1

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 1

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

1 MATRIZES

HISTÓRICO

O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Lagrange em 1790.

O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.

Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por

mxnij )a(A = , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento ija

dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a

qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o

índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda

matriz pode ser representada, genericamente, por:

=

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

Indicaremos por )(M mxn ℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com

elementos reais.

• Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(M n ℜ ou

simplesmente nM . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas.

• Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por

)(M mxn ℜ ou simplesmente mxnM .

2

• Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todo

número real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1.

Exemplo (1): Escrever a matriz 3x2ij )a(A = tal que

<−

=

>+

=

jise,ji2

jise,i

jise,j2i

a jij

Solução: A matriz 3x2ij )a(A = é representada por:

=

232221

131211

aaa

aaaA . Então:

11ia 1j11 === ; 42ia 2j

22 === , pois i = j

0212ji2a12 =−⋅=−= ; 1312ji2a13 −=−⋅=−= ; 1322ji2a 23 =−⋅=−= , pois i < j

3112j2ia 21 =⋅+=+=

Portanto:

−=

143

101A

1.1 Matrizes Especiais

• Matriz Nula: é a matriz mxnO , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja:

=

0...00

............

0...00

0...00

A

• Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )n11211 a...aaA = .

• Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja:

=

1m

21

11

a

...

a

a

A

• Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja:

=

nn2n1n

n22221

n11211

nxn

a...aa

............

a...aa

a...aa

A . Os

elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal.

• Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos;

3

a) Triangular Inferior: é tal que jise0a ij <= ⇒

=

nn2n1n

2221

11

nxn

a...aa

............

0...aa

0...0a

A

b) Triangular Superior: é tal que jise0a ij >= ⇒

=

nn

n222

n11211

nxn

a...00

............

a...a0

a...aa

A

• Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, na qual cada

≠

=ℜ∈∀=

jise,0

jise,xa ij ⇒

=

nn

22

11

nxn

a...00

............

0...a0

0...0a

A

• Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por nId , na qual cada

≠

==

jise,0

jise,1a ij ⇒

=

1...00

............

0...10

0...01

A nxn

• Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnij )a(A = , então sua transposta é uma matriz

nxmjit )a(A = . É a matriz tal que jiij aa = . Assim, dada uma matriz A, para obter sua

transposta trocamos as linhas com as respectivas colunas.

• Matriz Simétrica: é uma matriz An, quadrada, tal que At = A.

• Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que At = -A.

1.2 Operações com Matrizes

• Igualdade: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:

jei,baBA ijij ∀=⇔=

• Adição: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:

mxnijij )ba(BA +=+ .

4

Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas as

seguintes propriedades:

a) Comutativa: A + B = B + A

b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento Neutro: ∀A∈Mmxn, ∃O∈Mmxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A.

d) Elemento Oposto: ∀A∈Mmxn, ∃(-A)∈Mmxn (matriz oposta de ordem mxn) tal que

A + (-A) = (-A) + A = O.

• Subtração: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então:

mxnijij )ba(BA −=− .

OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinte

forma: )B(ABA −+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B,

nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição.

• Produto por escalar: Sejam mxnij )a(A = e ℜ∈α∀ . Então: mxnij )a(A ⋅α=⋅α .

Propriedades: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == e ℜ∈βα∀ e .

a) A)()A()A( αβ=βα=αβ

b) BA)BA( α+α=+α

c) AAA)( β+α=β+α

d) AA1 =⋅

• Multiplicação: Sejam pxqjkmxnij )b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado por

BA ⋅ , só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por mxqik )c(C = ,

sendo que : ∑=

⋅=n

1jjkijik bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q.

OBS: Para haver o produto entre as matrizes pxqmxn BeA , é necessário que o número de

colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, a

ordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número de

colunas da matriz à direita, ou seja:

Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então:

mxq

A m x n ⋅ B p x q n=p

5

a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅

b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅

c) Distributiva:

⋅+⋅=⋅+

⋅+⋅=+⋅

CBCAC)BA(:direitaà

CABA)CB(A:esquerdaà

d) Elemento Neutro: Seja mxnij )a(A = . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m

( mId ) ou ordem n ( nId ), pois: AIdA n =⋅ e AAId m =⋅ .

