Resistência dos Resistência dos Materiais IMateriais IMateriais IMateriais I

AULA 8 AULA 8 –– DESLOCAMENTOS DESLOCAMENTOS EM VIGASEM VIGAS

Prof José Julio de C PitubaDepto de Engenharia Civil

Campus Catalão

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

8.1 Introdução

� A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga

em relação a sua posição inicial.

� Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de � Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de

maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e

deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil.

� Métodos de determinação de deflexão e inclinações em pontos

específicos da viga serão discutidos.

8.2 Linha elástica

� Definir a forma defletida da viga sob a carga a fim de visualizar todos os

resultados calculados.

� Diagrama de deflexão: linha elástica

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

� Apoios podem limitar o deslocamento e/ou a rotação

8.2 Linha elástica

� Se a linha elástica for difícil de traçar desenhar primeiro o diagrama de

momento fletor.

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8.3 Relação Momento-Curvatura

� Relação importante entre o momento fletor interno da viga e o raio de curvatura ρ da linha elástica em determinado ponto.

� Determinar a inclinação e o deslocamento da linha elástica de uma viga (ou eixo)

� No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar a hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão.

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8.3 Relação Momento-Curvatura

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

A variação de comprimento ∆u das fibras pode ser expressa por:

onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do eixo neutro. Assim:

onde κ é definido como sendo a curvatura.

⇒I

My

E

−=σ

ε=σ

EI

M1 =ρ⇒

8.3 Relação Momento-Curvatura

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Para regime elástico linear

dx

d1

ddx

θ=ρ

θρ=

Inclinação da curva de deflexão

⇓

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

� A linha elástica é expressa matematicamente como ν = f(x).

� Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/ρ) em termos da

deflexão ν e x.

dxd1 22ν

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

( )[ ]

( )[ ] EI

M

dxd1

dxd

dxd1

dxd1

23

2

22

23

2

22

=ν+

ν

ν+

ν=ρ Equação infinitesimal não-linear de segunda

ordem. Sua solução dá a forma exata da linha

elástica⇒

Inclinação da linha elástica ⇒ dx

dν=θ

� A inclinação da linha elástica determinada por dν/dx é muito pequena e seu

quadrado desprezível em comparação a unidade.

� A curvatura portanto, pode ser aproximada por:

Mdd1 22 νν

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

EI

M

dx

d

dx

d12

2

2

2

=ν⇒

ν=ρ

ν=−⇒=−

ν=⇒=

2

2

2

2

2

2

dx

dEI

dx

dw

dx

dVw

dx

dEI

dx

d)x(V

dx

dMV

�É possível escrevê-la de duas formas:

� Os resultados podem ser

escritos da seguinte

forma:

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

)x(Mdx

dEI

)x(Vdx

dEI

)x(wdx

dEI

2

2

3

3

4

4

=ν

=ν

−=ν

Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se considerar uma viga com carga distribuída. A deflexão neste caso é obtida após quatro integrações sucessivas.

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

As constantes C1, C2, C3 e C4 sãodeterminadas impondo as condições decontorno. Para o caso de w(x), V(x) econtorno. Para o caso de w(x), V(x) eM(x) descontínuos, a solução pode serachada para cada segmento da vigaonde as funções são contínuas,impondo a continuidade de deflexãonos contornos comuns de cadasegmento da viga.

� Convenção de sinais:

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

� Condições de contorno:

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

� Continuidade: equações usadas para determinar as constantes de integração

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

)a()a(

)a()a(

21

21

ν=νθ=θ

APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!

8.5 Superposição de efeitos

Deslocamentos e inclinação tabelados

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

( ) ( )( ) ( )2C1CC

2A1AA

ν+ν=νθ+θ=θ

8.5 Superposição de efeitos

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

8.5 Superposição de efeitos

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

8.5 Superposição de efeitos

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!

8.6 Vigas estaticamente indeterminadas

PARA RESOLVER O

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

PROBLEMA: EQUAÇÕES

DE CONTORNO E/OU

CONTINUIDADE

APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!