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Analise

Matemática I

Aula 9

Limite de Funções

Ano académico 2017

Tema 1. Cálculo Diferencial

Noção intuitiva e definição de limite.

Exemplos de limites.

Limites laterais.

Propriedades.

Bibliografia Básica

Autor Título Editorial Data

Stewart, James Cálculo, Volume 1

5ta. Edição,

Pioneira

Thompson

Learning

2006

Zuma Medeiros ,

Valéria

Pré-Cálculo

2ª edição revista actualizada

CENGAGE

Learning 2012

Demana,

Franklin... (et al.) Pré-Cálculo

Pearson

Education do

Brasil

2011

Larson, Ron Cálculo Aplicado

1 Edição,

Pioneira

Thomson

Learning

2011

Em nossa vida dependemos da palavra

LIMITE

Longe, ao norte, numa terra chamada INFINITO, existe uma rocha. Possui 100 Km de altura, 100 Km de largura e 100 Km de comprimento. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim, quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia na eternidade terá se passado. (Hendrick Van Loon)

Noção intuitiva de limite.

Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o

seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la

nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática,

portanto, tenha significado.

Ainda, em muitos casos, é importante saber como a função se

comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não

pertence ao seu domínio.

E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a

análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um

ponto, sem se preocupar com o valor da função neste ponto.

Noção intuitiva de limite.

Em Matemática o conceito de limite é usado para

descrever o comportamento de uma função a

medida que seu argumento aproxima-se de um

determinado valor, assim como o comportamento

de uma sequência de números reais, à medida

que o índice (da sequência) vai crescendo.

Noção intuitiva de limite

Sucessões

numéricas

Dizemos

que:

1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos tornam-se cada vez

maiores, sem atingir um limite

x +

Os números aproximam-se

cada vez mais de 1, sem

nunca atingir esse valor

x 1

1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos tornam-se cada vez

menor, sem atingir um limite

x -

Os termos oscilam sem tender

a um limite

,.....6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

,...7,7

6,5,

4

5,3,

2

3,1

“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é

4”.

Noção intuitiva de limite

Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em

torno de x0, excepto, possivelmente em x0.

Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os

valores de x suficientemente próximos de x0, então

dizemos que a função f tem limite L quando x tende para

x0 e escrevemos:

Definição informal de limite

0x xlim f(x) L

x0

x

O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R,

indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer

(épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R,

> 0, tal que:

I x – a I < I ƒ(x) - L I < .

Definição Formal de Limite

Limites

Seja y = f(x) = 2x + 1

Aproximação à direita Aproximação à esquerda

x y

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:

3)12(lim)(lim

11

xxf

xx

Neste caso o limite é igual ao valor da função.

f(x) = f(1) = 3 1

limx

Limites

No caso da função f(x) =

é diferente pois f(x) não é definida para x = 1.

Porém o limite existe e é igual 3.

Ver gráfico a seguir:

1

22

x

xx

Limites

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

y

x

Limites

• Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-

se calculando o limite lateral esquerdo. x a -

• Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se

calculando o limite lateral direito. x a +

• Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:

[f(x)] = [f(x)] ax

limax

lim

Limites Laterais

x f(x) = x + 3

2 5

1,5 4,5

1,25 4,25

1,1 4,1

1,01 4,01

1,001 4,001

1,0001 4,0001

4)(lim1

xfx

4)(lim1

xfx

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver

próximo de 1, mas não for igual a 1.

x f(x) = x + 3

0 3

0,25 3,25

0,75 3,75

0,9 3,9

0,99 3,99

0,999 3,999

Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.

4

1 x

y Pela esquerda

Pela direita

Limites Laterais

)(lim1

xfx

Determinar, graficamente,

Dada a função f: IR IR, definida por

1,3

1,1)(

xparax

xparaxxf

4)(lim1

xfx

2)(lim1

xfx

1

Não existe limite de f(x), quando x tende para 1

2

4

Limites Laterais

Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.

Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.

Propriedades dos limites

x c

x c

n n

x c

n n

x c

I) lim b b

II) lim x c

III) lim x c

IV) lim x c

Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g

funções para as quais e Lxfcx

)(lim .)(lim Mxgcx

Operação com limites

x c

x c

x c

I) lim[b.f(x)] bL

II) lim[f(x) g(x)] L M

III) lim[f(x).g(x)] L.M

Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.

x c x c

n n

x c

nn

x c

f(x) LIV) lim ; lim g(x) 0

g(x) M

V) lim f(x) L

VI) lim f(x) L

Propriedades

• P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende

a “a”, é igual a “a”.

