ÍNDICE

ÍNDICE.....................................................................................................................................1

INTRODUÇÃO.........................................................................................................................2

8a Classe.....................................................................................................................................3

1. Equações............................................................................................................................3

1.1. Noção de equações.....................................................................................................3

1.2. Resolução de equações...............................................................................................4

1.3. Equações lineares a uma incógnita.............................................................................6

1.4. Classificação de equações...........................................................................................7

1.5. Equações literais.........................................................................................................8

2. Sistema de duas equações lineares a duas incógnitas........................................................8

2.1. Resolução de siatemas de equações lineares..............................................................9

2.2. Classificação dos sistemas de equações...................................................................12

2.3. Resolução de problemas conducentes a sistemas de duas equações lineares com

duas incógnitas.................................................................................................................13

3. Funções Lineares.............................................................................................................13

3.1. Conceito de função...................................................................................................14

3.2.Variável dependente e variável independente...........................................................14

3.3. Modos de definir uma função...................................................................................14

3.4. Classificação de aplicações ( funções).....................................................................15

3.5. Função linear............................................................................................................15

10a Classe.................................................................................................................................17

1. Funções quadráticas.........................................................................................................17

1.1. Função do tipo .............................................................................................18

1.2. Função do tipo ..........................................................................................18

1.3. Função do tipo ..................................................................................19

2. Funções trigonométricas..................................................................................................20

2.2. Representação gráfica da função ............................................................20

CONCLUSÃO.........................................................................................................................21

1

INTRODUÇÃO

O presente trabalho é uma abordagem descritiva de como são tratadas as equações e funções, a nível

da 8a e da 10a Classes, respectivamente. Em relação a 8a classe, focalisou-se a noção e o conceito de

equações, a resolução das mesmas, pelos diferentes métodos. Apresenta-se ainda, problemas

conducentes a equações tanto a uma incógnita assim como a duas incógnitas. Quanto a 10 a Classe,

faz-se a descrição do modo de tratamento das funções quadráticas e trigonómétricas.

2

8a Classe

1. Equações

1.1. Noção de equações

Ao se introduzir o estudo de equações pode-se começar por apresentar um problema da vida

prática.

Exemplo:

“O Rafael João pensou num número; adicionou-lhe 3 e obteve 10. Qual foi o número que ele

pensou?”

Para se resolver esse problema, traduz-se em primeiro lugar para a linguagem matemática do

seguinte modo:

Supõe-se que seja x o número em que o Rafael João pensou, então, x + 3 = 10.

Segue-se de imediato com a definição de incógnita e equação. Fala-se dos membros da

equação e dos termos (termo dependente e termo independente). Sem nenhum método

mostra-se que o nómero cujo a soma é 10 quando adiconado a 3 é 7. De seguida apresenta-se

a definição de solução de uma equação e algums exemplos onde se exige que se determine a

solução de algumas equações.

Exemplo: Qual é a solução das seguintes equações.

a) x + 5 = 9 b) x + 8 = 12 c) 3x + 1 = 7 d) x + 2 = 11

Resolução:

a) x + 5 = 9, a solução é 4, pois 4 + 5 = 9

b) x + 8 = 12, a solução é 4, pois 4 + 8 = 12

c) 3x + 1 = 7, 2 é a solução, pois 3(2) + 1 = 7

d) x + 2 = 11, 9 + 2 = 11 logo a solução é 9.

Considera-se as equações das alíneas a) e b) para se falar de equações equivalentes, e dá-se

exercícios que exigem que se escreva uma equação equivalente a uma dada.

Exemplo:

Escreva uma equação qualquer equivalente a equação:

a) x + 2 = 3 b) 3x = 12 c) x +1 = 2x – 1

Resolução

a) 2x + 4 = 6 x + 2 = 3 porque tem a mesma solução {1}.

b) x - 4 = 8 – 2x 3x = 12, pois {4} é solção de ambas equaões.

c) x + 7 = 2x + 5 x +1 = 2x – 1, porque ambas equações tem como solução {2}.

3

1.2. Resolução de equações

1.2.1. Princípios de equivalência

É com base nas equações equivalentes que se determina o conjunto-solução de uma equação.

