Post on 02-Feb-2020
Apêndice A
Revisão: Campos Escalares e Vetoriais Neste Apêndice será apresentado um breve resumo sobre campos vetoriais, e que pode ser aplicado a campos escalares ou vetoriais. Um sistema de coordenadas generalizadas será apresentado, a partir do qual poderão ser deduzidas as expressões dos operadores gradiente, divergente, rotacional e laplaciano em coordenadas diferentes do sistema de coordenadas retangular como, por exemplo, em coordenadas cilíndricas e esféricas. A.1- Álgebra de Vetores
Dados dois vetores A
e B
no espaço, e que formam entre si um ângulo , como descritos na Fig.A.1(a), e, sendo − A
o vetor oposto ao vetor A
, como mostrado na Fig.A.1(b),
aplicam-se as seguintes propriedades:
A
B
A+B
(a)
A
-Aa
(b) Figura A.1 – Vetores no espaço. a) Soma de vetores. b) Vetor oposto.
a) Propriedade comutativa
ABBA
(A.1 a) b) Propriedade associativa
CBACBA
)()( (A.1 b) c) Diferença entre vetores
)( BABA
(A.1 c) d) Vetor unitário (versor)
AAa
ˆ (A.1 d)
e) Multiplicação por escalar
BmAmBAm
AnAmAnm
AmnAmnAnm
)(
)(
)()()(
(A.1 e)
A.1.1- Produto escalar, interno ou "dot product" A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar entre vetores, designado pelo símbolo " " (dot ou ponto). a) Definição básica (0≤≤ rad)
cos.. BABA
(A.2 a)
b) Projeção escalar de B
na direção de A
A
= BAA
(A.2 b)
c) Projeção de B
na direção de A
A
= AAB
AA
.
(A.2 c)
d) Produto escalar nulo
BAouBouABA
,0,00 (A.2 d) e) Propriedade comutativa
ABBA
(A.2 e) f) Módulo do vetor
2AAA
(A.2 f)
g) Propriedade distributiva
CABACBA
)( (A.2 g) A.1.2- Produto vetorial ou cruzado
A seguir apresentam-se algumas propriedades do produto vetorial entre vetores, designado pelo símbolo " x " (cross product). a) Definição básica
senBABA ..
x (A.3 a)
b) Produto vetorial nulo
BAouBouABA
//,0,00 x (A.3 b) c) Propriedade distributiva
CABACBA
xxx )( (A.3 c) d) Comutação (não obedece à propriedade comutativa)
ABBA
xx (A.3 d)
e) Área do paralelogramo
BA
x área do paralelogramo com lados A
e B
(A.3 e)
A.1.3 – Vetores Unitários ou Versores Versores coordenados (ou bases) são vetores unitários na direção dos eixos do sistema de
coordenadas de referência. No caso do sistema retangular (x,y,z), são designados por kji ˆeˆ,ˆ , sendo paralelos às direções dos eixos x, y e z, respectivamente, e tais que
a) 1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii (A.4 a)
b) 0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji (A.4 b)
c) 0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii xxx (A.4 c)
d) ijkkj ˆˆˆˆˆ xx (A.4 d)
e) kijji ˆˆˆˆˆ xx (A.4 e)
f) jkiik ˆˆˆˆˆ xx (A.4 f)
Assim, kji ˆeˆ,ˆ são vetores linearmente independentes e formam uma base tri-ortogonal e, portanto, qualquer vetor u no espaço pode ser descrito por:
kujuiuu zyxˆˆˆ
(A.5)
onde ux, uy e uz são as coordenadas do vetor u . A.1.4- Propriedades Gerais dos Vetores
Dados dois vetores escritos em coordenadas retangulares como
kajaiaA ˆˆˆ321
(A.6 a)
e
kbjbibB ˆˆˆ321
(A.6 b)
então
a) kbajbaibaBA ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211
(A.7 a)
b) ).().().( 332211 bababaBA
(A.7 b)
c) 23
22
21
2aaaAAA
(A.7 c)
d) 2/12
322
21
2/123
22
21
332211
).()(
...cos
bbbaaabababa
(A.7 d)
e)
321
321
ˆˆˆ
bbbaaakji
BA
x (A.7 e)
f)
321
321
321
)(
cccbbbaaa
CBA
x (A.7 f)
g) )( CBA
x volume do paralelepípedo com lados A
, B
e C
(A.7 g)
h) CBACBA
)()( xx (A.7 h)
i) )()()( BACACBCBA
xxx (A.7 i)
j) )()()()( ABCCABBCACBA
xxxx (A.7 j)
k) CBABCACBA
)()()( xx (A.7 k)
l) ACBBCACBA
)()()( xx (A.7 l)
m) )()()()()()( CBDADBCADCBA
xx (A.7 m)
n) )}({)}({)()( CBADDBACDCBA
xxxxx (A.7 n)
)}({)}({ CBADDBAC
xx
A.1.5- Derivadas no Tempo
Dados o seguinte vetor variável no tempo
ktujtuitutuu zyxˆ)(ˆ)(ˆ)()(
(A.8)
define-se sua derivada temporal pelo vetor
t
tuttudtud
t
)()(lim
0
(A.9)
e assim,
kt
tuttuj
ttuttu
it
tuttudtud zz
t
yy
t
xx
tˆ)()(
limˆ)()(
limˆ)()(lim
000
(A.10)
ou seja
kdt
duj
dtdu
idt
dudtud zyx ˆˆˆ
(A.11)
ou ainda
kdujduiduud zyxˆˆˆ
(A.12)
Em particular, se kzjyixru ˆˆˆ
é o vetor posição, então,
kdzjdyidxrd ˆˆˆ
(A.13) é o vetor deslocamento infinitesimal. Na Fig.A.2 ilustram-se os vetores r e d r .
