Aula 26
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas e Triplas
Mudança de Variável
No Cálculo I (Substituição de variável)
onde e
Outro modo de escrever é o seguinte:
Coordenadas Polares
Onde é a região no plano
que corresponde à região no plano
cos sen x r y r
( , ) (cos , sen )R S
f x y dA f r r dr d S r
R .xy
Mudança de variável
De modo mais geral, no Cálculo II, consideremos uma mudança de variável dada pela transformação do plano
no plano
onde
ou, como às vezes escrevemos
T uv.xy
Transformação inversa
Se é injetora, então existe uma transformação inversa do plano
para o plano e pode ser possível inverter as equações
para escrever em termos de
T1T xy
uv
eu v e :x y
Transformação e sua Inversa
Exemplo 1
Uma transformação é definida pelas equações
Determine a imagem do quadrado
Solução
A transformação leva a fronteira de na fronteira da imagem. Assim, começamos por determinar a imagem dos lados de
S
.S
Solução
O primeiro lado, é dado por
Das equações dadas, temos
e portanto
Então é levado no segmento de reta que
liga a no plano
Solução
O segundo lado, é dado por
e substituindo nas equações dadas,
temos
Eliminando obtemos
que é parte de uma parábola.
Solução
Da mesma forma, é dado por
cuja imagem é o arco parabólico
Finalmente, é dado por
cuja imagem é isto é,
Solução
T
Jacobiano
Definição: O jacobiano da transformaçãodada por e é
T
Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla
Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma
região do plano para uma região do plano Suponha que seja contínua
sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que
seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira de . Então
T 1C
S uv R.xy f
R R S
TS
Exemplo 2
Utilize a mudança de variáveis
para calcular a integral ondeé a região delimitada pelo eixo e pelas parábolas e
,Ry dA Rx
Solução
Solução
No Exemplo 1, descobrimos que onde é quadrado A razão
que nos levou a fazer a mudança de variável para calcular a integral é que
é uma região muito mais simples queO jacobiano é dado por:
Solução
Portanto,
Exemplo 3
Calcule a integral ondeé a região trapezoidal com vértices
e
Solução
Como não é fácil integrar diretamente, vamos fazer a mudança de variáveis dada pela forma da função:
Essas equações definem a transformação do plano para o plano .
Jacobiano
Região S
Para determinar a região do plano correspondente a , observamos que os lados de estão sobre as retas
e as retas imagem do plano são
Então, a região é a região trapezoidal com vértices e
S uvR
R
uv
S
Solução
1T
T
Solução
Mudança de variável na integral tripla
Definição: O jacobiano da transformaçãodada por
é o determinante 3 3:
Mudança de variável na integral tripla
Sob hipóteses semelhantes àquelas usadas para a mudança de variável na integral dupla, temos a seguinte fórmula para integrais triplas:
Exemplo 4
Utilize a fórmula anterior para deduzir a fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas.
Solução: Aqui a mudança de variáveis é dada por
sen cos sen sen cosx y z
Jacobiano
sen cos sen sen cos cos( , , )
sen sen sen cos cos sen( , , )
cos 0 sen
x y z
sen sen cos cos sen cos sen sencos sen
sen cos cos sen sen sen sen cos
2 2 2 2 2 2 2 2cos sen cos sen sen cos cos sen sen cos sen sen
2 2 2 2 2sen cos sen sen sen
Jacobiano
Como temosPortanto,
sen 0.
2 2( , , )= - sen sen
( , , )
x y z
Fórmula
2
( , , )
sen cos , sen sen , cos sen d d d
R
E
f x y z dV
f
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