Exemplo (2): Sejam

−=

10

12A ,

−−=

312

105B e

−=

01

84C . Determine se possível:

a) CA2 + d) CB ⋅

b) BA ⋅ e) B)C3A( ⋅−

c) CB + f) 2A

Solução: a)

−=

++

−−+=

−+

−=+

11

96

0110

8142

01

84

10

122CA2

b)

−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅

−⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅=

−−⋅

−=⋅

)3(110)1(1002150

)3()1(12)1()1(022)1(52

312

105

10

12BA ⇒

−−=⋅

312

518BA

c) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem.

d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz 3x2B não é igual ao número de

linhas da matriz 2x2C .

e)

−−⋅

−

−=

−−⋅

−−

−=⋅−

312

105

13

2310

312

105

01

843

10

12B)C3A( ⇒

−−−

−−−=⋅−

6113

79234B)C3A(

f)

−=

−⋅

−=⋅=

10

34

10

12

10

12AAA 2

1.3 Matriz Inversível

Definição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matriz

quadrada B de ordem n, de modo que nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, é

única e chamada de inversa de A, denotada por 1A − .

6

1.3.1 Determinação da inversa

1º Método - Por Definição

Aplicando a definição, onde 1A − será escrita genericamente, vamos encontrar um

sistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa.

Se o sistema for impossível, então não existe a inversa.

Exemplo (3): Sejam

=

42

31A e

=

112

123

021

B . Determine a inversa pela definição, se houver.

Solução: Seja

=−

dc

baA 1 . Por definição 2

1 IdAA =⋅ − . Então:

=

⋅

10

01

dc

ba

42

31 ⇒

=

++

++

10

01

d4b2c4a2

d3bc3a ⇒

=+

=+

0c4a2

1c3a e

=+

=+

1d4b2

0d3b . Resolvendo os sistemas

lineares teremos

−

−=−

21

23

1

1

2A .

Seja

=−

ihg

fed

cba

B 1 . Então, 31 IdBB =⋅ − ⇒

=

⋅

100

010

001

ihg

fed

cba

112

123

021

⇒

=++

=++

=+

0gda2

0gd2a3

1d2a

e

=++

=++

=+

0heb2

1he2b3

0e2b

e

=++

=++

=+

1ifc2

0if2c3

0f2c

Resolvendo os três sistemas lineares teremos:

−

−

−−

=−

431

111

221

B 1

2º Método - Por Operações Elementares

Podemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suas

propriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes:

a) Permutar duas filas paralelas;

b) Multiplicar uma fila por um escalar α , ℜ∈α∀ , com 0≠α ;

c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α , ℜ∈α∀ , com 0≠α ;

7

O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemos

a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operações

elementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamos

na matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo o

que resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa 1A − .

Exemplo (4): Sejam

=

42

31A e

=

112

123

021

B . Determine sua inversa, por operações

elementares, se houver.

Solução:

−−

− →

−− →

++−

12*20

2*01

12*20

01*31

10*42

01*31 23LLLL2 122

321

−

− →

−

21

23L

1*10

2*01221

⇒

−

−=−

21

23

1

1

2A

→

−−

−−

−

+−

+−→

24121

31

LLL3

LL2 102*130

013*140

001*021

100*112

010*123

001*021

→+

+

−

−− →

−−

−−23

3

32LL

L443

41

41

41

43

41LL3

41

43

41

1*00

0*10

001*021

102*130

0*10

001*021

−

−

−−

→

−

−+−

431*100

111*010

221*001

431*100

111*010

001*02112 LL2 ⇒

−

−

−−

=−

431

111

221

B 1

OBS: No exemplo acima, por exemplo, 21 LL2 +− significa: menos duas vezes a linha 1 somada a

linha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma a

linha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e ela

apresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa.

8

2 DETERMINANTES

HISTÓRICO

Os primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a idéia de determinante em seus trabalhos sobre sistemas lineares.