Mostra-se que ao se adicionar quantidades iguais em ambos os membros de uma equação a

solução não se altera, ou seja, a equação que resulta da adição de certa quantidade em ambos

membros de uma equação antiga é equivalente a mesma.

Exemplo:

A figura mostra uma balança em equlíbrio.

a) Observe-se as transformações verificadas nos pratos da balança ao se passar de (I) para

(II).

b) Repare-se agora, nas transformações verificadas nos pratos da balança ao se paasar de (I)

para (III).

Das observações feitas conclui-se que as equações em

(I) x + 2 = 6

(II) x + 2 + 1 = 6 + 1

(III) x + 2 – 2 = 6 – 2, têm todas mesma solução x = 4, sendo assim, equivalentes.

Em geral,

x + 2 = 6 x + 2 + a = 6 + a, para todo a .

4

Depois, enuncia-se o 1o princípio de equivalência ou o princípio de adição e resolve-se

alguns exercícios aplicando o princípio de adição.

Exemplo:

Resolva a seguinte equação:

a) x – 7 = 10 b) 2x – 5 = x + 5

Resolução

a) x – 7 = 10 x – 7 + 7 = 10 + 7 x = 10 + 7 x = 17

Adicionando-se a ambos os membros o 7 é mesmo que passar o termo + 7 para o outro,

trocando-lhe o sinal.

b) 2x – 5 = x + 5 2x – x – 5 + 5 = x – x + 5 + 5 x = 5 + 5 x = 10.

Considere-se a equação 2x = 6 para se enunciar o 2o princípio de equivalência.

Multiplicando por 2 ambos membros da equação obtem-se, que é memo que

. A solção da equação 2x = 6, é {3} e da equação é também {3}. Então,

2x = 6 .

Se se multiplicar ambos os membros da equação 2x = 6 por obtem-se x = 3 que é a

solução da equação.

Há que salientar que, o a factor a multiplicar os membros duma equação tem de ser diferente

de zero.

De um modo geral, com a 0. De seguida enuncia-se o 2o princípio de

equivalência (princípio de multiplicação) e menciona-se que, para se obter a solução da

equação do tipo ax = b com a 0, multiplica-se ambos membros por .

Exemplo:

5x = 7 .

1.3. Equações lineares a uma incógnita

Antes de se definir uma equação linear, pode afirmar-se que os princípios de equivalência de

equações permite reduzí-las a uma forma característica, chamada forma geral canónica das

equações.5

Definição: uma equação linear ou do primeiro grau a uma incógnita é toda aquela que pela

aplicação dos princípios de equivalência pode ser reduzida à forma ax + b = 0 com a 0.

Exemplo:

Das equações que que se seguem indique as que são lineares a uma incógnita:

a) – 4x + 1 – 3x = 2x b) 2z2 + 6 – z = z2 – 2x + 1 c) x2 – x + 3 = 4x – 7 + x2

Resolução

a) – 4x + 1 – 3x = 2x -4x – 3x – 2x + 1 = 0 -9x + 1 = 0

b) 2z2 + 6 – z = z2 – 2x + 1 2z2 + 6 – z - z2 + 2x - 1 = 0 z2 + z + 5 = 0

c) x2 – x + 3 = 4x – 7 + x2 x2 – x + 3- 4x + 7 - x2 -5x + 10 = 0

1.3.1. Resolução de equações lineares a uma incógnita

Qualquer equação linear pode ser resolvida seguindo-se os seguintes passos:

1. Desembaraçar de parêntesis.

2. Desembaraçar de denominadores.

3. Juntar os termos com incógnitas num dos membros e os que não têm incógnita no

outro membro, utilizando o princípio de adição.

4. Efectuar os cálculos para simplificar as expressões em cada membro.

5. Obter o valor da incógnita utilizando o princípio de multiplicação.

Exemplo:

Resolva as seguintes equações:

a) 5x – 3 = - 2x + 11 b) 4(x – 2) – 7(x – 3) = 5 – x c)

Resolução

a) 5x – 3 = - 2x + 11 5x + 2x = 11 + 3 7x = 14 x = 2

b) 4(x – 2) – 7(x – 3) = 5 – x 4x – 8 – 7x + 21 = 5 – x -3x + x = 13 – 21

-2x = - 8

c)

.

