Funções Hiperbólicas

das aplicações às definições

Juliana Zys Magro

Karen Maria Jung

Lucas Backes

Rene Baltazar

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Educação Matemática e Tecnologia (MAT01074)

Profº Marcus Basso

MotivaçãoAo observar um fio usado para transporte de

energia elétrica, preso em dois postes, notamos que o peso

do mesmo faz com que ele fique um pouco arredondado,

dando a impressão de que o gráfico formado pela curva

representa uma parábola, mas na verdade, tal curva é o

gráfico da função cosseno hiperbólico, conhecida como a

catenária (do latim catena=cadeia), pois foi através de uma

corrente metálica formada por elos (cadeias) que se

observou primeiramente tal curva.

Problemas

Um paraquedista salta, com velocidade inicial nula, a partir de

uma altura h acima do solo, e atua sobre ele uma resistência do

ar Newtoniana, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade.

Escolhendo “para cima” como sentido positivo, podemos

escrever:

0)0(

;2

v

kvmgdt

dvm

Problemas

Esta equação diferencial é do tipo a variáveis separáveis e o

problema de valor inicial acima tem solução:

onde . Observamos que, quando t tende ao infinito,

v(t) tende à velocidade limite . Na verdade, esta

velocidade não é atingida, porque o paraquedista atinge o solo

em algum instante de tempo finito.

,1

1)(

2/1

At

At

e

e

k

mgtv

2/1

2

m

gkA

2/1

k

mgv

Problemas

A solução pode ser reescrita fazendo uso de tangente

hiperbólica, pois:

.2

tanh)(

)(

1

12/2/2/

2/2/2/

At

eee

eee

e

eAtAtAt

AtAtAt

At

At

Um exemplo com números:

,/10

;/.21,0

;120

2

22

smg

msNk

kgm

leva ao gráfico para :)(tv

Problemas

Também encontramos problemas que envolvem funções hiperbólicas relacionados à

Combinatória, por exemplo:

Encontrar o número de r-seqüências quaternárias que contém somente um número par

de zeros.

Para resolvermos uma parte desse problema, encontramos a função geradora para o

dígito zero, que é:

Podemos ver que neste caso encontramos a expressão cosh(x).

).cosh()(2

1...

!6!4!21

642

xeexxx xx

Definição

sinh(t)=

tanh(t)=

cosh(t)=

2

tt ee

2

tt ee tt

tt

ee

ee

Por que o nome

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS?

Lembra-se das funções circulares?

sen(x) - cos(x) - tg(x) - sec(x) - cosec(x) - cotg(x)

Por que elas têm este nome?

Pois a partir de uma combinação de sen(x) e cos(x) pode-se “gerar” uma circunferência. Veja:

Esta circunferência é dada pela equação paramétrica

(x,y) = (cos(t), sen(t)), com 0 ≤ t ≤ 2pi.

Vamos nos convencer construindo-a usando o software Winplot.

x

y

Vá até o ícone Equação/Paramétrica

Faça f(t)=cos(t) e g(t)=sin(t)

Para mudar a cor, a espessura da linha do gráfico basta ir até o ícone

desejado e mudar;

Após feitas as escolhas bastar clicar em ok

Será que estas funções ditas hiperbólicas tem este nome porque através destas é possível “gerar” uma hipérbole? SIM, verificaremos isto fazendo os gráficos.

Primeiro faremos o gráfico da hipérbole dita unitária

Para isto vamos até o ícone Equação/Implícita e abrirá a seguinte janela:

122 yx

No campo maior digitamos a equação da

hipérbole da seguinte forma:

X^2-y^2=1

Para melhor visualização do gráfico

mudaremos sua cor para amarelo (para

isto basta ir até o ícone cor e escolher a

cor amarelo) e mudaremos sua

espessura para 5

Agora faremos os gráficos de:

(x,y)=(cosh(t), sinh(t))

(x,y)=(cosh(t), -sinh(t))

(x,y)=(-cosh(t), sinh(t))

(x,y)=(-cosh(t), -sinh(t))

Para isto basta ir até o ícone Equação/Paramétrica e digitar as

equações acima (uma de cada vez) e, para melhor

visualização dos resultados, mude a cor do gráfico para preto

com espessura da linha 1;

Vejamos os resultados obtidos:

A que conclusão podemos chegamos?

Principais Identidades

• Trigonometria circularx² + y² = 1

cos²(t) + sen²(t) = 1tg(t) = sen(t)/cos(t)cot(t) = cos(t)/sen(t)

sec(t) = 1/cos(t)csc(t) = 1/sen(t)

sen(2t)=2sen(t)cos(t)cos(2t)=cos²(t)-sen²(t)tg(2t)=2tg(t)/(1-tg²(t))

• Trigonometria hiperbólicax² - y² = 1

cosh²(t) - senh²(t) = 1tgh(t) = senh(t)/cosh(t)coth(t) = cosh(t)/senh(t)

sech(t) = 1/cosh(t)csch(t) = 1/senh(t)

senh(2t)=2senh(t)cosh(t)cosh(2t)=cosh²(t)+senh²(t)tgh(2t)=2tgh(t)/(1+tgh²(t))

Referências:

• Anton, Howard.   Cálculo.  8. ed.  Porto Alegre: Bookman, 2007. 1 v.

• Santos, Jose Plinio de Oliveira.   Introdução à análise combinatória.  3. ed. rev.  Campinas, SP: Editora UNICAMP, c2002. x, 297 p. : il.

• Contribuição da professora Maria Cristina Varriale no primeiro problema .