0
dr
r+dr
r
Figura A.2 – Vetor deslocamento infinitesimal. A seguir, listam-se algumas propriedades da derivada temporal:
a) dtvd
dtud
dtvud
)(
(A.14 a)
b) dtudu
dtd
dtud
)( (A.14 b)
c) dtvduv
dtud
dtvud
)(
(A.14 c)
d) dtvduv
dtud
dtvud
xxx
)( (A.14 d)
e) )()()()}({
dtwdvuw
dtvduwv
dtud
dtwvud
xxxx (A.14 e)
f) ))))}({
dtwdvuw
dtvduwv
dtud
dtwvud
xx (xx (xx (
xx (A.14 f)
g) dtud
udtudu
(A.14 g)
h) 0dtudu
se u é uma constante (A.14 h)
i) Cdtukdtujdtuidtu zyx ˆˆˆ, onde C é constante (A.14 i)
A.2- Gradiente de um Campo Escalar Um campo escalar é estabelecido a partir de uma função escalar ),,( zyx . Sua diferencial total é
dzz
dyy
dxx
d
(A.15)
Na figura A.3, C é simplesmente uma curva no espaço e, a cada ponto r de C, associa-se um valor )(r . A derivada direcional do campo escalar é a taxa de variação de ),,( zyx por unidade de comprimento em uma certa direção particular, caracterizada pelo elemento de arco
rdds da curva C:
x y
zr dr
C
( )r( )r+dr
Figura A.3- Curva C no espaço e a definição de derivada direcional.
dsdz
zdsdy
ydsdx
xdsd
...
(A.16)
É conveniente expressar d e d/ds em termos do gradiente do campo escalar ),,( zyx , definido como:
kz
jy
ix
grad ˆˆˆ)(
(A.17)
Assim, a partir de (A.13) e (A.17) obtém-se
dsrd
dsd
(A.18 a)
rdd
(A.18 b) Como foi estabelecido rdds
, então, se s for o vetor unitário na direção d r ,
kdsdzj
dsdyi
dsdx
dsrds ˆˆˆˆ
(A.19)
Uma forma alternativa de escrever s utiliza cossenos diretores
kkrjjriirs ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ)ˆ,cos(ˆ
(A.20)
onde )ˆ,cos( ir é o cosseno entre os vetores r e i , e assim por diante.
Combinando-se (A.18 a) com (A.19) obtém-se
sdsd
ˆ (A.21)
ou seja, a projeção do gradiente em qualquer direção é igual à derivada direcional de naquela direção. A Fig.A.4(a) auxilia a visualização deste fato.
Como o máximo valor de projeção de um vetor é o módulo do próprio vetor, fica claro que está sobre a direção de maior taxa de variação de (x,y,z). Esta taxa de variação é
justamente o seu comprimento, . Dada uma superfície onde é constante, denominada de superfície equipotencial, tem-
se d/ds=0 nos pontos r sobre a superfície C. Portanto, (A.19) e (A.21) conduzem a
0dsrd
(A.22)
sobre a superfície. Como as extremidades de r e r +d r estão sobre a superfície C, d r está sobre esta superfície. Então, d r , informando que o gradiente em qualquer ponto de uma equipotencial é perpendicular a ela.
sds/d
s
(a)
0
dr
r
.
C
equpotenc=cte
(b)
Figura A.4- O gradiente. a) Projeção na direção s . b) Gradiente normal a equipotencial.
Finalmente, se (v), onde v=v(x,y,z), então, de (A.17) e a regra da cadeia, conclui-se que
vdvd
(A.23)
(recomenda-se ao leitor demonstrar isto !!) A.3- Campos vetoriais O vetor u , escrito em função das coordenadas x,y e z como
kzyxujzyxuizyxuzyxuu zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(),,(
(A.24)
é denominado campo vetorial (atenção: neste apêndice, u é um campo de velocidade). A.3.1- Campo conservativo
Da definição (A.17), observa-se que se for diferenciável, sempre define um campo vetorial:
),,( zyxu (A.25)
Neste caso, o campo vetorial u é denominado campo conservativo, campo gradiente ou campo potencial. Usando-se (A.13) e (A.17), considere-se a avaliação da integral,
N
CCurvaM
N
CCurvaMdz
zdy
ydx
xrdu
,,
(A.26)
entre os pontos M=(x1 ,y1 ,z1) e N=(x2, y2, z2) tomados sobre uma curva C. Se os valores de (x,y,z) em M e N ocorrerem nos instantes t1 e t2 conhecidos, pode-se realizar a integração usando t como variável de integração.
