Aula 13

Derivação Implícita, derivadas das funções trigonométricas inversas e derivadas de funções logarítmicas

Derivação Implícita

As funções encontradas até agora podem

ser descritas expressando-se uma variável

em termos de outra.

Por exemplo:

ou

Em geral,

seny x x

Função Implícita

Algumas funções, entretanto, são definidasimplicitamente por uma relação entre ePor exemplo,

ou

Obs.: Em alguns casos é possível resolvertais equações isolando como uma função

explícita de

x .y

y.x

Exemplo

Logo, duas funções determinadas pelaequação implícita são

e

Os gráficos de e podem ser visto a seguir

Exemplo

Observação

Não é fácil resolver a equaçãoe escrever como uma função de à mão.Para um sistema de computação algébricanão há problema, mas as expressõesobtidas são muito complicadas. Nãoobstante, a expressão acima é a equação dacurva chamada fólio de Descartes.

O fólio de Descartes.

Gráfico de três funções definidas pelo fólio de Descartes

Derivação Implícita

O método de derivação implícita consiste

em derivar ambos os lados da equação em

relação a e então isolar na equação

resultante.

x

Exemplo 1

(a) Se encontre

(b) Encontre uma equação da tangente aocírculo no ponto

Solução

(a)

Note que

Solução

Assim,

Agora, isolando obtemos:

(b) No ponto temos .

Logo uma equação da reta tangente aocírculo no ponto é, portanto ou

Exemplo 2

(a) Encontre se

(b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes no ponto

(c) Em quais pontos do primeiro quadrantea reta tangente é horizontal?

Solução

Derivando ambos os lados deem relação a obtemos

Ou

Isolando obtemos:

Solução

(b) Quando

Reta tangente

ou

Solução

(c) A reta tangente é horizontal se quando desde que .Substituindo na equação da curva,obtemos

Como no 1º. quadrante, temos:

Solução

Se entãoAssim, a tangente é horizontal emque é aproximadamente

Exemplo 3

Encontre seSolução: derivando implicitamente emrelação a obtemos

Portanto,

2sen( ) cos .x y y x

2cos( ) (1 ) ( sen ) (cos )(2 )x y y y x x yy

2 sen cos( )

2 cos cos( )

y x x yy

y x x y

Exemplo 4

Encontre seSolução: derivando implicitamente emrelação a obtemos

Derivando usando a Regra cadeia esubstituindo a expressãoobteremos

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

A função inversa da função seno é definidapor

Derivando implicitamente emrelação a obtemos

ou

1sen sen ,2 2

y x y x y

sen y xx

Derivada da função arco seno

Note que uma vez quelogo:

Portanto,

Logo,

2 2cos 1 sen 1y y x

1

2

1(sen ) ,

1

dx

dx x

/ 2 / 2y cos 0,y

1 1x

Derivada da função arco tangente

derivando essa última equaçãoimplicitamente em relação a temos

Portanto,

1tg tg ,y x y x

x

2 2 2

1 1 1

sec 1 tg 1

dy

dx y y x

1

2

1(tg )

1

dx

dx x

/ 2 / 2y

Exemplo 5

Derive (a) (b)

Solução:

(a)

1

1

seny

x ( ) arctgf x x x

1 1 1 2 1

1 2 2

(sen ) (sen ) (sen )

1

(sen ) 1

dy d dx x x

dx dx dx

x x

Exemplo 5

(b)

Solução

( ) arctgf x x x

1/2

2

1 1( ) arctg

21

arctg2(1 )

f x x x xx

xx

x

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1(sen ) (cossec )

1 11 1

(cos ) (sec )1 1

1 1(tg ) (cotg )

1 1

d dx x

dx dxx x xd d

x xdx dxx x xd d

x xdx x dx x

Derivadas de Funções Trigonométricas

Seja Então . Derivandoessa equação implicitamente em relação a obtemos

e assim

x

Derivadas de Funções Trigonométricas

Se pusermos na fórmula anteriorobteremos

onde

e

Exemplo 1

Derive

Solução:

Fazendo logo

Fórmula geral

ou

onde e ln ( )y g x ( ).u g x

Exemplo 2

Encontre

Solução:

ln(sen ).d

xdx

1 1ln(sen ) (sen ) cos cotg

sen sen

d dx x x x

dx x dx x

Exemplo 3

Derive

Solução:

Exemplo 4

Derive

Solução:

10

1( ) log (2 sen ) (2 sen )

(2 sen )ln10

cos

(2 sen )ln10

d df x x x

dx x dx

x

x

Exemplo 5

Encontre

Solução:

Exemplo 5

Solução 2

Exemplo 6

Encontre seSolução:

Portanto

para todo

1se 0ln se 0

( ) ( )ln( ) se 0 1 1

( 1) se 0

xx x xf x f xx x

xx x

Derivação Logarítmica

Os cálculos de derivadas de funçõescomplicadas envolvendo produtos,quocientes ou potências podem muitasvezes ser simplificados tomando-se oslogaritmos. Esse método é chamadoDerivação Logarítmica.

Exemplo 7

Derive

Solução:

Derivando implicitamente em relação a obtemos

x

Exemplo 7

Isolando obtemos

e usando a expressão explícita para temos

Passos na derivação logarítmica

1. Tome o logaritmo natural em ambos oslados de uma equação e use aspropriedades dos logaritmos parasimplificar.

2. Derive implicitamente em relação a .

3. Isole na equação resultante.

x

Regra da Potência

Se for qualquer número real eentão Vejamos: seja

Caso de derivação para os expoentes e bases

1. ( e são constantes)

2.

3.

4. Para encontrar a derivação logarítmica pode ser usada, como no exemplo a seguir.

Exemplo 8

DeriveSolução:

Exemplo 8

Solução 2: Outro método é escrever

Obrigado !