3. Derivadas Parciais

Cálculo II

Derivadas de Funções de 2 Variáveis

A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é

Significado matemático

xyxfyxxfyxf xx

),(),(lim),( 0

yyxfyyxfyxf yy

),(),(lim),( 0

1) Derivada parcial em x:

2) Derivada parcial em y:

Nomenclatura

• Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:

xx Dxfyxf

),(

Interpretação Geométrica da Derivada Parcial

Significado geométrico

Eixo horizontal no plano y = yo

A curva z = f (x, y0)no plano y = yo

Reta tangente

Eixo vertical no plano y = yo

Significado geométrico

Eixo vertical no plano x = xo

Reta tangente

A curva z = f (x, y0)no plano x = xo

Eixo horizontal no plano x = xo

Significado geométrico

A curva z = f (x, y0)no plano y = yo

Esta reta tangente tem coeficiente angular fy (x0, y0)

A curva z = f (x, y0)no plano x = xo

Esta reta tangente tem coeficiente angular fx (x0, y0)

A Técnica de Derivadas Parciais

A Técnica de Derivadas Parciais

Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

Ex.5

A Técnica de Derivadas Parciais

Exercícios propostos

Exemplos

),,( ),,(etermine ,643),,( )1

31

322322

zyxfezyx fdxyzyxzyxzyxfSe

Derivada em relação a x

Derivada em relação a z

323321 686),,( yzyxzxyzyxf

224223 49),,( yxzyxzyxf

Exemplos

),,( ),,(etermine ),5()4(cot)(),,( )1

23

3222

zyxfezyx fdzxysenzygzxtgzyxfSe

Derivada em relação a z Derivada em relação a y

332222223 5)5cos(24)4(cos)(sec),,( xyzxyzyzyeczxzyxf

2322222 15)5cos(8)4(cos),,( zxyzxyyzzyeczyxf

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Diferencial Total de uma função de 2 ou mais variáveis

Exercícios

yxxyyx ffffacharxxyyxfSe ,,, ,),( )1 32

zyx fffachar

zyxxxyzyxfSe

,,

,..2),,( )2 22

Tabela de Derivadas

Tabela de Derivadas