Post on 14-Nov-2018
TE231
Capitulo 4 –
Interpolação
Polinomial
Prof. Mateus Duarte
Teixeira
1. Introdução
A tabela abaixo relaciona calor específico da
água com a temperatura:
Deseja-se, por exemplo, saber:
a) o calor específico da água a 33,7°C;
b) a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837.
InterpolaçãoSolução
1. Introdução
A interpolação consiste em determinar uma
função, que assume valores conhecidos em
certos pontos (nós da interpolação), diferente do
ajuste de curvas.
A classe de funções escolhida para a
interpolação é arbitrária, e deve ser adequada
às características que pretendemos que a função
possua.
Função a ser considerada:
Polinômios → Interpolação Polinomial
1. Introdução
A necessidade de se efetuar esta substituição
surge em várias situações, como por exemplo:
a) Quando são conhecidos somente os valores
numéricos da função para um conjunto de
pontos e é necessário calcular o valor da
função em um ponto não tabelado;
b) Quando a função em estudo tem uma
expressão tal que operações como a
diferenciação e a integração são difíceis (ou
mesmo impossíveis) de serem realizadas.
1. Introdução
Na computação gráfica: Interpretação de um
aplicativo de como alguma coisa deve parecer,
especialmente quando o software não dispõe de
dados suficientes para atender à sua requisição.
Em engenharia e ciência, geralmente tem-se
dados pontuais obtidos a partir de uma
amostragem ou experimento. A partir de
métodos de interpolação pode-se construir uma
função que, aproximadamente, encaixe-se
nestes dados pontuais.
1. Introdução
Embora exista um único polinômio de
grau n que passa por n+1 pontos, há
diversas fórmulas matemáticas para
expressá-lo.
Formas adequadas para
implementação computacional:
Newton e Lagrange.
2. Existência e Unicidade
Seja p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Das condições de interpolação, obtém-se o sistema de (n+1) equações lineares.
Quais são as variáveis independentes (que desejamos obter)? ai ou xi ?
n0n11 n
n1 -n nnnn
10111 n
11 -n n1n1
00011 n
01 -n n0n0
y a xa ... xa xa )x(p
...........................................................................
y a xa ... xa xa )x(p
y a xa ... xa xa )x(p
Demonstração do Teorema:
A matriz dos coeficientes do sistema de equações
lineares é:
Det(A) = (x0 – x1) (x0 – x2) ... (x0 – xn) (x1 – x2)(x1 – x3) ...
(x1 – xn) ... (xn - 1 – xn)
Como x0, x1, ..., xn são distintos, tem-se que det(A) 0, logo o
sistema de equações lineares admite solução única
1 ... 1
............................
1 1
... 1 1
1
1 0
... 1 0
0
nxnnxn
nx
xnxnx
xnxnx
A Matriz de Vandermonde
O sistema de equações lineares pode ser
resolvido utilizando qualquer um dos métodos
(diretos ou iterativos) estudados.
Entretanto os métodos diretos tem complexidade
de ordem cúbica (O(n3)).
É possível expressar o problema de interpolação
polinomial de forma que se obtenham meios de
solução menos dispendiosos, com complexidade
de ordem quadrática (O(n2)).
Determinar o polinômio interpolador através da
resolução de um sistema de equações lineares é
caro computacionalmente. Então surgem outros
métodos de obtê-lo.
Lagrange
Newton
Hermite
Spline
3. Interpolação de Lagrange
Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}.
Encontrar um polinômio interpolador p(x)
que passe por todos os pontos
p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1...
Lk(x) são polinômios
11
Interpolação de Lagrange:
L x e
L x se i k
k k
k i
1
0 ,
n
kii ixkx
ixxxL
0 )(
)()(k
Polinômio Interpolador de Lagrange:
Versão linear:
Versão quadrática:
)()()( 1
01
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxf
)(
)()()(
2
1202
10
1
2101
200
2010
212
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
Considere o seguinte conjunto de pontos:
Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1)
= 4 e f(x2) = 12
2
23
)20).(10(
)2).(1()(
2
0
xxxxxL
xxxx
xL 2)21).(01(
)2).(0()( 2
1
2)12).(02(
)1).(0()(
2
2
xxxxxL
)().()().()().()( 221100 xfxLxfxLxfxLxP
)12.(2
)4.(2)2.(2
23)(
22
2 xxxx
xxxP
25)(
668.423)(
2
222
xxxP
xxxxxxxP
Exemplo: Empregar o polinômio
interpolador de Lagrange de primeiro e
de segundo graus para calcular ln(2)
com base nos seguintes dados:
791759,1)(;6
386294,1)(;4
;0)(;1
22
11
00
xfx
xfx
xfx
Solução:
Polinômio de primeiro grau:
4620981,0)386294,1(14
12)0(
41
42)2(
)()()(
1
1
01
00
10
11
f
xfxx
xxxf
xx
xxxf
Solução:
Polinômio de segundo grau:
5658444,0)791760,1()46)(16(
)42)(12(
)386294,1()64)(14(
)62)(12()0(
)61)(41(
)62)(42(
)(
)()()2(
2
1202
10
1
2101
200
2010
212
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxf
Exercício:
Ajuste por uma reta os seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
101
00
10
1 xfxx
xxxf
xx
xxxp
28,2455,16,524
21,3
42
4
xx
xxxp
6,025,1 xxp
Exercício:
Seja y = f(x) determinar o polinômio que
interpola uma função dada nos pontos a
seguir utilizando o método de Lagrange e
três casas decimais.