6

1.4. Classificação de equações

Para se classificar as equações lineares atendendo a existencia ou não de solução, considere-

se os seguintes exemplos:

a) 2(3y – 4) = 6y + 1 b) 5z – 2 = 5(z + 1) – 7 c) 2x – 5x = 3 + x

Resolução

a) 2(3y – 4) = 6y + 1 6y – 6y = 8 + 1 0y = 9

Vê-se que não há número que multiplicado a zero seja igual a 9 ( zero é o elemento

absorvente da multiplicação) por isso, a equação 2(3y – 4) = 6y + 1 não tem solução e diz-se

uma equação impossível.

De seguida define-se uma equação impossível e salienta-se que o conjunto-solução de uma

equação impossível é o conjunto vazio.

b) 5z – 2 = 5(z + 1) – 7 5z -2 = 5z +5 – 7 5z- 5z = 5 – 7 + 2

0z = -2 + 2 0z = 0

z pode tomar qualquer valor, pois o produto de zero por qualquer número é zero. Por isso, 5z

– 2 = 5(z + 1) – 7 é uma equação possível e indeterminada. Assim, segue-se com a

definição de uma equação possível e indeterminada e sublinha-se que o seu conjunto-solução

é o conjunto dos números reais.

c) 2x – 5x = 3 + x 2x – 5x – x = 3 -4x = 3

é o único valor que satisfaz a equação, por isso a equação 2x – 5x = 3 + x é possível e

determinada. Desta feita, segue-se coma definição de uma equação possível e determinada e

afirma-se que a solução é uma e única.

1.5. Equações literais

Em primeiro lugar dá-se a definição de uma equação literal e explica-se que resolver uma

equação literal em ordem a uma variável equivale a considerar, na resoluão, essa letra como a

incógnita.

Exemplo de equações literais são 3x + 2y = 20, P = 2πr e .

1.5.1. Resolução de equção literal em ordem a uma variel

Exemplo:

7

Resolva em ordem a x a equação 3x + 2y = 20.

Resolução

3x + 2y = 20 3x = 20 + 2y

1.6. Resolução de problemas conducentes à equação do primeiro grau a uma incógnita

Na resolução de problema segue-se de um modo geral o seguinte processo:

1. Definição por escrito do significado da variável (incógnita).

2. Formação da equação que traduz o problema.

3. Resolução da equação.

4. Análise da solução em relação à definiç`ao da incógnita.

5. Formulação da resposta em harmonia com a questão colocada no problema.

Exemplo: A soma de três números inteiros consecutivos é 33. quais são esses números?

Resolução

Sejam x, x + 1 e x + 2 os números.

x + (x + 1) + (x + 2) = 33 x + x + x + 1 + 2 = 33 3x + 3=33

3x = 33 – 3 3x = 30

Resposta: Os números são 10, 11 e 12.

2. Sistema de duas equações lineares a duas incógnitas

Para o estudo de sistema de equações lineares com duas incógnitas pode-se considera o

problema:

A soma de dois números é 3, mas adicionando um deles ao dobro do outro obtem-se 5. Quais

são os números?

Sejam x e y os números desconhecidos, então x + y = 3 e x + 2y = 5 são as condições que

permitem equacionar o problema.

A fim de se determinar a solução do sistema de equação recorre-se ao gráfico abaixo.

8

A solução das duas equações é o ponto P(2, 3).

Afirma-se que o conjunto de solução do problema é dado pelo par ordenado de valores (X0,

Y0) que verifica simultaneamente as duas equações.

Dá-se a definição de sistema de duas equações lineares a duas incógnitas e mostra-se como

ela e representsda ( forma canónica). Define-se ainda, a solução de um sistema de duas

equações lineares a duas incógnitas.

Sistemas equivalentes

Deinfine-se dois sistemas de equações a duas incógnitas equivalentes como sendo aqueles

que tem a mesma solução.

Exemplo:

As equações são equivalentes pois tem a mesma solução que é (7, 3).

2.1. Resolução de siatemas de equações lineares

Afirma-se que um sitema de equações lineares pode-se resolver analítica ou graficamente.

