TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA

ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS

GRAUS RADIANOS

MULTIPLIQUE POR180º

TROQUE POR 180º

12º

Exercícios sobre Transformações

pág. 07

∙

GRAUS

∙

180º

180º

RADIANOS

180º=

15

Resp. : d

Exercícios sobre Transformações

pág. 07

GRAUS

∙

180º

180º

RADIANOS

Resp. : b

2

5

2∙180º

52∙36º 72º

3

4

3∙180º

43∙45º 135º

8

180º

822,5º

1 rad 57º

rad 180º

Além de GRAUS e RADIANOS há

também os GRADOS

0º180º

90º

270º

360º

GRAUS

0

/2

3 /2

2

RADIANOS

300gr

0200gr

100gr

400gr

GRADOS

Ângulo formado pelos ponteiros de um

relógio

12

6

9 3

1

2

4

5

11

10

8

7

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

30º30º

Para saber o ângulo observe a lógica geométrica

1

12

6

9 3

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 4:00

30º

30º

30º

90º

30º

30º

30º

30º

120º

depois de 60

minutos o

ponteiro menor

se moveu 30º

Para saber o ângulo observe a lógica geométrica

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:30

depois de 30

minutos o

ponteiro menor

se moveu 15º

15º

15º

Para saber o ângulo observe a lógica geométrica

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:20

10º

depois de 20

minutos o

ponteiro menor

se moveu 10º

Para saber o ângulo observe a lógica geométrica

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

3:00 3:10

5º

depois de 10

minutos o

ponteiro menor

se moveu 5º

Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de

deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do

valor numérico do tempo decorrido (em minutos)

tempo

(minutos)

ângulo

(graus)

60 30º

40 20º

30 15º

20 10º

15 7,5º

10 5º

2 1º

1 0,5º

Exercícios sobre ângulos entre ponteiros

pág. 07

Resp. : b

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

30º

30º

30º

30º

30º

30º + 30º + 30º + 30º + 30º

150º

Exercícios sobre ângulos entre ponteiros

pág. 08

Resp. : c

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

22º30’

30º

30º

30º + 30º + 22º30’

82º30’

Exercícios sobre ângulos entre ponteiros

pág. 08

Resp. : a

1

12

6

93

2

4

5

11

10

8

7

20º

30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º

170º

30º

30º

30º

30º30º

+1-1

-1

+1

CICLO TRIGONOMÉTRICO

180º

90º

270º

0º

150º

135º

120º

30º

225º

60º

330º

300º

210º

240º

45º

315º

360º 2

/2

3 /2

/32 /3

4 /3 5 /3

/65 /6

7 /6 11 /6

/43 /4

5 /4 7 /4

-300º

ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS

0º

60º +

--60º

180º

90º

270º

-90º

-270º

-180º

-150º 210º

300º

ÂRCOS CÔNGRUOS

50º

0º180º

90º

270º

-310º

410º 770º 1130º ...

-670º -1030º -1390º ...

ÂRCOS CÔNGRUOS

0º180º

90º

270º

50º

-310º

410º 770º 1130º ...

-670º -1030º -1390º ...

50º

410º

770º

1130º

-310º

-670º

-1030º

-1390º

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

= 50º + 360 ∙

( 0 )

( -1 )

( -2 )

( -3 )

( -4 )

( 3 )

( 2 )

( 1 )

1ª det. positiva

2ª det. positiva

3ª det. positiva

4ª det. positiva

4ª det. negativa

3ª det. negativa

2ª det. negativa

1ª det. negativa

x = 50º + 360 ∙ k

1ª det. positiva

número

inteiro

COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA

DE UM ÂNGULO, EM GRAUS.

EXEMPLO:

ENCONTRAR A

MENOR

DETERMINAÇÃO

POSITIVA DO ÂNGULO

DE 1850º

1850º 360º

51800º

50º

VOLTAS

COMPLETAS1ª DETERMINAÇÃO

POSITIVA

COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA

DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS.

EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO

ÂNGULO DE 28

3

28

3=

6

3+

6

3+

6

3+

6

3+

4

3

VOLTAS

COMPLETAS

1ª DETERMINAÇÃO

POSITIVA

SENO E CO-SENO DE

UM ÂNGULO

NO CICLO

TRIGONOMÉTRICO

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 0º = 0

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 90º = 1

positivo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

segundo

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

segundo

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

segundo

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

segundo

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 180º = 0

positivopositivo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo

terceiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo

terceiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo

terceiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo

terceiro

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 270º = -1

positivopositivo

negativo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo negativo

quarto

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo negativo

quarto

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo negativo

quarto

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivopositivo

negativo negativo

quarto

quadrante

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

sen 360º = 0

360º

positivopositivo

negativo negativo

SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

360º

quarto

quadrante

terceiro

quadrante

segundo

quadrante

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 0º = 1

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

primeiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 90º = 0

positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

segundo

quadrante

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

segundo

quadrante

negativo positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

segundo

quadrante

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

segundo

quadrante

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 180º = -1

positivonegativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivonegativo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivonegativo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

negativo positivo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivonegativo

negativo

terceiro

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 270º = 0

positivo

negativo

negativo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

negativo

negativo

positivo

quarto

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

negativo

negativo

positivo

quarto

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

negativo

negativo

positivo

quarto

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

positivo

negativo

negativo

positivo

quarto

quadrante

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

cos 360º = 1

360º

positivo

negativo

negativo

positivo

CO-SENO DE UM

ÂNGULO

0º180º

90º

270º

360º

quarto

quadrante

terceiro

quadrante

segundo

quadrante

primeiro

quadrante

Exercícios sobre seno e co-seno

pág. 21

Resp. : c

450º

1

360º

360º

90º

sen 450º = sen 90º

sen 450º = 1

900º

2

360º

720º

180º

cos 900º = cos 180º

cos 900º = -1

-1

+1

Exercícios sobre seno e co-seno

pág. 21

Resp. : c

-1 sen x 1

-1 12m - 1

3

-3 32m - 1

+ 1 - 3 3 + 12m

- 2 42m

- 2 4m

2 2

- 1 2m

Exercícios sobre seno e co-seno

pág. 21

Resp. : c

sinal do

seno

sinal do

co-seno

a

Exercícios sobre seno e co-seno

pág. 22

Resp. : e

0º

90º

270º

180º

b