SALA: 68- C Animais

Cálculo Diferencial e Integral 2Quarta Feira

4a Aula

Aplicações de Integrais Definidas: Centróide e Volume

Turma: BCT

Prof. Walter Martins

Versão: 2o Semestre de 2010

Prof. Walter Assunto: Centróide

Aplicações das Integrais Definidas

A integral definida para cálculo do Centróide

O problema de determinar o centróide de uma região planar (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. As coordenadas ( , ) do centróide são dadas por

Exemplo: Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].

Solução: Acha-se a área

A = = = . 2 . =

Exemplo: Determinar o centróide da figura entre as duas curvas e .

1

= = = 1,8 = = = 0,92

y = (só a parte positiva)

1 2 3 x

y2 = 2xy

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

= = = = = = 0,43

Exemplo: Determinar o centróide de uma semicircunferência positiva.

Solução: A equação da circunferência e , onde . Então, é a semicircunferência.

2

3xy xy

X

(1,1)

r r X

Y22 xry

Prof. Walter Assunto: Centróide

,

como já era esperado.

Exercício: Calcule o centróide de uma semicircunferência. A equação da circunferência e x2 + y2 = r2 , onde r = raio, r = 2. Então y = é a semicircunferência.

(como já era esperado)

3

2 2 X

Y24 xy

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

A = = = =

A = = = = = 0,8488

Exercício: Determinar o centróide da área delimitada pelas parábolas , e o eixo .

(como já era esperado)

4

Y

X110

xfy

Prof. Walter Assunto: Centróide

Aplicações das Integrais Definidas

Volume de sólidos de revolução

Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido:

a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se

interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar

num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada.

Sólidos de Revolução - Método do Disco

Dada uma região plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em

e que esteja no mesmo plano de . Girando-se em torno deste eixo, forma-se um

região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução.

5 Sólido gerado pela Rotação.

Área plana

R

b)

Área plana

R

Sólido gerado pela Rotação.

a)

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

Girando o gráfico de uma função tem-se:

Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela

revolução da região sob a função , no intervalo .

Exemplo: Achar o volume gerado pela função em

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xfy

Área plana

Y

Xa b

yxfr

Cálculo do elemento de volume

Y

X

ab

(1,1)

(2,8)

x

r

Elemento de volume

1 2

3xy (1,1)

(2,8)

R

Y

Área plana

a

Y 22 xay

Semi-círculo em rotação

a X

Sólido gerado pela rotação do semi-círculo

X

Y

Prof. Walter Assunto: Centróide

que é o volume da esfera gerada!

Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo ao invés do eixo , e

novamente um sólido de revolução será gerado.

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Área plana girando em y

R

y

x

b

a

x = g(y)

y

x

dy

r = x = g(y)

dV

Sólido de revolução da área plana em torno de y

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

V = = que é o volume do sólido

Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y,

no intervalo [0,4].

O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este

método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que

f(x) > g(x), para todo x[a,b].

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f(x)

g(x)

a b x

y

dx

dV

Anel projetado

f(x)

y

x

g(x)

Sólido gerado pela revolução

Área plana em revolução

y

Seção plana parábola girando em y

y4

0 2 x

y = x2 x =

x

Sólido gerado pela Parábola de revolução

Prof. Walter Assunto: Centróide

O elemento de volume do anel é dado por:

de forma que o volume todo é dado por:

Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes.

Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela

rotação da região entre e .

Solução: Faz-se e (pois )

Pontos de Interseção: , isto é:

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Área entre parábola e reta.

2xyR

(-1,1)

(2,4)

X

Y

Sólido de revolução

X

Y

Prof. Walter Martins Notas de aula Calculo 2

logo

Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções

e , tem-se:

de forma que o volume todo é dado por:

As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser

paralelo a " " ou a " ". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se

identifique o raio do giro.

Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região em torno do

eixo . é limitada pelos gráficos de e .

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X

yfx

ygx

Y

Área entre curvas, em revolução

Sólido gerado pela área em revolução

dV

dy

Y

X

Prof. Walter Assunto: Centróide

Solução: Para isolar-se faz-se: .

Também, se tem que: se

Observação: raio externo e raio interno

(unidades de volume)

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xy 42

Parábola girando em torno de um eixo externo

Parabolóide gerado pela rotação