dtdtdz
zdtdy
ydtdx
xrdu
t
t
N
CCurvaM
2
1,
(A.27)
que, por sua vez, conduz a
)()( 12,
2
1
ttdtdtdrdu
t
t
N
CCurvaM
(A.28)
Portanto, se u = , a integral é simplesmente a diferença entre os valores de (x,y,z) nos pontos M e N, e, assim, independe da escolha de um caminho de integração específico. Reciprocamente, se a integral for independente do caminho, então, mantendo-se M fixo e variando-se N, pode-se definir
),,(),,(
),,(zyx
M zyx
zyx
Mdzudyudxurduzyx
(A.29)
Permutando-se x por x+x na expressão acima, calcula-se
),,(
),,(),,(),,(
zyxx
zyx zyx dzudyudxuzyxzyxx (A.30)
ou seja, a integral através de um caminho onde y e z são constantes. Isto equivale a
),,(
),,(),,(),,(
zyxx
zyx x dxudxx
zyxzyxx (A.31)
Aplicando o teorema fundamental do cálculo a (A.31), obtém-se
xux
(A.32)
Analogamente, determina-se
yuy
e zuz
(A.33)
Portanto, (A.17), (A.32) e (A.33) informam que
u (A.34) Mostrou-se assim, que a condição necessária e suficiente para que u = é a independência de caminho de integração em (A.26). Neste caso, u é dito ser um campo vetorial conservativo. A.3.2- Circulação de um campo vetorial Define-se como circulação (ou circuitação) a integral de u
ao longo do caminho fechado
C, como representado na Fig.A.5. Escolhendo-se dois pontos arbitrários M e N sobre C=C1+C2 da figura:
M
N C2
C1
Figura A.5- Caminho C ao longo do qual se realiza a circulação.
N
CM
N
CM
M
CN
N
CMC
rdurdu
rdurdurdu
21
21
,,
,,
(A.35)
Assim, se u
for um campo conservativo, as integrais de M a N independem do caminho utilizado, e assim, as integrais no lado direito de (A.35) são iguais e, consequentemente:
C
rdu 0
(A.36)
isto é, a circulação de u é nula para um caminho fechado se e somente se u for um campo conservativo. A.3.3 – Fluxo de um campo vetorial Considerando-se um elemento dS de uma superfície S, como indicado na Fig.A.6, define-se o fluxo do campo vetorial u através de S como
S
Sdu
(A.37)
com unidades de m3/s. Por exemplo, se u for um campo de velocidade, as partículas do fluido atravessando dS no instante t, ocuparão a face ABCD do paralelepípedo da Fig.A.6 no instante t+dt
S dS
dS
AB
C
Du.dt
Figura A.6 – Fluxo de um fluido através da superfície S.
Todas as partículas que cruzam dS no instante t estarão dentro do paralelepípedo no instante t+dt . Logo, a quantidade (volume) de fluido que atravessa dS no intervalo dt é
dtSdudtudS ).(cos...
[m2]. O fluxo [m3/s] é obtido dividindo-se esta igualdade por dt. A.3.4- Rotacional no Plano A seguir investiga-se a circulação de u no caminho fechado C, mostrado na Fig.6:
C
Sx
y
Figura A.7- Malhas para o cálculo da circulação ao longo de C.
MalhasC
rdurdu
(A.38)
pois, a contribuição de uma fronteira comum entre duas malhas se cancela devido as orientações opostas dos vetores d r . Com isto restarão apenas as contribuições dos segmentos de C. Considerando-se que no limite, para S0, cada malha (a qual se reduz a um ponto) gera:
),(lim0
yxfS
rduS
(A.39)
no qual procura-se, a seguir, determinar o valor de f(x,y). Da equação (A.38) e (A.39) conclui-se que
dSyxfSyxfrduS
SMalhasC
).,().,(
0
(A.40)
Porém,
C
yxC
dyudxurdu
(A.41)
e então, determina-se cada parcela do lado direito de (A.41) separadamente. Isolando-se uma das malhas, conforme a Fig.A.8 (a) e, considerando-se que ux e uy sejam diferenciáveis
.Py M
x
y
x0
.
(a)
x
y
0
A B
CD
(b)
Figura A.8- Malha unitária para o cálculo do rotacional no plano.
)()( PP
xP
P
x
Px
Mx yy
yuxx
xuuu
(A.42 a)
)()( PP
yP
P
y
Py
My yy
yu
xxxu
uu
(A.42 b)
aplicando-se a Série de Taylor. Assim, por exemplo,
dxyyyudxxx
xudxudxu P
P
xP
P
x
Pxx )()(
(A.43)
ou então,
dxyydxy
udxxxdxx
udxudxu PP
xP
P
x
Pxx ... (A.44)
Na avaliação da primeira integral do lado direito (A.44), utiliza-se a Fig.A.8(b).
000
BC
AD
B
A
DA
D
BC
B
xx
xx
x
x
xx
x
D
C
xx
x
B
A
dxdx
dxdxdxdxdx
(A.45)
De forma similar, mostra-se que
0. dxx (A.46)
Por outro lado,
Sxy
dxydxy
dxydxydxydxydxy
BC
AD
B
A
DA
D
BC
B
xx
xxD
x
xA
xx
x
D
C D
xx
x
B
A A
.