O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783), sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonte (1735-1796), a primeira abordagem da teoria dos determinantes.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta até hoje.

Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado por

det(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos da

matriz, conforme os métodos apresentados abaixo.

2.1 Regra de Sarrus

A regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue:

• Determinante de 2ª ordem: Seja

=

2221

1211

aa

aaA ⇒

2221

1211

aa

aa)Adet( = ⇒

)aa()aa()Adet( 21122211 ⋅−⋅= .

• Determinante de 3ª ordem: Seja

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A ⇒

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

)Adet( = ⇒

)aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet( 122133322311312213133221312312332211 ++−++=

Regra prática:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

)Adet( =

Exemplo (5): Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus:

)aaaaaaaaa( 133221312312332211 +++)aaaaaaaaa( 122133322311312213 ++−

9

a) 24

23− b)

243

231

021

−

−

Solução: a) 1486)42()23(24

23−=−−=⋅−⋅−=

−

b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[

243

231

021

−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅=

−

− =

301218)480()0126( =+=−−−++=

2.2 Regra de Laplace

Definição: Dada uma matriz quadrada nxnij )a(A = , de ordem 2n ≥ , chamamos de cofator do

elemento aij, e indicado por Aij, ao seguinte número: ijji

ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o

determinante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos a

linha e a coluna as quais pertence o elemento aij.

Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz

−

−

=

133

011

212

A .

Solução: 9)36(133

12)1(D)1(A 5

2332

23 −=+⋅−=−

⋅−=⋅−= +

2)20(101

21)1(D)1(A 4

3113

31 =+⋅+=−

−⋅−=⋅−= +

Teorema de Laplace: Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . O determinante

da matriz A é a somatória dos elementos aij pelos seus respectivos cofatores

Aij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se

=

nn2n1n

n22221

n11211

nxn

a...aa

............

a...aa

a...aa

A , então, em relação a primeira linha, temos

que: n1n112121111 Aa...AaAa)Adet( +++= .

10

OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, de

preferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema de

Laplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem.

Exemplo (7): Resolver o determinante

243

231

021

)Adet(

−

−= usando o Teorema de Laplace.

Solução: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3:

333323231313 AaAaAa)Adet( ++=

31

21)1(2

43

21)1(2

43

31)1(0)Adet( 333231

−−⋅+

−−⋅+

−

−−⋅= +++

301020)5(2)10(2)Adet( =+=⋅+−⋅−=

2.3 Regra de Chió

Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . No determinante da matriz

A, identificar um elemento 1a ij = . Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1a ij = .

Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento ija , o produto

dos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá ser

multiplicado por ji)1( +− , onde i e j são os índices do elemento 1a ij = .

Por exemplo, suponhamos que 1a11 = . Se a matriz

=

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A ,

então

1nn1nn1n133n1n122n

31n1n3311333311232

21n1n2211323211222

11

aaa...aaaaaa

............

aaa...aaaaaa

aaa...aaaaaa

)1()Adet(

⋅−⋅−⋅−

⋅−⋅−⋅−

⋅−⋅−⋅−

⋅−= +

Exemplo (8): Resolver o determinante

243

231

021

)Adet(

−

−= usando o a regra de Chió.

Solução: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a11 = :

11

)210(25210

25

302324

)1(02)1(23)1()Adet( 11 ⋅−−⋅=

−=

⋅−⋅−−

−⋅⋅−−⋅−⋅−= + ⇒ 30)Adet( =

2.4 Propriedades dos determinantes

• 0)Adet( = , se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duas

filas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais.

• Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos da

diagonal principal.

• Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante ficará

multiplicado por α.

• Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1.

• Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar,

ℜ∈α∀ , o determinante são se altera.

• Se

nn2nn

n2222

n1121

nn2n1n

n22221

n11211

nn2nn1n

n222221

n112111

a...ax

............

a...ax

a...ax

a...aa

............

a...aa

a...aa

a...axa

............

a...axa

a...axa

)Adet( +=

+

+

+

=

• )Adet()Adet( t =

• )Adet(

1)Adet( 1 =−

• )Bdet()Adet()BAdet( ⋅=⋅

2.5 Matriz Inversa através da Matriz Adjunta

Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Cofatora

da matriz A, denotada por Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elemento

aij. (veja a definição de cofator no item 2.2)

Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Adjunta,

denotada por Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja, t))A(Cof()A(Adj = .

