FACULDADE ESTÁCIO DE SÁ – FIRCURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS PARA A AV1

Vetores no Plano – Igualdade de Vetores1) Encontre os valores de x e y para que u⃗=( x+1 ,4 ) e v⃗=(5 ,2 y−6 ) sejam iguais.

Vetores no Plano – Operações com Vetores2) Dados os vetores u⃗=(2 ,−3 ) e v⃗=(−1 ,4 ), determinar 3 u⃗+2 v⃗ e 3 u⃗−2 v⃗.

3) Determinar o vetor x⃗ na igualdade 3 x⃗+2u⃗=12v⃗+ x⃗, sendo dados u⃗=(3 ,−1 ) e

v⃗=(−2 ,4 ).

4) Encontrar os números a1 e a2 tais que v⃗=a1 v⃗1+a2 v⃗2 , sendo v⃗=(10 ,2 ), v⃗1=(3 ,5 ) e v⃗2=(−1 ,2 ).

Vetores no Plano – Vetor definido por dois pontos5) Dados os pontos A (−1 ,2 ), B (3 ,−1 ) e C (−2 ,4 ), determinar o ponto D, de modo

que C⃗D=12A⃗B.

6) Sendo A (−2 ,4 ) e B (4 ,1 ) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.

7) Sendo A (2 ,1 ) e B (5 ,2 ) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M (4 ,3 ) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D.

Vetores no Plano – Ponto Médio8) Calcular o ponto médio do segmento de externos A (−2 ,3 ) e B (6 ,2 ).

Vetores no Plano – Paralelismo de dois Vetores9) Verifique se os vetores u⃗=(−2 ,3 ) e v⃗=(−4 ,6 ) são paralelos

Vetores no Plano – Módulo de um Vetor10)Dados os pontos A (2 ,−1 ) e B (−1, 4 ) e os vetores u⃗=(−1 ,3 ) e v⃗=(−2 ,−1 ),

determinar:a) |u⃗|b) |u⃗+ v⃗|c) |⃗2u−3 v⃗|d) A distância entre os pontos A e B

11)Dados o vetor v⃗=(−2 ,1 ), achar o vetor paralelo a v⃗ que tenha:a) o mesmo sentido de v⃗ e três vezes o módulo de v⃗;

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b) sentido contrário ao de v⃗ e a metade do módulo de v⃗;c) o mesmo sentido de v⃗ e módulo 4;d) sentido contrário ao de v⃗ e módulo 2

Vetores no Espaço – Igualdade, Operaçôes, Vetor definido por dois pontos, Ponto Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor

12)Dados os pontos A (0 ,1 ,−1 ) e B (1 ,2 ,−1 ) e os vetores u⃗=(−2 ,−1 ,1 ), v⃗=(3 ,0 ,−1 ) e w⃗=(−2 ,2 ,2 ) , verificar se existem os números a1 , a2 e a3 tais que w⃗=a1 A⃗B+a2 u⃗+a3 v⃗

13)Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A (3 ,−2 ,4 ), B (5 ,1 ,−3 ) e C (0 ,1 ,2 )

14)Sabendo que o ponto P (−3 ,m,n ) pertence à reta que passa pelos pontos A (1 ,−2 ,4 ) e B (−1,−3 ,1 ), determinar m e n.

15)Seja o triângulo de vértices A (4 ,−1 ,−2 ), B (2,5 ,−6 ) e C (1 ,−1 ,−2 ). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB.

Produto Escalar – Definição Algébrica16)Sejam os vetores u⃗=3 i⃗−5 j⃗+8 k⃗ e v⃗=4 i⃗−2 j⃗−k⃗ . Calcular u⃗ ∙ v⃗.

17)Sejam os vetores u⃗=(3 ,2 ,1 ) e v⃗=(−1 ,−4 ,−1 ). Calcular:a) ( u⃗+ v⃗ ) ∙ (2 u⃗− v⃗ )b) u⃗ ∙u⃗c) 0⃗ ∙ u⃗

18)Dados os vetores u⃗=(4 ,α ,−1 ) e v⃗=(α ,2 ,3 ) e os pontos A (4 ,−1 ,2 ) e B (3 ,2 ,−1 ) determinar o valor de α tal que u⃗ ∙ ( v⃗+ A⃗B )=5

Produto Escalar – Propriedade do Produto Escalar19)Sendo |u⃗|=4, |v⃗|=2 e u⃗ ∙ v⃗=3, calcular (3 u⃗−2 v⃗ ) ∙ (−u⃗+4 v⃗ )

Produto Escalar – Definição Geométrica do Produto Escalar20)Sendo |u⃗|=2, |v⃗|=3 e 120o o ângulo entre u⃗ e v⃗, calcular:

a) u⃗ ∙ v⃗b) |u⃗+ v⃗|c) |u⃗−v⃗|

21)Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:a) u⃗=(1,−2 ,3 ) e v⃗=(4 ,5 ,2 )b) i⃗ e j⃗

22)Determinar um vetor ortogonal aos vetores v⃗1=(1,−1 ,0 ) e v⃗2=(1 ,0 ,1 )

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Produto Escalar – Cálculo do Ângulo de Dois Vetores23)Calcular o ângulo entre os vetores u⃗=(1,1 ,4 ) e v⃗=(−1 ,2 ,2 ).

24)Sabendo que o vetor v⃗=(2 ,1 ,−1 ) forma ângulo de 60o com o vetor A⃗B determinado pelos pontos A (3 ,1,−2 ) e B (4 ,0 ,m ), calcular m.

25)Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendoA (3 ,−3 ,3 ), B (2,−1 ,2 ) e C (1 ,0 ,2 )