1 2,333x - 2667,0)(p xx
4. Interpolação de Newton
Diferenças Divididas de Newton:
Seja f(x) uma função contínua, (n+1) vezes
diferenciável e definida em x0, x1, ...xn (n+1)
pontos distintos de um intervalo (a, b).
Definimos diferença dividida de ordem n
de uma função f(x) definida nos pontos xi, i
= 0, 1,...,n por
21
0
1210321210
],...,,[],...,,,[],...,,,[
xx
xxxxfxxxxfxxxxf
n
nnn
Então:
)(][ 00 xfxf
01
0110
)()(],[
xx
xfxfxxf
02
1021210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
03
2103213210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
(ordem 0)
(ordem 1)
(ordem 2)
(ordem 3)
Operadores:
][ 1xf
][ 2xf
][ 3xf
][ nxf
][ 0xf][ 1,0 xxf
][ 2,1 xxf
][ 3,2 xxf
][ 2,1,0 xxxf
][ 3,2,1 xxxf
...
...
Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
Seja f(x) uma função contínua e
definida em x0, x1, ...xn (n+1) pontos
distintos de um intervalo (a, b). O
polinômio de grau n baseado nas diferenças divididas dado por:
],...,,,[).)...().((...
],,[).).((],[).(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP
Operadores:
02
01
01
12
12
2
01
011
00
)()()()(
)()(
)(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xx
xfxfb
xfb
],,[).).((],[).(][)( 2101010002 xxxfxxxxxxfxxxfxP
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
1202102
2
201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf
Faça uma estimativa de ln(2)
empregando um polinômio interpolador
de Newton de terceiro grau utilizando os
seguintes pontos:
609438,1)(;5
791759,1)(;6
386294,1)(;4
;0)(;1
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
Solução:
O polinômio de terceiro grau a ser obtido
possui a forma:
As primeiras diferenças divididas para o
problema são:
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf
4620981,014
0386294,1],[ 01
xxf
As segundas diferenças divididas para o
problema são:
1823216,065
791759,1609438,1],[
2027326,046
386294,1791759,1],[
23
12
xxf
xxf
02041100,045
2027326,01823216,0],,[
05187311,016
4620981,02027326,0],,[
123
012
xxxf
xxxf
A terceira diferença dividida é:
Polinômio interpolador de Newton:
007865529,015
02041100,0],,,[ 0123
xxxxf
)6)(4)(1(007865529,0
)4)(1(05187311,0)1(4620981,00)(3
xxx
xxxxf
Valor aproximado para ln(2)=0,6287686
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Estimativa cúbica
Estimativa linear (a)
Estimativa linear (b)
Estimativa quadrática
Função real
fun
çã
o f
(x)
variável independente x
Erros relativos (lineares):
(a) 48,3%
(b) 33,3%
Erro relativo (quadrática):
18,4%
Erro relativo (cúbica):
9,3%
Exemplo
Exemplo
Considerações Finais:
Nos métodos que utilizam diferenças divididas
a estimativa do erro de truncamento pode ser
facilmente integrada ao algoritmo, uma vez
que utiliza uma diferença.
No método de Lagrange, a estimativa do erro
de truncamento pode ser obtida apenas se a
função interpolada for conhecida
analiticamente.
O método de Lagrange é um pouco mais
simples de ser implementado.
Trabalho
Um automóvel, viajando por uma rodovia é
cronometrado em diversas posições. Os dados
seguem onde tempo (s) e distância (pés) e
velocidade (pés/s).
Use o polinômio de segundo grau de Lagrange e
cúbico de Newton para obter a posição e
velocidade do automóvel quando t = 10 s.
Plote os gráficos e compare com a ferramenta
Excel.