Tópicos Especiais de Física Atômica e Molecular e Ótica

A interação de íons energéticos com a matéria:

aspectos básicos e aplicações

Resistividade e Resistência de Folha:

medidasmedidas

Prof. Marcelo M. Sant’Anna

2009.2 - Aula 3

MotivaçãoMotivação

Variable-Range hopping

Defeitos em Ga1-xMnxAs

• Ex.: Spintrônica– Desordem em semicondutores magnéticos diluídos (Ex.: Ga1-xMnxAs)

5

Um trabalho precursor:

Um trabalho precursor:

RevisãoRevisão

Preâmbulo: medidas de 2 pontas x medidas de 4 pontas

Duas pontas Quatro pontas

Um problema com a medida de 2 pontas:

(pense no circuito como um divisor de tensão)

A montagem de 4 pontas é fundamental para medida de resistências pequenas

(≠ RDUT)

Resistividade

• Resistividade x condutividade:

• Resistividade, Campo elétrico e Densidade de corrente:

– Em um exemplo simples, o modelo de Drude, ... a lei de Ohm em formulação

• Em semicondutores,

onde n e p são densidades de elétrons e buracos livres (portadores negativos e positivos) e µn e µp suas respectivas mobilidades.

formulação microscópica

σ

Resistividade e Resistência de Folha: Resistência de Folha:

como medir?

• Uma geometria simples:

• Contudo, como fazer medidas de ρ se a área A é MUITO pequena ? Como proceder se houver interesse em filmes finos?

Obs.1: L/W =1 se a amostra é quadrada

Nossa estratégia é 1) medir esta razão, a Resistência de Folha (Sheet Resistance)2) se for de interesse, medir t e obter ρ.

Obs.2: A unidade de Rs no S.I é Ω ( mais frequentemente: “ Ω/ ” )

Medida da Resistência de Folha

Derivar uma expressão para a ρ (V,I) em uma medida de 4 pontas em linha

Lembrar: ∫ ⋅= AdJIrr

Ainda não estamos

falando de filmes finos

a)

Lembrar:

b)

∫ ⋅=A

AdJI

Medida da Resistência de Folha

c) Agora analisando apenas os pontos sobre a superfície

Queremos medir

Obs. : em semicondutores I é escolhido para resultar em V ~ 10 mV

• Calculados por: método das imagens, equação de Poisson, função de Green, etc...

Medida da Resistência de Folha

3) Modelagem: Fatores geométricos de correção

onde,

• F1 - espessura finita da amostra (t)

• F2 - dimensões laterais finitas

• F3 - posição das pontas de prova em relação as bordas

3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F1 : espessura finita t

• Se a base do wafer é isolante:

Medida da Resistência de Folha

Se t<<s,

Primeiro responder: o que está por baixo da amostra?

Importante!

Obs.: uma opção para isolamento é camada de tipo-nsobre substrato tipo-p, ou, camada de tipo-psobre substrato tipo-n efeito espacial de carga no bulk confina os portadores na camada superficial

• Se a base do wafer é condutora:

3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F2 e F3

• Para amostras muito finas (t<<s), F2 ~ 1 e F3 ~ 1

Medida da Resistência de Folha

Notar que o termo “s” cancelou

Em resumo...

Medimos esta razão (sem contatos na lateral!)

Em resumo...

Modelagem alternativa para amostras muito finas e 4 contatos:

Geometria para corrente saindo/entrando

dos contatos:

Medida da Resistência de Folha

I

t

Vista de cima Vista em perspectiva

Para um arranjo colinear:

e

e

3) Modelagem: Fatores geométricos de correção F2 e F3

• Para amostras muito finas (t<<s), F2 ~ 1 e F3 ~ 1

Medida da Resistência de Folha

Notar que o termo “s” cancelou

Em resumo...

Medimos esta razão (sem contatos na lateral!)

Em resumo...

Exemplo de correção F2: wafer circular de diâmetro D

• Se D/s >~ 40 esta correção não é relevante

Exemplo de correção F3: contatos colineares próximos das bordas

• Se d/s >~ 4 esta correção não é relevante• No caso de amostras pequenas com contatos nas bordas este é

um problema

“Dual configuration”/”configuration switched” method

• Inverter sentidos das correntes e permutar contatos para obter medidas mais precisas.

• Menos sensível a imperfeições na simetria• Não é preciso conhecer as dimensões laterais. F é obtido das duas medidas.• O espaçamento s entre as pontas de prova não precisa ser conhecido

O Método de Van der Pauw

Válido para amostras de qualquer formato, desde que:

a) Os contatos sejam colocados nas bordasb) A área dos contatos seja pequenab) A área dos contatos seja pequenac) Amostra homogênea em espessura e composiçãod) A superfície seja simplesmente conexa (sem buracos isolados)

O Método de Van der Pauw

Plano -> semiplano & 2i -> i

Princípio da superposição ( b e c )Princípio da superposição ( b e c )

Da mesma forma,

transformaçãoConforme+ =

Obs.: Mapeamento conforme (wiki)

• In mathematics, a conformal map is a functionwhich preserves angles. In the most common case the function is between domains in the complex plane.

• More formally, a map is called conformal (or angle-preserving) at z if it preserves oriented angle-preserving) at z0 if it preserves oriented angles between curves through z0, as well as their orientation, i.e. direction. Conformal maps preserve both angles and the shapes of infinitesimally small figures, but not necessarily their size.

Derivação alternativa e correções

Um trabalho recente:

Van der Pauw(bordas):

Geometria alternativa(“miolo”):

(corrente 2i

sai noinfinito)

+ princípio dasuperposição

(2i & -2i)

Da mesma forma, injetando corrente em P´ e Extraindo em M´:

Rearrumando os termos:Definimos:

+ transformação conforme =

resultado longe das bordas

Comparar comVan der Pauw:

Comparar com Van der Pauw:

Lim et al.

Van der Pauw ( -> contatos nas bordas)

Receita da NIST para medidas com o Método de Van der Pauw

http://www.eeel.nist.gov/812/meas.htm

ou http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pauw_method

R21,34 = V34/I21, R12,43 = V43/I12,

R32,41 = V41/I32, R23,14 = V14/I23,

R43,12 = V12/I43, R34,21 = V21/I34,

R14,23 = V23/I14, R41,32 = V32/I41.14,23 23 14 41,32 32 41

Receita da NIST para medidas com o Método de Van der Pauw

http://www.eeel.nist.gov/812/work.htm

Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura

Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:medida de perfil de profundidade da resistividade

Inicialmente:

Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:medida de perfil de profundidade da resistividade

Amostras semicondutoras Amostras semicondutoras não-uniformes na espessura:

medida de perfil de profundidadeda resistividade