2.1.1. Resolução analítica

Exitem três métodos para se determinar solução de um sistema de equação

analiticamente.

2.1.2. Método de substituição

O método de substuição baseia-se no princípio de se resolver primeiro, uma das equações

em ordem a uma das incógnitas e substituir-se o valor dessa incógnita na outra equação e

obter-se um sistema equivalente ao sistema dado.

Exemplo: Consider-se o segiunte sistema:

Para se resolver o sistema seguem-se os seguintes passos:

1o Reduz-se o sistema á forma canónica:

2o Resolve-se uma das equações em ordem a uma das variáveis:

9

3o Substitui-se essa variável em outra equação pela sua expressão designatória:

4o Resolve-se esta equação linear à uma incógnita, isto é, calcula-se a sua raíz:

5o Substitui-se na primeira equação a variável cujo valor numérico acabou-se de se

determiner, pela raíz encontrada, de modo a calcular o valor da outra incognita.

O par ordenado que satisfaz o sistema é (1, 2).

2.1.3. Método da redução ou adição ordenada

Este método consiste em, multiplicar por um valor simétrico a uma das variáveis numa

das equações do sistema, de modo a se eliminar essa variável e reduzir-se o sistema à

equação linear à uma incognita.

Exemplo:

Considere-se o sistema:

1o Reduz-se o sistema á forma canónica:

2o Reduzem-se os coeficientes de uma das variáveis a valores simétricos, aplicando os

princípios de equivalência de equações:

3o Soma-se membro-a-membro os termos correspondentes:

4o Resolve-se a equação resultante:

Repete-se o procedimento do 2o passo em relação a outra incognita e obtem-se x = 5.

A solução do sistema é (5, 1).

2.1.4. Método misto

10

+___________

Explica-se que o método em causa, consite em calcular-se, em primeiro lugar, uma das

incógnitas pelo método de redução, depois substituir-se o valor encontrado numa das

equações. Assim determina-se o valor da outra incógnita.

Exemplo:

Considere-se o sistema:

1o.

2o.

O sistema tem como conjunto-solução (2, 5).

2.1.5. Resolução gráfica de equações

Explica-se que um sistem de equações é resolvido graficamente de seguinte modo:

Resolve-se as duas equações em ordem a y

Faz-se arepresentação gráfica das duas funções lineares

Determina-se o ponto de intersecção das duas rectas que é a solução do sistema.

Exemplo:

Resolva grficamente o sistema

Resolução

Traça-se os gráficos das duas equações e determina-se o ponto de intersecção.

11

As rectas encontram-se no ponto de coordenadas (-2, 4) que é a solução da equação.

2.2. Classificação dos sistemas de equações

Os sistemas de equações são classificados atendendo a existeência ou não de solução assim

como as equações lineares a uma incógnita. Portanto, umm sistema de equação pode ser

impossível ( não tem solução), possível determinado (tem solução única) e indeterminado

(tem infinidade de soluções).

Afirma-se também que, um sistema resolvido graficamente, é impossível quando as rectas

não se cruzam, isto é, são paralelas; possível e determinado quando as rectas tem um ponto

de intersecção; possível e indeterminado quando as rectas coincidem, isto é, tem todos pontos

em comum.

2.3. Resolução de problemas conducentes a sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas

É dito que para se resolver um problema conducente a sistemas de equações é viável

considerar-se uma série de fases.

Exemplo:

Um fabricante de cestos ganha 3 meticais por cada cesto que fabrica sem defeito e perde 5

meticais por cada c esto que fabrica com defeito.

Numa semana fabricou 160 cestos e obteve um lucro de 400 meticais.

Quantos cestos com defeito foram fabricados?

Resolução

x - número de cestos fabricados com defeito

y – número de cestos sem defeito

Adicionando-se as duas equações tem-se

Determina-se o valor de y fazendo-se

Resposta: Foram fabricados 10 cestos com defeito.

12

3. Funções Lineares

Para se fazer o estudo de funções é condição necessária que se tenha o domínio dos seguintes

temas: sistema cartesiano ortogonal, proporcionalidades e correspondência.