12

Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa da

matriz A é determinada por: )A(Adj)Adet(

1A 1 ⋅=− , com 0)Adet( ≠ .

Exemplo (9): Seja e

=

112

123

021

B . Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver.

Solução: Como 01)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa.

−−

−

−−

=

−−−

−−−

−−−

=

+++

+++

+++

412

312

111

23

21)1(

13

01)1(

12

02)1(

12

21)1(

12

01)1(

11

02)1(

12

23)1(

12

13)1(

11

12)1(

)B(Cof

332313

322212

312111

( )

−−

−−

−

==

431

111

221

)B(Cof)B(Adj t ⇒

−−

−−

−

−=⋅=−

431

111

221

1

1)B(Adj

)Bdet(

1B 1

−

−

−−

=−

431

111

221

B 1

3 SISTEMAS LINEARES

HISTÓRICO

Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).

Definição: Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa nn2211 =+++ ,

ℜ∈∀ n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo

13

independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas de

incógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de equação linear a n incógnitas.

Definição: Seja uma equação linear bxa...xaxa nn2211 =+++ . Chama-se solução dessa

equação, uma seqüência de n números reais (n-úpla) n21 ,...,, ααα , tal que:

ba...aa nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira.

Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas ou

mais equações lineares nas mesmas variáveis reais n21 x,...,x,x . O par de índices mxn

é chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamente

representado por:

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

mxn

bxa...xaxa

....................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

:S

Definição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla n21 ,...,, ααα de números reais,

que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S.

3.1 Classificação dos Sistemas Lineares

• Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções

• Sistema Impossível (SI): não admite solução.

3.2 Métodos de Resolução de Sistemas Lineares

Algumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistema

linear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estas

operações são as seguintes:

i) Permutar uma ou mais equações;

ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero;

iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero.

• Método da Substituição: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí-

la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma única

equação dependendo apenas de uma só variável.

14

Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição

=++−

=+−

−=−+

8z5yx

9z3yx2

3zy2x

:S

Solução: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação e

substituí-la nas demais: 3zy2x −+−= (*). Então:

=++−+−−

=+−−+−

8z5y)3zy2(

9z3y)3zy2(2 ⇒

=+

=+−′

5z4y3

15z5y5S . Agora temos um sistema S′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar a

variável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy −= (**). Então:

2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z = em (**) obtemos 1y −= . Fazendo 2z = e

1y −= em (*) obtemos 1x = . Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma única

solução }2z,1y,1x{ =−== .

OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir)

na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo

0x0...x0x0 n21 =+++ , isso significa que elas eram combinação linear das demais e dever

ser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo α=+++ n21 x0...x0x0 , com

0≠α , estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução.

Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição

=−+

=+−

=+−

0z3yx

1z2yx

2zyx3

:S

Solução: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos:

2zx3y −+= (*) ⇒

=−−++

=+−+−

0z3)2zx3(x

1z2)2zx3(x ⇒

=−

−=+−′

2z2x4

1zx2:S

Isolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda: 1x2z −= (**) ⇒

0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras.

Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**)

em (*) e teremos 3x5y −= .

Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−= x,1x2z;3x5y .

15

• Método do Escalonamento: Dado um sistema linear

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

mxn

bxa...xaxa

....................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

:S

através de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistema

equivalente, chamado de sistema escalonado:

β=α

β=α++α

β=α++α+α

β=α++α+α+α

′

mnmn

3nn3333

2nn2323222

1nn1313212111

x

......................................................................

x...x

x...xx

x...xxx

:S

com o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita xn, determinando, assim,

o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistema

escalonado S′ , uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na forma

escalonada, ou seja:

α

αα

ααα

αααα

mn

n333

n22322

n1131211

...000

...............

...00

...0

...

Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento

=++−

=+−

−=−+

8z5yx

9z3yx2

3zy2x

:S

Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termos

independentes. Então:

−−

−−

→

−

−−

→

−

−

−− −+−

+5430

3110

3121

5430

15550

3121

8511

9312

312125

121

31

LLL2

LL

−−

−−

→+−

14700

3110

312132 LL3

. Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltar

ao sistema escalonado. Assim:

=

−=−

−=−+

′

14z7

3zy

3zy2x

:S . Da última equação temos que 2z = .

Substituindo na segunda equação teremos 1y −= . Com os valores de y e z, substituímos

16

na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite uma

única solução }2z,1y,1x{ =−== .

Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento

=++

−=++−

=−+

8zy4x

3z2yx

5zy3x2

:S

Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termo

independente trocando a primeira equação com a segunda. Então:

−

−−

→

−

−−

→

−

−−+−+

+6000

1350

3211

5350

1350

3211

8141

5132

32113221

31

LL1LL2

LL. Note que a matriz

está escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0 =++ , o que é uma falsidade,

indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução.

3.3 Sistema Linear Homogêneo

É o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ou

seja:

=+++

=+++

=+++

0xa...xaxa

....................................................

0xa...xaxa

0xa...xaxa

:H

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

mxn .

Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ou

SPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial (0,0,...,0). Assim, sua

classificação se reduz a:

• Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial

• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas.

Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado:

a)

=++

=−+

=−+

0zy3x3

0z2yx2

0z3y2x

:H , método da substituição

b)

=+

=−−

=++

0y3x4

0z2yx2

0zy2x

:H , método do escalonamento

17

Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas,

teremos:

=+++−

=−++−

0zy3)z3y2(3

0z2y)z3y2(2 ⇒

=+−

=+−′

0z10y3

0z4y3:H .

Da primeira equação vem que z4y3 −=− (**). Substituindo na segunda, teremos:

0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z = em (**), temos que 0y = . Fazendo

0ze0y == em (*), temos que 0x = . Portanto, o sistema é SPD e a solução é a

trivial }0z,0y,0x{ === .

b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalhar

com a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então:

−−→

−−

−−→

−−+−+−

+−000

450

121

450

450

121

034

212

1213221

1

LL1LL2

3LL4. A matriz já está

escalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos:

=−−

=++′

0z4y5

0zy2x:H . Da segunda equação, temos: zy

54−= . Substituindo na primeira

equação, teremos: ( ) zx0zz2x53

54 =⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e sua

solução geral é { }ℜ∈∀−== z,zy,zx54

53 . Note que, para 0z = , teremos x = y = 0,

ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções.

Exercícios Propostos

1) Sejam

−=

10

21A ,

−

−=

121

430B e

−=

012

111C . Determine a matriz X tal que

)C3B(AC2X 2 −=+ . Resp:

−−

−−−=

167

185X

2) Determine a matriz inversa, se houver.

a)

−

−=

46

12A Resp (a):

−

−=−

13

2A 2

11

b)

−−

−=

301

232

312

B Resp (b):

−−

−−

−

=−

413

1038

1139

B 1

18

3) Sejam

=

=

11

32Be

14

23A . Determine:

a) [ ] 1t)BA(det−

⋅ Resp (a): 5

1

b) Mostre que [ ])Bdet()Adet(

1)BA(det

1t

⋅=⋅

−

4) Sejam

=

−=

−−=

23

61De

12

20C,

21

73A . Sabendo que 1ADACBA −⋅⋅=+⋅ ,

determine det(B). Resp: 172)Bdet( −=

5) Classificar e resolver os sistemas lineares;

a)

=+−

=++

−=+−

1z5yx7

4z2y2x

7zy3x2

Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −===

b)

=−+

=−+−

=++

7z4y19x

1z2y5x

2zy2x2

Resp (b): SPI e

ℜ∈∀−

=−

−= z,

3

4y12ze

3

5y9x

c)

=++−

=+−

−=++

5z4y14x

0z4y2x3

2z4y6x

Resp (c): SI, não tem solução