00
...
(A.47)
Por um procedimento análogo demonstra-se que
0. dydyy (A.48 a)
Sdyx . (A.48 b)
e portanto,
Syu
xu
rduPMalha
xy
(A.49)
Com isso, (A.39) torna-se
yu
xu
Srdu
yxf xy
S
0lim),( (A.50)
onde P passa a ser um ponto arbitrário no interior de S. Finalmente, de (A.40) e (A.50) obtém-se a relação
dSyu
xu
dyudxurduS
xy
Cyx
C
.
(A.51)
a qual constitui o Teorema de Green no plano. Definindo-se o rotacional (no plano) de um campo vetorial como
S
rduyxfucurlurotu
S
0lim),()()(x (A.52)
isto é, a circulação ao longo de um caminho fechado infinitesimal por unidade de área, obtém-se:
y
ux
uu xy
x (A.53)
o qual é escalar na caso bidimensional. Observe-se que se o campo u for irrotacional, isto é, tem rotacional nulo, então (A.51) e (A.53) geram
0.)( dSurduSC
x (A.54)
e portanto, o campo é conservativo.
É possível mostrar também que a recíproca é válida, isto é, se u é conservativo (u = ),
então ele é irrotacional se e somente se possuir derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Como resultado, para verificar se um campo u
é conservativo, basta verificar se seu rotacional é nulo. _____________________________________________________________________________ Exemplo 1: Verificar se o campo de velocidade mostrado na Fig. A.9 não é conservativo (é um campo solenoidal). Solução: Na Fig.A.9, ilustra-se um campo de velocidade de um fluido que gira em torno de um obstáculo.
v
Figura A.9 – Campo de velocidade.
A circulação do vetor v ao longo de qualquer círculo não pode resultar nula, pois o produto rdv
tem
sempre o mesmo sinal. Portanto, o campo v não é campo conservativo.
A.3.5- Divergente no Plano O fluxo também pode ser calculado no plano. Com o auxílio da Fig.A.10 escreve-se que:
S
S dr
nC
y
x0Figura A.10- Caminho C e malha unitária usada para o cálculo do fluxo no plano.
CC
ndudrnu
ˆ [m/s2] (A.55)
onde drnnd .ˆ . Como rd e nd são ortogonais, então, se jdyidxrd ˆ.ˆ.
, pode-se concluir que
jdxidynd ˆ.ˆ. (A.56) e assim,
C
yxC
dxudyundu
(A.57)
Aplicando-se o Teorema de Green (A.51) ao fluxo (A.57), obtém-se
S
S
yx
C
dSu
dxdyyu
xundu
. (A.58)
onde, define-se
yu
xu
udivu yx
)(
(A.59)
o divergente de u no plano. Nota-se ainda que, a partir de (A.39) e (A.40)
SS
ndundu
MalhasC
(A.60)
e assim, de (A.58) e (A.60) pode-se concluir que
S
nduu
S
0lim (A.61)
ou seja, o divergente de u corresponde ao fluxo que sai de uma área infinitesimal, por unidade de área. A.3.5- Teorema de Gauss Considere-se um volume V, dividido em pequenos blocos cúbicos elementares conforme esquematizado na Fig.A.11(a).
VS
V
y
x0
z
(a)
A
B
C
D
A'
B'
C'
P
z
xy
P
xx 2
z
x
uu
P
xx 2
z
x
uu
V
(b)
Figura A.11 – Volume usado no cálculo do divergente no espaço. a) A superfície S envolve o volume V. b) Bloco unitário de volume V.
Calculando-se o fluxo de u através de cada bloco elementar e somando-se o resultado, obtém-se o fluxo através da fronteira S. O fluxo através das faces comuns apresenta-se na soma
com sinais opostos devido à mudança de d S
, na direção da normal exterior.
VV
SduSdu
S Blo
cos
(A.62)
Independentemente do sistema de coordenadas, define-se a divergência de u no espaço por
V
Sduu S
V
0lim (A.63)
Como no caso bidimensional, o divergente espacial representa a quantidade de fluxo que diverge de uma fonte envolvida por um volume V, atravessando a superfície que limita tal volume. Se
u >0 implica que existe uma fonte de campo u num dado ponto P. Por outro lado, se u <0, existe sorvedouro.
O fluxo através do retângulo ABCD da Fig.A.11(b) é
zyuP
xABCD (A.64)
Porém,
222
)()()(
zzuy
yux
xuu
zzzuyy
yuxx
xuuu
P
x
P
x
P
x
Px
PP
xP
P
xP
P
x
Pxx
(A.65)
E assim, o fluxo na face A’B’C’D’ será
zyzzuy
yux
xuu
P
x
P
x
P
x
Px
.222
(A.66)
e o fluxo na face oposta
zyzzuy
yux
xuu
P
x
P
x
P
x
Px
.222
(A.67)
Somando-se os dois fluxos, obtém-se o fluxo líquido na direção x
Vx
uzyx
xu
P
x
P
x
(A.68)
Os fluxos nas outras quatro faces são obtidos de forma semelhante, o que conduz a
Vz
uy
ux
uSdu zyx
BlocoBloco
(A.69)
Portanto,
z
uy
ux
uV
Sduu zyx
V
0
lim (A.70)
o qual corresponde ao divergente do vetor u . Percebe-se, portanto, que em coordenadas
retangulares, o operador dado em (A.17), ou seja, zzyjxi /ˆ/ˆ/ˆ , se comporta como um simples vetor na operação de produto escalar dada em (A.70). Ressalta-se que o mesmo não ocorre no caso de outros sistemas coordenados, como nas coordenas esféricas ou cilíndricas.
