Vetores no Plano

7/23/2019 Vetores no Plano

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Aula 2

Nessa segunda aula teremos como objetivo o

tratamento algébrico de vetores no plano.

1. Vetores no plano

Qualquer vetor pode ser expresso em função de dois vetores não paralelos 1v

e 2v

.

Cada vetor v representado no mesmo plano de 1v

e 2v

, existe uma só dupla de números

reais a1 e a2 tal que v

= a1 1v

+ a2 2v

O vetor v

é denominado combinação linear de 1v

e 2v

O conjunto B = { 1v

, 2v

} é chamado base no plano.

a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas de v

na base B

O vetor v

pode ser representado também por v

= (a1,a2)B ou Bv

= (a1,a2)

As bases mais utilizadas são as ortonormais àquelas em que os vetores são ortogonais e

unitários. A base ortonormal mais importante é a que determina o sistema cartesiano

ortogonal.

Os vetores nesse sistema são representados por i

e j

, ambos com origem na origem dos

eixos coordenados e extremidade em (1 , 0) e (1 , 0) respectivamente.

y

x

Os vetores e não

precisam ser ortogonais.

Caso sejam ortogonais e

unitários ( módulo igual a

um) constituem uma base

denominada ortonormal



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Voltando à representação de um vetor sob a forma de uma combinação linear utilizando a

base canônica teremos:

v

= a1 1v

+ a2 2v

v

= x i

+ y j

x e y são os componentes da base canônica.

A maneira mais comum de representar o vetor v

é utilizando apenas as suas componentes:

v

= (x,y) dispensando sua base canônica.

Desta forma podemos dizer que:

um vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais

O par (x,y) é chamado expressão analítica de v

Consultar para visualizar as componentes de um vetor

http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/Ponto.html

y

x

(0,1)

(1,0)

A base C = ( , ) é

chamada canônica e é a que

iremos utilizar no nossoestudo dos vetores.

y

x






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Exemplos de representação de vetores:

Forma canônica Forma analítica2 i

+3 j

(2,3)

2 j

(0,2)

- j

(0,-1)

- i

+ j

(-1,1)

2 . Igualdade de vetores

O que é necessário para afirmarmos que dois vetores são iguais?

Parece simples admitir que para termos dois vetores iguais eles devem apresentar as

mesmas coordenadas.

Analiticamente podemos escrever:

Se u

= (x1,y1) e v

= (x2,y2) os vetores serão iguais se e somente se x1 = x2 e y1 = y2.

3. Operações com vetores

Nas anotações da Aula 1 vimos a representação geométrica das operações com vetores,

aqui, na Aula 2, teremos a forma analítica dessas operações.

A base canônica é a mais utilizada, pois

ela simplifica a representação dosvetores. O vetor são as próprias

coordenadas do ponto P.

Observe:

O = (0,0)P = (2,3)

y

P

O 2

3

x



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3.1 Adição de vetores

Sendo u

= (x1,y1) e v

= (x2,y2) a soma de u

+ v

= (x1+x2 , y1+y2)

Exemplo:

u

= (1,4) e v

= (2,3) u

+ v

= (3,7)

Experimente representar geometricamente essa operação e compare com a regra do

paralelogramo da Aula 1

Consulte os links abaixo conhecer as operações de vetores através dos Applets

Soma de dois vetores:

http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/SomaVet.html

Para mais de dois vetores:

http://www.walter-fendt.de/ph11br/resultant_br.htm

3.2 Multiplicação de um número por um vetor

Representando por um número real diferente de zero, isto é,

0 e um vetor v

diferente do vetor nulo, isto é, v

0

, o produto do número real pelo vetor v

= (x1,y1)

é dado por:









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v

= (

x1 , y1)

Exemplo:

= 3

v

= (1,2)

Podemos destacar quatro características

dessa operação:

1. módulo: , isto é, o

comprimento de é igual ao

comprimento de multiplicado

por ;

2. direção: é paralelo a

3. sentido: e tem o mesmosentido se > 0 e sentido

contrário se < 0;

4. Se = 0 ou = , então



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4. Vetor definido por dois pontos

O vetor AB

representado geometricamente na figura 1 tem infinitos representantes, ou seja,

há uma infinidade de segmentos orientados que apresentam mesmo módulo, mesma direção

e mesmo sentido do que AB

. Observe a figura 2 com alguns desses segmentos.

Figura 1

Figura 2



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O segmento orientado que melhor caracteriza o vetor AB

é aquele que tem origem em O =

(0,0) e extremidade em P = (x2-x1 , y2-y1).