3,0lim3,0

xx

3lim3

xx

axax

lim

Exemplos:

3

55lim

3

x

x

x

xlim

exex

lim


• P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x

tende a “a”, é igual a própria constante:

KKax

lim


44lim3

x

Exemplos:

33 55lim x

2

limx

eex

2lim

• P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites

(caso esses limites existam):

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

1552.325limlim3lim

5lim3limlim)53(lim

2

22

2

2

22

2

2

2

2

xxx

xxxx

xx

xxxx

Exemplo:


• P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites


)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

622.2limlim2

lim2lim)2(lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxxx

xx

xxx

Exemplo:


• P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites


)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax

93.3lim.lim.lim)(lim333

2

3

xxxxx

xxxx


Exemplo:

• P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites


)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

10

1

727

53

)7(lim

)5(lim

7

5lim

3

3

3

33

x

x

x

x

x

x

x


Exemplo:

• P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um

número inteiro positivo, é igual a potência do limite da

função (caso exista):

n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

813))2(lim()2(lim 443

1

43

1

xxxx

xx


Exemplo:

• P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do

limite da função, se o limite existe e é maior ou igual

a zero:

nax

n

axxfxf )(lim)(lim

n xf )(

51)2(4)2()14(lim14lim 44

2

4

2

xxxx

xx


Exemplo:

Limites

Resumindo:

Propriedades dos Limites

• Se L, M, a e c são números reais e n inteiro

e Lxfax

)(lim ,)(lim Mxgax

• Regra da soma(subtração):

• Regra do Produto:

• Regra da multiplicação por escalar:

• Regra do quociente:

MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

MLxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)().(lim

Lcxfcxfcaxax

.)(lim.)(.lim

M

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

)(lim

)(lim

)(

)(lim

Limites

• Regra da potência:

• Regra da raíz

se é impar.

nn

ax

n

axLxfxf

))(lim()(lim

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

nLxfax

,0)(lim

Limites

• Regra do logaritmo:

• Regra do seno (o mesmo para o cosseno)

• Regra da exponencial:

0)(limlog

))(lim(log))((loglim

xfseL

xfxf

axc

axcc

ax

senLxfsenxsenfaxax

))(lim()(lim

Lxf

xf

axccc ax

)(lim)(lim

Limites

Limites

Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então

)()(lim cPxPcx

Limite de uma função polinomial

Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser

obtidos por Substituição:

Se 0

1

1 ...)( axaxaxP n

n

n

n

então 01

1 ...)()( lim acacacPxP nn

nn

cx

Limites

Exemplo 1– Limite de Uma Função Polinomial

322246496

224164)32(3

2)2()2()2(4)2(3

243 lim

245

245

2 x

xxxx

Limites

Limites de Funções Racionais

Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser

obtidos por Substituição, caso o limite do

denominador não seja zero:

Se e são polinômios e ,

então

)(xP )(xQ 0)( cQ

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xP

cx

Limites

Exemplo 2– Limite de Uma Função Racional

06

0

5)1(

3)1(4)1(

5

34lim

2

23

2

23

1

x

xx

x

Limites

Exemplo 3 – Cancelando um Factor Comum

0

0

22

2

1lim

xx

xx

x

Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um

denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também

é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em

comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma

fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1:

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2

Se x 1

Limites

Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores

quando x 1 por substituição:

)1(

)1)(2(2limlim

12

2

1

xx

xx

xx

xx

xx

31

212lim

1

x

x

x

Limites. Exercícios

Calcular:

a) lim (2x + 3) =

x 5

b) lim (4 + x3) =

x 2

c) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] =

x 4

d) lim [(x + 3) (x - 3)] =

x 4

3

6

R: -3

R: 0

R:

4

31

1

1x

xLim

x

h)

3

1

1

1x

xLim

x

i) R: 2/3

3

21

3 2

1x

x xLim

x

f)

0

3 3

x

xLim

x

g)

R: 4/3

e)

1

452

1

x

xxLimx

Limites. Exercícios

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