Ensino Superior

11. Integrais Triplas

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Funções de Três Variáveis

w = f(x,y,z)

Variável dependente

Variáveis independentes

- Domínio em R3

- Imagem em R4 (hiper-espaço)Características

de f(x,y,z)

Funções de Três Variáveis

Funções de Três Variáveis

Considerando os volumes elementares do DVi = DxiDyiDzi

domínio D em três dimensões (R3):

Pode-se calcular o somatório:

Tomando o limite quando n tende ao um número

infinitamente grande e positivo, tem-se a integral tripla:

n

1iiiiin vzyxfS ).,,(

DnnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim

Propriedades

DD

dVzyxfKdVzyxfK ).,,(.).,,(.1ª)

2ª)

DD

D

dVzyxgdVzyxf

dVzyxgzyxf

).,,().,,(

)].,,(),,([

Propriedades

DD

dxdzdyzyxfdzdydxzyxf ..).,,(..).,,(3ª)

4ª)

2D1D

D

dVzyxfdVzyxf

dVzyxf

).,,().,,(

)].,,(

Resolver

dzdydxzyx 21

0

1

0

1

0

22 ..).(

dzdydxzyx1

1

1

0

2

1

..).(

dydxdz2

0

y4

y4

yx2

0

2

2

.

O Volume do Domínio

2

1

z = 1 - y

y

x

z DdVV

1

0

2

0

1

0

..y

dydxdzV

Valor Médio

D

D

dV

dVzyxfzyxf

).,,(),,(