(1) = 2 – 1 – 2 – log2 2 = – 2.

A função L(x) é dependente de x, logo não é constante.

Graficamente:

(32) VERDADEIRA.

Vide gráfico apresentado na resolução do item (01)

QUESTÃO 08 (UFBA-01)

Uma micro-empresa fabrica um determinado bem de consumo e o coloca à venda, no mercado. O custo de fabricação do produto é composto de uma parcela fixa, correspondendo a R$ 300,00, e mais R$ 3,00 por unidade fabricada. A quantidade vendida depende do preço da unidade e obedece à lei de uma função afim. Quando o preço da unidade é de R$ 6,00 são vendidas, mensalmente, 200 unidades do produto. Aumentando-se o preço em R$ 2,00 por unidade, passam a ser vendidas 100 unidades mensais.

Com base nessas informações, pode-se concluir:

(01) A quantidade vendida em relação ao preço unitário é uma função decrescente.

(02) Se o preço unitário for de R$ 3,00, serão vendidas exatamente 250 unidades.

(04) O custo de fabricação de 1000 unidades do produto é igual a R$ 3.300,00.

(08) A receita máxima pela venda do produto é igual a R$ 1.250,00.

(16) Sendo L(x) o lucro em função das unidades vendidas, então L(x) = – 0,02x2 + x – 100.

(32) Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA. Sendo p a quantidade de produtos vendidos e x o valor unitário: p(x) = ax + b que é satisfeita pelos pares ordenados (6, 200) e (8, 100). Logo:

500x50)x(p

500b

50a

100a2

100ba8

200ba6+−=⇒

=

−=

−=

⇒

=+

=+

11

(02) FALSA.

350500150)3(p =+−=

(04) VERDADEIRA.

C(1000) = 3000 + 300 = R$ 3.300,00.

(08) VERDADEIRA.

( ) x500x50500x50x))x(p(R 2 +−=+−= ⇒ a receita máxima pela venda do produto é igual a:

( )=

−

−=

∆−=

200

250000

a4R R$ 1.250,00.

(16) FALSA.

Sendo L(x) = [ ]300)500x50(3x500x50 2 ++−−+− ⇒ L(x) = 1800x650x50 2 −+− .

(32) FALSA.

Quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será crescente.

50,6x9x ou 4x100

250650x25050026360000422500 v =⇒==⇒

−

±−=⇒=∆⇒=−=∆

Sendo o coeficiente de x2 um número negativo, a função se comporta conforme o gráfico abaixo e portanto, quando o preço unitário se situar entre R$ 6,50 e R$ 9,00, o lucro será decrescente.

QUESTÕES 09 E 10 Efetue os cálculos necessários e marque os resultados na Folha de Respostas.

QUESTÃO 09.

Seja S a soma dos termos da sequência ( ) ( )18,...,11810,7,14,9,1,2,3,6,5, a n =

Calcule o valor de 100

S.

RESOLUÇÃO:

154560SSa 453681S e 6040100S 91010910 =−=−=⇒=−==−=

RESPOSTA: 15

12

QUESTÃO 10

Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, o número 24567 ocupa a posição número 1 , o número 76542 ocupa a posição número 120 e o número 62754 ocupa a posição número x. Calcule x.

RESOLUÇÃO:

Começando por 2, 4 ou 5 tem-se: 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 72 números distintos.

DM UM C D U números distintos.

6 2 5 ou 4 1 × 1× 2 × 2 × 1 = 4

DM UM C D U números distintos.

6 2 7 4 5 1

6 2 7 5 4 1

Total de números: 72 + 4 + 1 + 1 = 78

RESPOSTA: 78.