Além disso, o fluxo é dado por (A.62) e (A.70) como
VBloS
dVuVV
SduSdu
cos
(A.71)
ou seja
VS
zzyyxxS
dVudSudSudSuSdu
(A.72)
o qual constitui o Teorema Gauss ou do Divergente. A.3.6- Teorema de Stokes Considere-se agora uma curva fechada C, fronteira de uma superfície orientada S, conforme ilustrado na Fig.A.12(a).
x y
z
C
dS
S
(a)
x
y
z
k n
j
^ ^
^
S'xy
S
(b)
Figura A.12- Superfície usada na dedução do teorema de Stokes. a) A curva fechada C é fronteira da superfície S. b) Malha unitária sobre S e sua projeção sobre o plano x-y.
Dividindo-se a superfície S em malhas, calcula-se a seguinte circulação
SS
rdurdu
MalhasC
(A.73)
para áreas elementares 0S . Neste caso,
S
dzudyudxuS
S
rdu zyx
SMalhasS
00limlim
(A.74)
Usando-se a expressão de ux em Série de Taylor, calcula-se (por exemplo):
dxzzz
udxyy
yu
dxxxx
udxudxu P
PS
zP
PS
xP
PS
x
PSxx )()()(
(A.75)
Pode-se executar estas integrações no plano xy, sabendo-se que )ˆ,ˆcos(' knSS xy , a
projeção da área S no plano x-y, conforme esquematizado na Fig.A.12(b). Como resultado obtém-se:
0''
SS
dxxdx (A.76 a)
'
'
xyS
Sdxy
(A.76 b)
ou seja
)ˆ,ˆcos( knSdxyS
(A.77)
Projetando-se S no plano x-z, obtém-se )ˆ,ˆcos(' jnSS xz , e assim
'
'
xzS
Sdxz
(A.78)
Então,
Sjnz
uSkn
xu
dxuP
x
P
xx
)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( (A.79)
As outras integrais são calculadas de forma similar. Assim, a integral em (A.74) conduz a
)ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos()ˆ,ˆcos( kny
ux
ujn
xu
zu
inz
uy
uSrdu
P
xy
P
zx
P
yz
S
(A.80)
Dado que S é a superfície fechada que limita o volume V, define-se (independentemente do sistema de coordenadas)
S
rdunu C
S
0limˆ)( x (A.81)
onde
kknjjniinn ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ)ˆ,ˆcos(ˆ (A.82) obtém-se o rotacional do vetor u
ky
ux
uj
xu
zui
zu
yuu
P
xy
P
zx
P
yz ˆˆˆ
x (A.83)
Simbolicamente, pode-se escrever (A.83) na forma de determinante:
zyx uuuzyx
kjiu ///
ˆˆˆx (A.84)
a qual é válida somente em coordenadas retangulares. _____________________________________________________________________________ Exemplo 2: Discutir a seguinte interpretação: a designação rotacional está relacionada com a presença de rotação associada a um vetor. Solução: Por exemplo, considere-se um ponto P de um corpo rígido que gira em torno de um eixo , como mostra a Fig.A.13. A velocidade angular é um vetor da direção de , que obedece a regra da mão direita.
P
r
0
Figura A.13 – Rotação em torno do eixo .
A velocidade linear do ponto P é rxsenrv
onde
kzjyixr ˆˆˆ
kji zyxˆˆˆ
Então, a velocidade linear tem expressão
kxyjxziyzv yxzxzyˆ)(ˆ)(ˆ)(
e, portanto,
2ˆ2ˆ2ˆ2
)()()(
///
ˆˆˆ
kji
xyxzyzzyx
kjiv
xyx
yxzxzy
x
Desta forma
v
x2
1
A conexão entre o rotacional de v e a ocorrência de rotação é evidente. Se vx for nulo, implica que não existe rotação do corpo rígido em torno do eixo .
Um importante teorema pode ser obtido partindo-se (A.81)
S
zyC
xC
Sdudzudyudxurdu
x (A.85)
o qual constitui o Teorema de Stokes. Com o auxílio da definição de gradiente (A.17), observa-se que
0ˆˆˆ222222
xyyx
kzxxz
jyzzy
i x (A.86)
aplicando-se o Teorema de Schwartz. Portanto, u é irrotacional se e somente se u for conservativo ( u = ). _____________________________________________________________________________ Exemplo 3: Interpretar fisicamente o que expressa o rotacional. Solução: Na Fig.A.14 a) ilustra-se um dispositivo (o medidor de rotacional) que indica que o rotacional é não-nulo a medida em que gira devido a ação de movimento das pás. Na Fig. A.14 b), mostra-se o fluxo de velocidade da água num rio, sendo nulo nas margens e máximo no centro. O medidor de rotacional gira no sentido anti-horário para y>0, evidenciando que
vx >0, e, gira no sentido horário em y<0, onde vx <0.
