FÍSICA

Editora Exato 7

GRANDEZAS E VETORES 1. INTRODUÇÃO

Define-se como grandeza tudo aquilo que pode ser medido. O universo das grandezas é dividido em dois grandes grupos, as escalares e as vetoriais. As grandezas que ficam completamente determinadas por seu valor numérico e uma unidade adequada são denominadas de escalares. Por exemplo, quando o noticiário diz que em Palmas a temperatura é de 32°C, conseguimos entender a mensagem claramente sem a necessidade de complemento. Outros exemplos de grandezas escalares são: área, volume, massa, e-nergia, tempo, carga elétrica.

Existem, por outro lado, grandezas físicas que exigem para sua completa compreensão, além do seu valor numérico, o conhecimento de uma direção ori-entada. Tais grandezas são denominadas de vetoriais. Como exemplo, veja o esquema do mapa na figura 2 – observe que é necessário dizer para onde os passos devem ser dados, ou seja, é preciso orientação.

As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor, que se carac-teriza por apresentar módulo, direção e sentido. Gra-ficamente representamos um vetor por um segmento orientado (fig. 1) e indicado por uma letra qualquer, sobre a qual se coloca uma pequena seta )v(

r.

1cm

Sentido

Reta suporte r

Direção

Figura 1PO

1cm

A direção do vetor é a mesma da reta suporte r. O sentido é de O para P dado pela ponta da seta. O módulo é o comprimento do vetor. Na figura 1, o módulo do vetor vale 2cm.

2. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS ESCA-

LARES

2.1. Soma e subtração de grandezas

escalares Para se somar ou subtrair grandezas escalares,

devemos aplicar a álgebra já conhecida do 1º grau. Vejamos um exemplo: em 10l de água quente, são adicionados 20l de água fria. Qual o volume total de água?

Resposta:

Volume = 10 + 20 = 30l

3. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS VETO-

RIAIS

A adição e a subtração de grandezas vetoriais necessitam de uma nova álgebra. Como exemplo, consideramos os deslocamentos feitos por uma pes-soa que anda com um mapa procurando um tesouro. Observe que no mapa não se pode escrever somente: ande 20 passos! Para onde? Os deslocamentos são grandezas vetoriais que precisam, portanto, de orien-tação.

Assim, o mapa deve conter informações como direção e sentido. Informações do mapa:

� A partir do ponto A, ande 20 passos para o Norte, em seguida, ande 6 passos para o Leste e, finalmente, 12 passos para o Sul. Quantos passos a pessoa deu? 38 passos.

N

O

S

L

A dr

B20

06

12

Figura 2

Se a pessoa fosse direto de A para B, andando

o segmento dr , chamado aqui de Deslocamento Re-sultante, ela teria andado 10 passos. Como este cálcu-lo é feito?

Devemos subtrair vetores com sentidos opos-tos, assim temos 20 – 12 = 8. Os vetores 6 e 8 são perpendiculares entre si. Utilizamos aqui o Teorema de Pitágoras para nos fornecer o deslocamento resul-

tante dr .

dr8

6

dr2 = 82 + 62

dr2 = 64 + 36

dr = 100 dr = 10 passos

Editora Exato 8

Este método de adicionar vetores é chamado de regra origem–extremidade: a resultante vai da ori-gem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor.

Considere os vetores 21 VeV da figura abaixo.

Pela regra origem–extremidade, temos:

V V

V

V

V

1 1

2

2

21 VVV +=

Casos Particulares: 3.1. Soma de vetores com a mesma di-reção e sentido.

O ângulo formado entre os vetores é de 0°.

Vetor ResultanteV R

V R A B+= IntensidadeA

B

A B

V RA B+

Exemplo:

F = 4N1

F = 3N2

= F 4 + 3R

= F 7N R

= F + F 1 2

F R

3.2. Soma de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

O ângulo formado entre os vetores é de 180°

A A

(+)

V R BB

V R A B-=

V R A (-B)+=

Intensidade

3.3. Soma de vetores que formam en-tre si um ângulo reto (α = 90°)

V1

V2

VR

22

21

2

RVVV += Teorema de Pitágoras

ESTUDO DIRIGIDO

1 Defina grandeza escalar, citando 2 exemplos.

2 Defina grandeza vetorial, citando 2 exemplos.

3 Desenhe: a) dois vetores com mesma direção e sentido. b) dois vetores com mesma direção e sentidos

opostos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Um homem caminha 4 passos para Leste e de-pois 3 passos para o Sul. Qual o seu deslocamen-to resultante?

Resolução: Pontos cardeais

NON

NE

E

SE

SSO

O

, oriente-se

4 passosE

3 passos

S

DR

Editora Exato 9

2 2 2

1 2

1 2 2

2

2

4 3

16 9

25

25

5

R

R

R

R

R

R

D D D

D

D

D

D

D passos

= +

= +

= +

=

=

=

O deslocamento resultante (DR) foi de 5 pas-sos.

2 Some os vetores abaixo. a)

3

5

b)

37

c)

6

8

d)

8

4

5

Resolução: a) Basta somar

3 5D = 8R

b) Basta subtrair

73

D = 4R

c) Teorema de Pitágoras

6 8DR

2 2 2

2

2

6 8

36 64

100

100

10

R

R

R

R

R

D

D

D

D

D

= +

= +

=

=

=

d) Aqui basta subtrair 5 de 8, pois são vetores opostos; e usar depois o Teorema de Pitágoras. A-companhe:

DR

8

8 - 5 = 3

5

4 4

3

2 2 2

2

2

4 3

16 9

25

25

5

R

R

R

R

R

D

D

D

D

D

= +

= +

=

=

=

EXERCÍCIOS

1 Se somarmos dois vetores de módulo 20 e 8, que tenham mesma direção e sentido, qual será o mó-dulo do vetor resultante?

2 Calcule o módulo do vetor soma (resultante), dos seguintes casos:

a)

10

6

b)

97

c)

5

12

90º

d)

2

2

60º

Editora Exato 10

3 Um homem está sobre um ônibus cuja velocidade é de 60km/h em relação ao solo. Se o homem começar a andar com uma velocidade de 3km/h em relação ao ônibus, qual a velocidade do ho-mem em relação ao solo, se ele anda na mesma direção e sentido do ônibus?

4 Assinale a alternativa que contém apenas grande-zas vetoriais. a) tempo, força, energia. b) força, velocidade, temperatura. c) energia, corrente elétrica e quantidade de mo-

vimento. d) força, aceleração e quantidade de movimento. e) tempo, espaço e energia.

5 Determinado veículo gasta 2h numa viagem de Brasília a Goiânia. Sabendo que o carro percorreu uma distância de 210km e que a distância entre as duas cidades, em linha reta, é de 170km, calcule o módulo da velocidade escalar média e da velo-cidade vetorial média do veículo.

GABARITO

Estudo dirigido

1 É a grandeza física que fica perfeitamente defini-da com um número e uma unidade, ou seja, não precisa de orientação. Exemplos: massa, tempo.

2 É a grandeza física que além do número e unida-de precisa de orientação (direção e sentido).

3

a) b) Exercícios

1 28

2 a)16 b)2 c)13 d) 2 3

3 63km/h.

4 D

5 105km/h e 85km/h