Métodos Numéricos

Interpolação Polinomial:Introdução;Lagrange.

Polinômios Polinômios são funções da forma:

Eles possuem características especiais:

São fáceis de calcular. A derivada de um polinômio é um polinômio. A integral de um polinômio é um polinômio.

Interpolação polinomial (Aplicação 1) Em muitos casos, temos apenas um conjunto de

pontos:

x0, x1, ... xn

Por exemplo, em dados obtidos através de experimentos.

Se vamos aproximar estes pontos por uma função, dadas as características apresentadas, os polinômios são bons candidatos.

Interpolação polinomial (Aplicação 1)x0, x1, ... xn

polinômio

Interpolação polinomial (Aplicação 2) Em outros casos, temos a forma da função f(x).

Ainda assim, para simplificar o manejo, pode ser interessante aproximá-la por um polinômio.

polinômio

Problema da interpolação Dados n+1 pontos:

x0, x1, ... xn

E n+1 valoresy0, y1, ... yn

Determinar o polinômio Pn(x), de grau máximo n, tal que:

Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1 ... Pn(xn) = yn

Teorema da unicidade Teorema 1 : Dados n+1 pontos distintos x0,x1,...xn

e n+1 valores y0, y1, ..., yn, existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que:

Pn(xk) = yk, k=0,...,n

Aplicação Podemos resolver o sistema

E obter os valores dos coeficientes do Polinômio que interpola os pontos. Porém:

TrabalhosoSusceptível a erros numéricos.

Vamos estudar outras maneiras!

Interpolação polinomial Já sabemos que podemos obter o polinômio que

interpola os pontos:

(x0,y0), (x1,y1), ... (xn,yn) polinômio

A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente.

Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação.

Solução: uso de métodos numéricos - Interpolação.

Interpolação Polinomial

Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo:

Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ?

Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da interpolação.

Interpolação Polinomial

0,057 0,046 0,028 0,016 0,001 f(xi)

6,04,53,01,50xi

A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).

A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

Função a ser considerada: Polinômios Interpolação Polinomial

Interpolação Polinomial

Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações:

conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...

f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo,

f(x) não é conhecida explicitamente.

Interpolação Polinomial

O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados.

Interpolação Polinomial

Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é:

p(x0)=f(x0)

p(x1)=f(x1)

…

p(xn)=f(xn)

Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão.

(Equação 1)

Interpolação Polinomial

Polinômio p(x) - polinômio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um único

polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)}

Portanto, pode-se escrever:

Interpolação Polinomial

p x a a x a x a x f xn nn

0 0 1 0 2 02

0 0 ...

p x a a x a x a x f xn nn

1 0 1 1 2 12

1 1 ...

p x a a x a x a x f xn n n n n n

nn

0 1 2

2 ......

Interpolação Polinomial

O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis.

Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ?

Poderia ser resolvido diretamente.

Essa é uma das formas de se obter o polinômio interpolador.

Interpolação linear

Interpolação Polinomial

xxxxyyyxP

yy

aa

x x

yxaayxaa

yxPyxP

xaaxPxf

)()(

11

)()(

)()(

001

0101

1

0

1

0

1

0

1110

0010

111

001

101

Polinômio interpolador

A mesma metodologia pode ser empregada para a Interpolação Quadrática ou superior.

A determinação dos coeficientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforço computacional.

Deve-se procurar metodologia alternativa de modo a evitar a solução de sistemas de equações lineares.

Outras formas: a forma de Lagrange a forma de Newton

Interpolação Polinomial

Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar

um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a condição (1), isto é, passe por todos os pontos.

Interpolação Polinomial

p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ...

Lk(x) são polinômios tais que:

L xk i ki (Eq. 2) e sendo que:

ki

se k ise k i

01

,,

Forma de Lagrange Portanto,

Interpolação Polinomial

p x L x f x L x f x L x f xp x f x f x f xp x f x

n n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1

0 0

1 0 0

... ...

ep x L x f x L x f x L x f xp x f x f x f xp x f x

n n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 1

1 1

0 1 0

... ...

Ou seja: p x f xi i( ) ( ) ( p(x) passa sobre os pontos {xi,f(xi)} )

Forma de Lagrange Temos que encontrar os polinômios Lk(x), que satisfaçam

(2). Uma solução é:

Interpolação Polinomial

L x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x xk

k k n

k k k ki k ki k n

( )

0 1 1 1

0 1 1 1

... ... ... ...

L x e

L x se i kk k

k i

1

0 ,

Pois:

Interpolação Polinomial

Forma de Lagrange Compacta Igual à anterior (notação diferente):

p x L x f xn i ii

n

0

e

L x

x x

x xi

jjj i

n

i jjj i

n

0

0

(3)

Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de

retas (n=1) (Interpolação Linear)

 

xi x0 x1 f(xi) f(x0) f(x1)

De (3):

1

01100 )().()().()().()(

iii xfxLxfxLxfxLxp

Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de

retas (n=1)

 

As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:

L0 (x0) =1 L1 (x0) =0L0 (x1) =0 L1 (x1) =1

As funções:

10

10 )(

xxxx

xL

01

01 )(

xxxxxL

e satisfazem

Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de

retas (n=1)

  1

01

00

10

1 xfxxxx

xfxxxx

xp

Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de

parábolas (n=2) (Interpolação quadrática)

 De (3):

xi x0 x1 x2

f(xi) f(x0) f(x1) f(x2)

221100

2

0

xfLxfLxfLxfLxpi

ii

Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de

parábolas (n=2)

 

As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:

As funções:

satisfazem

L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1

2010

210 xxxx

xxxxL

2101

201 xxxx

xxxxL

1202

102 xxxx

xxxxL

Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de

parábolas (n=2)

 

2

1202

101

2101

200

2010

21)( xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxp

Interpolação Polinomial Ajuste uma reta aos seguintes pontos

(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)

 

101

00

10

1 xfxxxx

xfxxxx

xp

(vide slide 12)

28.2455.16.52421.3

424

xxxxxp

6.025.1 xxp

Fórmula de Lagrange – Forma Geral Tome o seguinte polinômio de grau n:

No numerador, temos os produtos (x-xi), com i k.

No denominador temos os produtos (xk-xi), com i k.

Note que:

Fórmula de Lagrange Chame f(x0) de f0, f(x1) de f1 ... f(xn) de fn:

Note que podemos escrever Pn(x) como:

O grau de Pn é, no máximo, n. Pn satisfaz: Pn(xk) = f(xk).

Fórmula de Lagrange do Polinômiode interpolação.

Exemplo Considere os pontos:

a) Determine o polinômio de interpolaçãob) Calcule uma aproximação para f(1)

x -1 0 3f(x) 15 8 -1

Exemplo (solução) Temos:

Como temos três pontos, necessitamos de um polinômio de grau 2. O polinômio de interpolação de Lagrange é dado por:

x -1 0 3f(x) 15 8 -1

Exemplo (solução) x -1 0 3f(x) 15 8 -1

Logo:

Exemplo (solução) x -1 0 3f(x) 15 8 -1

f(x) = P(x) para x0, x1 e x2.

Para x=1, f(1) ≈ P(1) = 3

Exemplo Encontrar o polinômio que interpola a função f(x)

= 1/x2 nos pontos x0 = 2, x1 = 2,5 e x2 = 4.

Exemplo (solução)