(a)
y
x
+a
-a
v 0vx
0vx
0vx
MARGEM
MARGEM
RIO
(b) Figura A.14 – Medidor de rotacional. a) Movimento de pás. b) Fluxo de água num rio.
Exemplo 4: O campo de velocidade na Fig. A.14 b) é igual a xyav ˆ)( 22
. Calcular os valores do rotacional em y=-a, o e +a. Solução: As componentes do vetor velocidade são: 22 yavx , 0 zy vv . Então, aplicando (A.84) calcula-se
zavay
ˆ
x
00
y
vx
zavy
ˆ0
x
A.3.7- Laplaciano O Laplaciano escalar é definido como 2 (A.87) e assim, substituindo-se (A.17) e executando-se o produto escalar (isto é válido apenas no sistema de coordenadas retangulares) obtém-se
2
2
2
2
2
22
zyx
(A.88)
Por outro lado, o Laplaciano do vetor u é definido a partir de suas componentes por
zyx ukujuiu 2222 ˆˆˆ
(A.89)
A.3.8- Propriedades Gerais As propriedades abaixo são válidas em quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais: a) )( (A.90 a)
b) )( (A.90 b)
c) 2
)()(
(A.90 c)
d) 1nn n (A.90 d) e) vuvu
)( (A.90 e)
f)
uuu)( (A.90 f) g) uuu xxx )( (A.90 g)
h)
uuu (A.90 h) i) vuuvvu
xxx )( (A.90 i)
j) vuvu xxx )( (A.90 j) k) )()()()()( uvvuvuuvvu
xx (A.90 k)
l) )()()()()( uvvuuvvuvu
xxxx (A.90 l)
m) 0 x (A.90 m)
n) 0 u x (A.90 n)
o) uuuuu
2)()()( xx (A.90 o)
A.4- Coordenadas Curvilíneas Em geral o operador conforme definido em (A.17) atua como vetor somente no sistema de coordenadas retangulares. Neste caso, u funciona como um produto escalar entre e u
,
e, ux funciona como um produto vetorial. Como será observado a seguir, o mesmo não é válido para sistemas de coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Normalmente, num sistema de coordenadas genérico um ponto no espaço pode ser representado por três parâmetros , m e n. A análise a seguir será desenvolvida com o auxílio da Fig. A.15.
plano n
planoplano m
curva n
curva
curva m
curva z
curva x curva y
plano xplano y
plano z
m0
0
n0
i j
k
^ ^
^
^
^
^
r
P
O
Figura A.15 – Curvas , m e n no sistema curvilíneo.
Mantendo-se m e n constantes e variando-se obtém-se uma curva que passa por P, chamada curva de "". De forma similar, definem-se as curvas de "m" e "n ". Os vetores unitários
ao longo das tangentes a estas curvas são 000 ˆeˆ,ˆ nm . Os eixos podem ser ortogonais ou
não, e a orientação relativa entre os versores pode não ser constante. Seja o vetor associado a PO que, segundo o sistema x,y,z é representado por r
knmzjnmyinmxr ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,(
(A.91) Assim,
kdzjdyidxrd ˆˆˆ
(A.92) onde
dnnxdm
mxdxdx
(A.93 a)
dnnydm
mydydy
(A.93 b)
dnnzdm
mzdzdz
(A.93 c)
Deslocando-se (por exemplo) ao longo da curva de "" (dm = dn = 0), vem:
dkzjyix
kdzjdyidxrdnmnm
.)ˆˆˆ(
)ˆˆˆ(,,
(A.94)
a partir da qual obtém-se
kzjyixrdrd
nm
ˆˆˆ,
(A.95)
um vetor ao longo de 0 , onde
2/12220])/()/()/[(
ˆ/ˆ/ˆ/
/
/ˆ
zyx
kzjyixrr
(A.96)
Chamando-se
2/1222
zyxrh (A.97)
então, o comprimento elementar de arco, dr, obtido quando somente varia é dado por
dhrddsnm
,
(A.98)
e não apenas por d. A partir de (A.96) e (A.97) deduz-se que
0
hr
(A.99)
Analogamente,
mh
kmzjmyimxm
ˆ/ˆ/ˆ/ˆ 0
(A.100 a)
nh
knzjnyinxn
ˆ/ˆ/ˆ/ˆ0
(A.100 b)
onde
2/1222
mz
my
mxhm (A.101 a)
2/1222
nz
ny
nxhn (A.101 b)
Da equação (A.99) para a variável , e similares nas direções m e n, obtém-se que
000 ˆˆˆ ndnhmdmhdh
dnnrdm
mrdrrd
nm
(A.102)
Agora, se os versores 000 ˆeˆ,ˆ nm forem ortogonais, então, de (A.102) deduz-se que
2/1222222 ][ dnhdmhdhrdds nm
(A.103)
Uma forma alternativa de escrever h, hm e hn baseia-se no seguinte fato: se y = f(x), então, sua inversa é dada por x=f -1(y)=g(y), e, y = f [g(y)]. Aplicando-se a regra da cadeia, mostra-se que
dxdy
dydg
dgdf
dxdy
(A.104)
e assim,
)/(
1
dydgdgdf
(A.105)
Como f=y e g=x, então
)/(
1
dydxdxdy
(A.106)
em termos de diferenciais totais. Como se sabe, num sistema de coordenadas retangulares
sdsd
ˆ (A.107)
ou
sdsddds
ˆ1
/
1
(A.108)
Seja =, isto é, uma curva . Então, (A.98) e (A.108) conduzem a
dh
sdds
ˆ (A.109)
no sistema curvilíneo.
