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Uma viga de 3 m de comprimento e massa de 120 kg, est apoiada nas suas extremidades A e B e suporta duas cargas de 12 kg e 8 kg a 1 m e 2 m respectivamente do apoio A. Determinar as reaes nos apoios. Adotar a acelerao da gravidade igual a 10 m/s 2.

Dados do problema

comprimento da viga: L = 3 m; .massa da viga: m V = 120 kg; massa da carga aplicada em C: m C = 12 kg; distncia AC: d AC = 1 m; massa da carga aplicada em D: m D = 8 kg; distncia AD: d AD = 2 m; acelerao da gravidade: g = 10 m/s 2.

Esquema do problema

Adota-se o um sistema de referncia no centro da viga, onde est aplicada a fora peso ( P V ), positivo para o sentido horrio de rotao (figura 1).

As foras de reao dos apoios esto aplicadas nos pontos A e B ( F A e F B ), as cargas aplicadas na viga so representadas pelas massas nos pontos C e D ( m C e m D ).

Soluo

Para que a viga permanea em equilbrio devemos ter as seguintes condies

i

F i = 0 e iM i = 0 (I)

As cargas aplicadas no pontos C e D so representadas pelas foras peso das massas colocadas nessas posies, a fora peso dada por

P =mg (II)

1

figura 1

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Aplicando a expresso (II) para as massas m C e m D , temos em mdulo

F C =P C = m C gF C = 12 .10F C = 120 N (III)

F D =P D =m DgF D = 8.10F D = 80 N (IV)

A fora peso da viga ser

P V =m VgP V = 120 .10P V = 1200 N (V)

Desenhando as foras que agem na viga num sistema de eixos coordenados (figura 2) e aplicando a primeira condio de (I), temos

F AF BF CF DP V = 0

substituindo os valores de (III), (IV) e (V), obtemos

F AF B120801200= 0F AF B1400= 0F AF B = 1400 (VI)

O momento de uma fora dado por

M F = F d (VI)

Momento da fora peso da viga:Aplicando a expresso (V), temos a fora (F) representada pela fora peso da viga (P V)

e a distncia ser nula (d = 0), a fora peso est aplicada no mesmo ponto tomado como referncia, portanto o o momento ser

M PV = 0 (VII)

Momento da fora de reao no apoio A:O ponto de referncia G est no centro

da viga, a distncia do ponto A ao centro ser (figura 3)

d AG =L2

d AG = 2d AG = 1,5 m (VIII)

Aplicando a expresso (V), temos a fora (F) representada pela fora de reao do apoio no ponto A (F A) e a distncia ser dada pelo valor encontrado em (VIII), a fora de reao tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientao escolhida, portanto o momento ser positivo

M F A = F Ad AGM F A = 1,5F A (IX)

Momento da fora devido a carga no ponto C:

2

figura 2

figura 3

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A distncia do ponto C ao ponto de referncia G ser (figura 4)

d AG = d ACd CG1,5= 1d CGd CG = 1,51d CG = 0,5 m (X)

Aplicando a expresso (V), temos a fora (F) representada pela fora peso da carga aplicada no ponto C (F C), encontrada na expresso (III), e a distncia ser dada pelo valor encontrado em (X), a fora peso tende a fazer a viga girar no sentido contrrio da orientao escolhida, portanto o momento ser negativo

M F C =F Cd CGM F C =120 .0,5M F C =60 N.m (XI)

Momento da fora devido a carga no ponto D:A distncia do ponto D ao ponto de

referncia G ser (figura 5)

d AG = d ADd DG1,5 = 2d DGd DG = 21,5d DG = 0,5 m (XII)

Aplicando a expresso (V), temos a fora (F) representada pela fora peso da carga aplicada no ponto D (F D), encontrada na expresso (IV), e a distncia ser dada pelo valor encontrado em (XII), a fora peso tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientao escolhida, portanto o momento ser positivo

M F D =F Dd DGM F D = 80.0,5M F D = 40 N.m (XIII)

Momento da fora de reao no apoio B:O ponto de referncia G est no centro

da viga (figura 6), a distncia do ponto B ao centro ser o mesmo valor encontrado na expresso (VIII)

d AG = d BG

Aplicando a expresso (V), temos a fora (F) representada pela fora de reao do apoio no ponto B (F B) e a distncia ser dada pelo valor encontrado em (VIII), a fora de reao tende a fazer a viga girar no sentido contrrio da orientao escolhida, portanto o momento ser negativo

M F B =F Bd BGM F B =1,5F B (XIV)

Aplicando a segunda condio de (I), temos

M PVM F AM F CM F DM P B = 0

3

figura 4

figura 5

figura 6

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substituindo os valores de (VII), (IX), (XI), (XIII) e (XIV), obtemos

01,5F A60401,5F B = 01,5F A201,5F B = 0

1,5F A1,5F B = 20 (XV)

As expresses (VI) e (XV) formam um sistema de duas equaes a duas incgnitas (F A e F B)

F AF B = 14001,5F A1,5F B = 20isolando o valor de F A na primeira equao e substituindo na segunda, obtemos

F A = 1400F B (XVI)

1,5 1400F B 1,5F B = 201,5.14001,5F B1,5F B = 20

21003F B = 203F B = 210020

3F B = 2080

F B =2080

3

F B 693,3 N

substituindo este valor na expresso (XVI)

F A = 1400693,3

F B 706,7 N

4