3.1. Conceito de função

Para se definir uma função considera-se uma correspondência em que cada elemento do

conjunto de partida tem uma e somente uma imagem.

Exemplo:

Seja f a correspondência “...tem grupo sanguíneo...”

A = {Carla, Ana, António, João, Natércia} é

o conjunto de partida.

C = {O, A, B, AB} é o conjunto de chegada.

Df = {Carla, Ana, António, João, Natércia} = A

D’f = {O, A, B} C

Todos elementos de A tem uma imagem em C, por isso f diz-se uma função de A em C.

3.2.Variável dependente e variável independente

Explica-se que uma variel é independente quando toma qualquer valor e dependente quando

depende da independente.

Exemplo:

Num quadrado o perímetro e a área são dados por, e , respectivamente.

Para cada valor l resulta um valor de P e de A, por isso, l é variável independente e P e A são

variáveis dependentes.

3.3. Modos de definir uma função

Afirma-se que uma função pode ser definida por meio de tabela, gráficos ou pelo diagrama

sagital.

Exemplo:

13

Seja e e f a correspondência de B em A definida por “...é o

perímetro do quadrado de lado a...”. f é uma função, porque cada perímetro corresponde a um

e um só quadrado.

a) Representação da função pelo diagrama sagital

b) Representação por tabela

Representam-se os objectos pela letra x e as imagens pela letra y.

x 8 12 16y 2 3 4

c) Representação gráfica

3.4. Classificação de aplicações ( funções)

A classificação é feita apartir do comportamento da função relativamente ao domínio e o

contradomínio da função. Assim, afirma-se que uma aplicação pode ser injectiva,

sobrejectiva e bijectiva.

Exemplo:

Considere-se as aplições f, g e h assim definidas:

14

A função f é injectiva porque a objectos diferentes correspondem imagens diferentes.

A função g é sobrejectiva pois o contradomínio coincide com o conjunto de chegada.

A função h é bijectiva por ser simultaneamente injectiva e sobrejectiva.

3.5. Função linear

Dá-se a definição de função linear antes de se navegar no estudo da mesma e menciona-se

que ela é do tipo y = ax + b, com a e b constantes quaisquer.

Exemplo:

y = 3x – 5,

3.5.1. Gráfico de uma função linear

Ilustra-se como se pode representar graficamente uma função linear. Afirma-se que é

conveniente estabelecer-se um quadro de valores que é a guia para se traçar o gráfico. Marca-

se os pares de valores obtidos no sistema cartesiano, a partir da observação feita na tabela e

une-se os pontos obtendo-se uma recta que é a imagem gráfica da função linear.

Exemplo:

Esboce o gráfico da função y = x + 1

Resolução

x y0 1-1 02 31 2-2 -1

3.5.2. Significado geométrico das constantes a e b

Ao se interpretar as constantes a e b, considera-se um gráfico e fazem-se várias afirmações

em relação a função linear. Fala-se sobre a inclinação da recta, a ordenada na origem e o

declíve. Exemplo:

Determine a expressão analítica da função representada no gráfico:

15

Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a função:

Tem como domínio o conjunto IR;

Tem como contradomínio ;

É decrescente no intervalo e crescente no

intervalo ;

São dados os pontos P(-4, 0) e Q(0, 2).

A função é do tipo y = ax + b.

Para se obter o valor de b faz-se 2 = a.0 + b 2 = b b = 2.

Para-se obter o valor de a faz-se

Por fim substitui-se os valores de a e b em y = ax + b e obtem-se

10a Classe

1. Funções quadráticas

Define-se função quadrática como sendo toda a função polinomial do tipo de

IR em IR, com .

Exemplo: As funções , e são quadráticas.

Para se fazer o estudo deste tipo de função primeiro faz-se a sua representação gráfica.

O estudo da equação quadrática consite em se analizar o seu domínio, contradomínio, a

monotonia, simetria, determinar os zeros, o sinal da função.

Começa-se por analizar uma função em que , e , concretamente , o

seu gráfico é,

É positivo nos intervalos ;

Não é injective (dois objectos diferentes correspondem à mesma imagem);

É nula no ponto x = 0, isto é, x = 0 é o zero da função;

É simétrica a si própria através do eixo das ordenadas.