Se o sistema curvilíneo for ortogonal, então, 000 ˆeˆ,ˆ nml são perpendiculares entre si.
Numa curva-, os m e n são constantes (dm=dn=0), como representado na Fig.A.16..
0curva
curva n
curva m
(m0,n0)
m0
n0
0= s
^
^
^m0^
n0^
^
Figura A.16 – Desenho da curva .
Como aponta na direção de maior variação de , então, está na direção do próprio , ou seja, // s , em cada ponto. Assim, (A.109) gera
dhdds
(A.110)
e assim,
2/1222
2
2 11
zyx
hl
(A.111)
e, analogamente,
2/1222
2
zm
ym
xmhm (A.112)
2/1222
2
zn
yn
xnhn (A.113)
em termos de derivadas em x, y e z. _____________________________________________________________________________ Exemplo 5: Calcular as métricas h, hm e hn para os sistemas de coordenadas retangular, cilíndrico e esférico. Solução: Na Fig.A.17 ilustra-se os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas relativamente ao sistema de coordenadas retangular
P
z
r
x
y
z
(a)
P
R
x
y
z
(b)
Figura A.17 – Sistemas de coordenadas curvílineas. a) Coordenadas cilíndricas. b) Coordenadas esféricas.
a) Para o sistema retangular, tem-se que (, m, n)=(x, y, z), então, aplicando-se (A.97) a
(A.101a-b) mostra-se que
h = hx =1, hm = hy = 1, hn = hz = 1
b) Para o sistema cilíndrico, (, m, n)=(r, , z), tal que x = r.cos, y = r.sene z=z. Portanto, aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas
h = hr = 1, hm =h = r, hn =hz = 1
c) Para o sistema esférico, (, m, n)=(r, ), tal que x = R.sen cos, y = R.sen sen e z=R.cos. Portanto, aplicando-se (A.111) a (A.113), obtém-se as métricas
h = hr = 1, hm =h = R, hn =hz = R.sen
A.4.1- O Gradiente no sistema curvilíneo A diferencial total no sistema ortogonal , m, n vale:
dnn
dmm
dll
d
(A.114)
Usando novamente a propriedade (A.18 b), ou seja rdd
, a qual é válida para sistemas ortogonais
dnhnh
dmhmh
dhh
drd nn
mm
111
(A.115)
Usando (A.102) conclui-se que deve possuir a seguinte forma, a fim que (A.115) seja satisfeita:
000 ˆ1
ˆ1ˆ1 n
nhm
mhh nm
(A.116)
A.4.2- O Divergente no sistema curvilíneo Por sua vez, o divergente no sistema curvilíneo é calculado usando-se a definição (A.61). A partir de (A.98), é construída a Fig. A.18.
curva n
curva lcurva m
A
BC
D
hmdm
h dhndn
Figura A.18 – Cálculo do fluxo que atravessa a face ABCD. O fluxo na direção 0 , que atravessa a área ABCD, é dada por dndmhhudnhdmhu nmnmABCD )( (A.117)
Expandindo-se (uhmhn) em Série de Taylor
)()()()( PP
nmP
P
nmP
P
nm
Pnmnm nn
nhhumm
mhhuhhuhhuhhu
(A.118)
pois hm, hn também são funções de , m e n. Seguindo uma análise semelhante a desenvolvida na seção A.3.5, o fluxo será
dndmdhhuP
nm ..)(
(A.119)
Considerando-se as contribuições das outras quatro faces, e dividindo-se pelo volume
dnhdmhdhV nm .. , obtém-se finalmente
)()()(1
nmnmnmnm
hhun
hhum
hhuhhh
u
(A.120)
o divergente no sistema (, m, n).
A.4.3- O Rotacional no sistema curvilíneo O rotacional no sistema curvilíneo é calculado por
Srdu
uS
0
0 limˆ)( x (A.121)
Considerando-se um elemento de malha da Fig.A.19.
curva n
curva m
A
B
C
D u
umun
uhndn
hmdm
0ds
Figura A.19- Figura usada no cálculo da circulação no caminho ABCD.
A
D
D
C
C
B
B
A
rdurdurdurdurdu
(A.122)
O vetor u
no sistema (, m, n) é escrito como:
000 ˆˆˆ numuuu nml
(A.123)
Primeiramente, avalia-se a soma de integrais
dnhuhu
dnhudnhurdurdu
ADnnBCnn
ADnnBCnn
A
D
C
B
].)()[(
)()(
(A.124)
pois dn é o mesmo para os trechos BC e AD. Expandindo-se unhn no caminho BC em Série de Taylor,
)()()( ADAD
nnAD
AD
nnAD
AD
nn
ADnn
BCnn nn
nhu
mmmhuhu
huhu
(A.125) Sobre AD e BC, tem-se -AD=0, n-nAD=0, m-mAD=dm. Então, a partir de (A.125) obtém-se
dmmhu
huhuAD
nn
ADnn
BCnn
(A.126)
e assim, (A.124) conduz a
dndmmhu
rdurdu nnA
D
C
B
.