O vetor OPv

é chamado vetor posição ou representante virtual de AB

Como podemos encontrá-lo?

Observe:

AO

= (x1 , y1)

OB

= (x2 , y2)

AO

+ AB

= OB



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AB

= OB

– AO

AB

= (x2-x1 , y2-y1)

AB

= B – A

Para encontrar o vetor posição efetuamos a diferença entre a extremidade e a origem do

vetor dado.

Qualquer vetor pode ser representado por um vetor posição, isto é, qualquer vetor

terá um representante com mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido que

tenha sua origem na origem dos eixos coordenados.

Esta representação será de extrema importância para o trabalho com vetores e por isso

vamos ver se entendemos:

1. Dado o vetor abaixo, qual será seu vetor posição?

Veja que o vetor tem origem no ponto A = (-5,1) e extremidade no ponto B = (-2,2).

Portanto o vetor posição será obtido por B-A

-2+5 = 3

2-1 = 1

OP

= (3,1)



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Agora é sua vez de verificar se entendeu: Qual é o vetor posição do vetor cuja origem

é A = (-2,-5) e cuja extremidade é B = (3,-2)



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5. Ponto Médio

Para determinar as coordenadas do ponto médio M do vetor AB

temos:

Se M é ponto médio do segmento orientado AB , temos: 2 AM

= AB

AM

= (x –

x1 , y –

y1) e AB

= (x2 –

x1 , y2 –

y1)

Então: 2(x – x1 , y – y1) = (x2 – x1 , y2 – y1)

Ou: (2x – 2 x1 , 2y – 2 y1) = (x2 – x1 , y2 – y1)

Onde: 2x – 2 x1 = x2 – x1 isolando x x =2

xx 21

2y – 2 y1 = y2 – y1 isolando y y =

2

yy 21

Assim, as coordenadas do ponto médio do vetor AB

são as médias aritméticas das

coordenadas de A e de B

y

x

A

M

B

A = (x1 , y1)

B = (x2 , y2)

M = (x , y)



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6. Paralelismo de dois vetores

Se dois vetores u

e v

são paralelos então existe um número real

tal que:

Considerando u

= (x1 , y1 ) e v

= (x2 , y2 ), então u

= v

(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )

(x1 , y1 ) = ( x2 , y2 )

portanto: x1 = x2 y1 = y2

2

1

x

x

2

1

y

y

Ponto Médio = ( , )

y

x

A

M

B

x1 x2

y2

y1



12

2

1

2

1

y

y

x

x

Dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais

Vamos verificar se os vetores u

= (2,-3) e v

= (-1, 3/2) são paralelos.

Utilizando a relação encontrada acima teremos:

2

1

2

1

y

y

x

x

2

23

3

1

2

logo são paralelos!!!

Verifique geometricamente

7. Módulo de um vetor e Versor

Quando o vetor tem origem na origem dos eixos coordenados O(0,0) e extremidade em

qualquer ponto P (x,y), seu módulo, ou seja, seu comprimento pode ser encontrado

utilizando Pitágoras.



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Vetor OP

= (x,y)

Para encontrar o módulo de OP

:

OP

2 = x

2 + y

2

22yxOP

Assim o módulo do vetor OP

= (2,3) será:

2232OP

u.c 13OP

(unidades de comprimento)

y

xO

P

x

y

cateto

catetohipotenusa



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Para encontrar o Vetor Unitario:Como sabemos, o vetor unitário tem seu módulo igual a um, logo basta dividir qualquer

vetor pelo seu módulo que obteremos o vetor unitário denominado como versor.

A representação do versor é dada por v

0

=v

v

Vamos ver se entendemos:

Qual é o versor do vetor v = (3 , 4)

v

0 =

v

v

v

0 = 5

)4,3(

v

0 = )5

4,

5

3( versor do vetor v

= (3 , 4)

Experimente encontrar o módulo do versor!

Você já sabe que terá que achar 1 u.c.

8. Distância entre dois pontos

Muitas vezes necessitamos calcular a distância entre dois pontos, por isso, é interessante

registrar que para esse cálculo nos valemos do triângulo retângulo e utilizamos Pitágoras

como a situação geométrica abaixo nos mostra.



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Por Pitágoras temos:2

122

122 )yy()xx(d

212

212 )yy()xx(d

A

B

y

y2

y1

x1 x2

A

B

y

y2

y1

x1 x2

x2-x1

y2-y1 d

Consulte!Distância entre dois pontos:

http://www.cursinhovirtual.com.br/Mat/Applet/Distance/Distance.htm




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