De seguida faz-se a análise da função e , ou seja, .

16

Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a função:

Tem como domínio o conjunto IR;

Tem como contradomínio ;

Zero da função é x = 0.

A função não é injectiva.

O gráfico da função é,

É decrescente no intervalo e crescente no intervalo ;

É negativa nos intervalos ;

É simétrica a si própria através do eixo das ordenadas.

1.

1. Função do tipo

Mostra-se que funções do tipo , tem concavidade virada para cima se a > 0, e virada

para baixo se a < 0. afirma-se ainda que a abertura do seu gráfico depende do valor de ,

isto é, terá uma abertura tanto maior quanto menor for .

Exemplo:

O gráfico da função tem maior abertura que o gráfico da função ,

porque .

1.2. Função do tipo

Primeiro, esboça-se no mesmo sistema cartesiano alguns gráficos com algumas

características e afirma-se que o gráfico da função em estudo tem o seguinte comportamento:

Translada-se c unidades para cima se c > 0.

Translada-se c unidades para baixo se c < 0.

Constata-se que o seu vértice é o ponto V(0; c).

Exemplo:

Considere-se as funções e .

17

A função f translada-se 2 unidades para cima, ao longo do eixo das ordenadas e o vértice é

V(0; 2).

A função h translada-se 3 unidades para baixo, ao longo do eixo das ordenadas e o vértice é

V(0;-2).

1.3. Função do tipo

1o Caso:

Procede-se do mesmo modo que no caso da função do tipo , a diferença reside no

facto de a translação, para o último caso observar-se ao longo do eixo das abcissas.

O gráfico da função em estudo tem o seguinte comportamento:

Se p > 0, o gráfico translada-se para direita

Se p < 0, o gráfico translada-se para esquerda.

Observa-se que o vértice da função é V(p; 0) ; a equação do eixo de simetria e o zero da

função é x = p.

Exemplo:

Considere-se a função .

O gráfico da função desloca-se a direita, pois 1 > 0.

A equação do eixo de simetria é x = 1.

2o Caso:

Afirma-se que, o gráfico desta função obtém-se a partir do gráfico de por meio de

uma translação ao longo do eixo das abcissas p unidades e ao longo do eixo das ordenadas q

unidades. Menciona-se também que, o vértice da função é V(p; q) e a equação do eixo de

simetria é x = p.

Exemplo: esboçe o gráfico da função

Resolução

1o Esboç-se o gráfico de

2o Faz-se a translação ao longo do eixo do XX’.

Por último faz-se a translação vertical, ou seja,

translada-se ao longo do eixo dos YY’.

18

Observa-se o gráfico e conclui-se que:

O domínio da função é IR;

O contrdomínio é o intervalo [ -1; 1];

A função é periódica e o seu período é 2 ;

Os zeros são dado por

Observa-se o gráfico e conclui-se que:

O domínio da função é IR;

O contrdomínio é o intervalo [ -1; 1];

A função é periódica e o seu período é 2 ;

2. Funções trigonométricas

São expostas funções trigono métricas elementares, a função seno e coseno.

Apresentam-se os domínios e contradomínios, comenta-se em relação a periodicidade das

funções e apresentam-se os zeros da função.

2.1. Representação gráfica da função

2.2. Representação gráfica da função

19

CONCLUSÃO

Ao nível da 8a classe os temas são abordados de um modo não abstracto para que se facilite a

compreensão. Os receptores neste nível não tem o pensamento abstracto bastante

desenvolvido, razão pela qual, ao se tratar os conteúdos, ilustram-se todos os passos, todas as

simplificações, e por vezes figuras ilustrativas são apresentadas.

Ao nível da 10a classe, os métodos de tratamento dos conteúdos são mais avaçados em

relação aos da 8a atendo e considerando que os receptores aqui, tem um nível de pensamento

mais abstracto. Portanto, não é necessário mostrar-se todas as simplificações necessárias na

resolução de um exercício, por exemplo.

20

BIBLIOGRAFIA

NHÊZE, Ismael Cassamo, Matemática 8a Classe, Diname, Maputo, 1998.

NHÊZE, Ismael Cassamo, Matemática 10a Classe, Diname, Maputo., 1999.

21