(A.127)
Analogamente, mostra-se que
dndmnhu
dmhudmhurdurdu
nn
ABmmCDmm
B
A
D
C
.)(
)()(
(A.128)
Portanto, de (A.122), (A.127) e (A.128) obtém-se
dndmnhu
mhu
dnhdmhS
rdunnnn
nm
...
1
(A.129)
De forma similar, calcula-se as demais componentes 0ˆ)( mu
x e 0ˆ)( nu x . A partir
daí, conclui-se que o rotacional total deve ser da forma:
000 ˆ.1
ˆ.1ˆ.
1 nmhu
lhu
hhm
lhu
nhu
hhl
nhu
mhu
hhu llmm
ml
nnll
ln
mmnn
nm
x
(A.130) A.4.4- O Laplaciano escalar no sistema curvilíneo O Laplaciano escalar em coordenadas curvilíneas pode ser obtido por
nh
hhnmh
hhmh
hhhhh n
m
m
nnm
nm
12 (A.131)
_____________________________________________________________________________ Exemplo 6: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de coordenadas cilíndricas (, m, n) = (r, , z). Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas (A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, rotacional e laplacianos:
zzff
rr
rff ˆˆ1
ˆ
zuu
rrur
ru zr
)()(1)(1
zu
rur
rru
zu
rz
uur
ux rzrz ˆ)()(1ˆ)()(
ˆ)()(1
2
2
2
2
22
22 11
zff
rrf
rrff
zuru
ur
urruu
ruu zr
rr ˆˆ]
2[ˆ]
2[ 2
222
2222
(conferir estes resultados!). Exemplo 7: Expressar o gradiente, divergente, rotacional e laplacianos no sistema de coordenadas esféricas (, m, n) = (R, ). Solução: Utilizando-se as métricas deduzidas no Exemplo 5, e as fórmulas generalizadas (A.116), (A.120), (A.130) e (A.131), calculam-se as expressões dos gradiente, divergente, rotacional e laplacianos:
ˆ.
1ˆ1ˆ
f
senRf
RR
Rff
)(
.
1cot
)(12)( usenR
guu
RRu
Ru
u RR
ˆ1ˆ.
1ˆcot.
.
11
Ruu
RRu
Ru
Ruu
senRR
Rguu
senRu
Rux RR
2
2
222
2
2
2 111
f
senRfsen
senRRfR
RRf
ˆ]12cos2
[
ˆ]2cos22
[
ˆ]22
)(2
[
222222
222222
22222
usenr
usenr
usenr
u
usenr
usenr
ur
u
rur
usenr
usensenr
uu
r
r
rr
(conferir estes resultados!).
É importante ressaltar que as propriedades deduzidas com o sistema de coordenadas generalizadas não se aplicam somente aos sistemas esférico e cilíndrico, mas também, a outros sistemas como, por exemplo, ao sistema de coordenadas parabólicas, ao sistema cilíndrico-parabólico, às coordenadas paraboloidais, ao sistema cilíndrico-elíptico, ao sistema esferoidal prolato, esferoidal oblato, às coordenadas bipolares, coordenadas toroidais, coordenadas cônicas, às coordenadas elipsoidais confocais, paraboloidais confocais, dentre outras.
A.5 Algumas Identidades Envolvendo Integrais Antes de se concluir este apêndice, apresenta-se abaixo algumas identidades obtidas do cálculo vetorial, e que podem ser importantes no estudos de eletromagnetismo avançado: a) Teorema do gradiente
V S
dSdV (A.132 a)
Primeira identidade de Green
SV
SddV
)()}()({ 2 (A.132 b)
c) Segunda identidade de Green
SV
SddV
)(}{ 22 (A.132 c)
d) Vários teoremas integrais
uSddVuSV
xx )( (A.132 d)
SV
SduuSdudVuuuxux ]2
1)[(])[(
2
(A.132 e)
SC
Sdrd x (A.132 f)
Os resultados aqui apresentados são particularmente úteis ao estudo de propagação de ondas eletromagnéticas, guiadas ou irradiadas. Estes resultados também podem ser úteis em estudos de propagação de ondas elásticas em meios isotrópicos gasosos, líquidos ou sólidos, à propagação de ondas térmicas por condução, convecção e radiação, etc. Para maiores detalhes, sugere-se ao leitor pesquisar na bibliografia abaixo selecionada. A.6 Bibiografia [1] Wylie, C.R., Barrett, L.C., Advanced Engineering Mathematics, fifth edition, McGraw- Hill, 1982. [2] Butkov, E., Física Matemática, Guanabara Koogan, 1988. [3] Sadiku, M.N.O, Electromagnetics, second edition, Saunders College Publishing, 1994. [4] Johnk, C.T.A., Engineering Electromagnetic Fields and Waves, John Wiley & Sons, 1988.