Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Viga Longa

Prof. Dr. Eduardo Lenz Cardosolenz@joinville.udesc.br

Modelo Estrutural de Viga Longa (Euler­Bernoulli)

Modelo de Viga Longa ­ Geometria

● Comprimento L >> demais dimensões transversais ;

● Seção transversal constante;

● Sistema de referencia local xyz;

● Simetria no plano de flexão;

Modelo de Viga Longa ­ Material

● Homogêneo;● Isotrópico;● Regime Elástico;● Regime Linear.  

Modelo de Viga Longa ­ Carregamento

● Flexão pura ­> somente momentos fletores (não são considerados, inicialmente, efeitos associados ao cortante);

M

Teoria de Vigas Longas – Comportamento 1

● Se a flexão for pequena, então a altura e a espessura da viga se mantém constantes;

x

x

h

h

Teoria de Vigas Longas – Comportamento 1

● Assim, todos os pontos de uma seção transversal tem o mesmo deslocamento vertical v;

● Conceito de linha elástica.

v(x)

v(x)

Graus de Liberdade de uma Viga longa

● Deslocamento transversal: v(x);

● Rotação da linha elástica:  

v(x)

(x)

(x)

Modelo de Viga Longa – Comportamento 2

● Hipótese das seções planas: seção transversal gira, sem “entortar”;

●  Decorrencia direta do fato de estarmos aplicando somente momentos fletores.

x

x

Modelo de viga longa – comportamento 2

● Assim, os pontos de uma determinada seção transversal são submetidos somente a deformações e tensões normais; +

­

Validade do modelo de viga longa

● Se a viga for longa, mesmo a aplicação de uma força transversal provoca momento mais intenso do que o cortante.

F

V  =  FM =  F*L

Rigidez  de uma viga longa

● O procedimento é análogo aos anteriores (barra e eixo), com a diferença de que temos 2 graus de liberdade, ao invés de 1;

● Modelo de viga longa: 

Rigidez Flexional de Viga Longa

● Se E e I forem constantes, podemos integrar esta equação 2 vezes:

Matriz de Rigidez de uma Viga Longa

● Vamos aplicar uma força transversal na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos;

F

FM

M

Matriz de rigidez de uma viga longa

Matriz de Rigidez de uma viga longa

● Vamos aplicar um momento fletor na extremidade da direita, mantendo os outros graus de liberdade fixos;

F

F

M

M

Matriz de Rigidez de Viga Longa

● O mesmo procedimento deve ser repetido para os dois graus de liberdade do lado esquerdo; Ao sobrepor as equações, obtemos:

Matriz de Rigidez de Viga

Carregamento Distribuído

● Conceito de reações de engastamento perfeito;

● Novamente, tiramos proveito da linearidade do problema;

● Carregamento com variação linear.

q1

q2

Carregamento Distribuído

● Basta sobrepor as reações na hora de deduzir a matriz de rigidez; Não modifica a rigidez.

Elemento Finito de Pórtico Plano

● União de efeito Axial (barra) e flexional (Viga Longa): 3 graus de liberdade por nó.

Elemento Finito de Pórtico Plano

● Rigidez Axial ­> barra

Elemento Finito de Pórtico Plano

● Rigidez Flexional­> viga

Elemento Finito de Pórtico Plano

● Sobrepondo:

Rotação do Sistema de Coordenadas

F

a

b

nó 1

nó 2

nó 3

F

Rotação do Sistema de Coordenadas

nó 1

nó 2

nó 3

F

x

x

Sistemas locais rotacionados em torno do eixo Z

X

Y

Rotação do Sistema de Coordenadas

Somente as forças e deslocamentos precisam ser rotacionados. Os momentos em torno de Z e os giros não não se alteram !

Rotação do Sistema de Coordenadas

Rotação do Sistema de Coordenadas

Sobreposição das Matrizes de Rigidez dos Elementos

Matriz de Rigidez

● Simétrica;● Esparsa – depende da numeração dos nós;● Positivo­Definida;