Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

DEZ

DERIVADA

A reta Tangente

Seja y = f(x) uma curva definida

no intervalo (a, b), como

mostrado na figura ao lado.

Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois

pontos distintos da curva y = f(x).

Seja s a reta secante que passa

pelos pontos P e Q.

DERIVADA

Considerando o triângulo

PQM, temos que a inclinação

da reta s (ou coeficiente

angular de s) é

x

y

xx

yytg

12

12

DERIVADA

Mantendo P fixo e movendo Q

sobre a curva em direção a P, a

inclinação da reta secante s

variará.

À medida que Q se aproxima

cada vez mais de P, a inclinação secante varia cada vez

menos, tendendo para um valor limite constante.

Esse valor é chamado inclinação da reta tangente à

curva no ponto P, ou também inclinação da curva em

P.

DERIVADA

Definição: Dada uma curva y = f(x), seja P(x1, y1)

um ponto sobre ela.

A inclinação da reta tangente à curva no ponto P

é dada por;

quando o limite existe.

1,limlim12

121

12 xx

xfxf

x

yxm

xxPQ

DERIVADA

Fazendo

Podemos reescrever o limite (1) na forma:

xxx 12

2.lim 11

01

x

xfxxfxm

x

DERIVADA

Conhecendo a inclinação da

reta tangente à curva no ponto

P, podemos encontrar a

equação da reta tangente à

curva em P.

DERIVADA

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE

Se f(x) é contínua em x1, então a reta tangente à

curva y = f(x) em P(x1, f(x1)) é:

infinito

.,

..lim,lim

11

11

01

xxmxfyequaçãoatemoscasoNesse

existeestesex

xfxxfxm

inclinaçãotendoPporpassaqueretaAi

x

forx

xfxxfsexxretaAii

x

11

01 lim

DERIVADA

Exemplo:

Encontre a inclinação da reta tangente à curva

no ponto

122 xxy

11, yx

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 1

Encontre a equação da reta tangente à curva

no ponto cuja abscissa é 2.

22 2 xy

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVAÇÃO

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO

Suponha que um corpo se move em linha reta e

que s = s(t) represente o espaço percorrido pelo

móvel até o instante t. Então, no intervalo entre t

e t + Δt, o corpo sofre um deslocamento

.tsttss

DERIVADA

Definimos velocidade média nesse intervalo

de tempo como o quociente

isto é, a velocidade média é o quociente do

espaço percorrido pelo tempo gasto para percorrê-

lo.

,

t

tsttsvm

DERIVADA

De forma geral, a velocidade média nada nos

diz sobre a velocidade do corpo no instante t.

Para obtermos a velocidade instantânea do

corpo no instante t, calculamos sua velocidade

média em instantes de tempo Δt cada vez

menores.

DERIVADA

A velocidade instantânea, ou velocidade no

instante t, é o limite das velocidades médias

quando Δt se aproxima de zero, isto é,

.limlim00 t

tstts

t

stv

tt

DERIVADA

Aceleração

O conceito de aceleração é introduzido de

maneira análoga ao de velocidade.

A aceleração média no intervalo de tempo de

t até t+Δt é dada por:

.

t

tvttvam

DERIVADA

A aceleração média mede a variação da

velocidade do corpo por unidade de tempo no

intervalo de tempo Δt.

Para obtermos a aceleração do corpo no

instante t, tomamos sua aceleração média em

intervalos de tempo Δt cada vez menores.

DERIVADA

A aceleração instantânea é o limite

.lim0 t

tvttvta

t

DERIVADA

Exemplo: No instante t = 0 um corpo inicia um

movimento em linha reta. Se a posição no

instante t é dada por

Determinar

(a) a velocidade média do corpo no

intervalo [2, 4];

(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;

(c) a aceleração média no intervalo [0, 4];

(d) a aceleração no instante t = 4.

.16 2ttts

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (b)

SOLUÇÃO (c)

SOLUÇÃO (d)

DERIVADA

Exercício 2

A equação do movimento de um corpo em queda

livre é

sendo g um valor constante. Determinar a

velocidade e a aceleração do corpo em um

instante t.

,2

1 2gts

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADA

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

A derivada de uma função f(x) no ponto x1,

denotada por f’(x1), (lê-se f linha de x, no ponto

x1) é definida pelo limite

quando este limite existe.

,lim 11

01

'

x

xfxxfxf

x

DERIVADA

Também podemos escrever

Como vimos, este limite nos dá a inclinação

da reta tangente à curva y = f(x) no ponto

(x1, f(x1)).

Portanto, geometricamente, a derivada da

função y = f(x) no ponto x1 representa a

inclinação da curva neste ponto.

.lim12

121

'

21 xx

xfxfxf

xx

DERIVADA

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

A derivada de uma função y = f(x) é a função

denotada por

(lê-se f linha de x), tal que seu valor em

qualquer x ϵ D(f) é dada por:

,' xf

.,lim0

' existirestesex

xfxxfxf

x

DERIVADA

Dizemos que uma função é derivável quando

existe a derivada em todos os pontos de seu

domínio.

Outras notações que podem ser usadas no

lugar de

:'' xfy

DERIVADA

).()(

).()(

).()(

xarelaçãoemydederivadaselêdx

dyiii

xarelaçãoemydederivadaselêyDii

xarelaçãoemxfdederivadaselêxfDi

x

x

DERIVADA

Exemplo

.2,165 '2 fencontrexxxfDada

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 3

.,3

2 ' xfencontrex

xxfDada

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 4

Encontre a equação tangente à curva

que seja paralela á reta

,xy

0148 yx

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 5

Encontre a equação para a reta normal à curva

no ponto P(2,4).

2xy

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 6

Dada ,xxf

encontre .4'f

SOLUÇÃO

DERIVADA

Exercício 7

Dada ,3

1

xxf

encontre .' xf

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADA

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS

Se f(x) for contínua em x1 não implica que

existe f ’(x1).

Agora o contrário vale, como mostra o Teorema

seguinte.

Teorema: Toda função derivável num ponto x1

é contínua nesse ponto.

DERIVADA

Exercício 8

Encontrar as equações das retas tangente e

normal à curva 122 xxy

no ponto .9,2

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

DEZ