AREAS E PERÍMETROS

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    07-Jul-2015
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REA DO RETNGULODado um retngulo de comprimento b e altura h. h b A rea do retngulo calculada pela frmula:

Aretngulo= b x h REA DO QUADRADODado um quadrado de lado l l l l A rea do quadrado calculada pela frmula: l

Aquadrado= l x l = l 2Como nem tudo a nossa volta so retngulos e quadrados, tivemos a necessidade de calcular a rea de outras figuras. Como veremos a seguir. E o que mais interessante, que a rea de todas as outras figuras partem da rea do retngulo. Duvida ? Ento veja s......1

REA DO TRINGULODado o tringulo de base b e altura h

h b Pegaremos um retngulo com o comprimento b e altura h b h b Encaixando o tringulo dentro do retngulo vemos que no retngulo cabem dois tringulos. Como ns j sabemos calcular a rea do retngulo: Aretngulo= b x h. Ento, fica fcil calcular a rea do tringulo, porque a rea do tringulo a metade da rea do retngulo. h

Atringulo =

( b h)2

REA DO PARALELOGRAMOObserve o paralelogramo de altura h e base b.

h b

2

Recortando a parte colorida do paralelogramo e colocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-se num retngulo. Logo, conclumos que a rea do paralelogramo a mesma rea do retngulo.

h b

Aparalelogramo = b x h REA DO LOSANGOVeja o losango:

Vamos encaix-lo num retngulo?

h

b Pegaremos um retngulo de base b e altura h.

D

A diagonal maior tem medida igual ao comprimento do retngulo: D = b b

h

d

A diagonal menor tem medida igual altura do retngulo:

d=h3

Se recortarmos o losango, sobram as partes que esto coloridas.

Juntando as partes coloridas, forma-se outro losango. Concluso: O retngulo contm dois losangos. A rea do losango a metade da rea do retngulo.

Aretngulo= b x h como D = bd = h, logo:

Alosango =

(D d)2

Obs.: Todas essas reas podem ser trabalhadas com atividades em cartolina para que o aluno possa visualizar melhor.

At aqui abrangemos a geometria plana para 5 srie, a partir desse ponto comearemos a geometria voltada 8 srie.

REA DE UM POLGONO QUALQUERPara calcular a rea de um polgono qualquer, bastar dividi-lo em figuras planas, cuja rea conhecemos. A rea do polgono ser a soma das reas das figuras em que foi decomposto. Por exemplo, o trapzio: b

4

3 b1 Figura 1 (tringulo) b B

h b2

A1 =Figura 2 (tringulo)

( b1 h )2

A2 =Figura 3 (retngulo)

( b2 h )2

Aretngulo 3= b x hA1 + A2 + A3 =

( b1 h )2

+

( b2 h )2

+ b x h (tirando o mmc)

=

( b1 h ) + ( b2 h ) + 2( b h)

2 ( b + b2 + 2b) h = 1 2 ( b + b2 + b ) + bh = 1 2B +b .h 2

Atrapzio=

REA DE UM TRINGULO QUALQUERVeja o paralelogramo: A B

5

C Traando a diagonal AD temos 2 tringulos Como Aparalelogramo = b x h Logo Atringulo =

D

( b h)2

PERMETRO

Chamamos de permetro de um polgono soma dos comprimentos de seus lados. Geralmente, representa-se o permetro por 2p. a) Quando o polgono tem todos os lados iguais, o permetro igual ao produto do nmero de lados pelo comprimento de um de seus lados. b) Circunferncia de um crculo: O comprimento da circunferncia de um crculo calculado mediante o emprego da frmula: C = 2 r

REA DO TRINGULO EQILTEROSeja o tringulo eqiltero equiltero abaixo de lado medindo l.

A l h B l H C l

Traamos a altura AH relativa ao lado BC, onde AH = h.6

Como ns j sabemos calcular a rea do tringulo: Atringulo = conhecer h, pois j sabemos quem a base: b = l.

( b h)2

, o que nos falta

Se observarmos, veremos que o tringulo AHC um tringulo retngulo que j conhecemos a hipotenusa e um dos catetos, logo:l l 2 = h2 + 2 l2 h2 = l 2 + 4 2 3l h2 = 4 3l h= 22

voltamos rea do tringulo: Atringulo =

( b h)2

Substituindo temos que a rea do tringulo eqiltero ser: Aeqiltero=l 2 3l 2

Aequiltero=

3l 2 4

REA DO TRINGULO APARTIR DOS LADOS USANDO SEMIPERMETROObservemos o tringulo ABC a seguir:

Para calcularmos sua rea, teramos que determinar uma das trs alturas, AH1,7

BH2 ou CH3, e ento calcular a rea, o que seria muito trabalhoso. Hero, um matemtico grego, desenvolveu uma frmula que permite calcular a rea de qualquer tringulo conhecendo-se apenas as medidas dos seus lados. Veja:A= p ( p a )( p b )( p c )

em que a, b e c so as medidas dos lados e p o

semipermetro

a +b+c . 2

REA DO TRINGULO INSCRITO E DO TRINGULO CIRCUNSCRITO A UMA CIRCUNFERNCIAObserve o tringulo ABC inscrito na circunferncia de raio r.

Agora tentaremos determinar a rea desse tringulo em funo do raio: Em primeiro lugar vamos escrever a rea do tringulo ABC em funo de a e ha, logo:a.ha 2 Agora devemos escrever ha em funo de r. Para isso, vamos traar o tringulo auxiliar ACE com m (AE) = 2r

Atringulo =

8

ACE pois Podemos observar que AHB ~ H C - pois so ngulos retos

m( A C ) B E - pois m ( B ) = m ( E ) = 2

Assim, podemos escrever:ha c b.c = ha = b 2r 2r

Substituindo ha por

a.ha b.c em A = teremos: 2r 2a. b.c 2r 2

A=

A=

a.b.c 4r

Observemos agora o ABC circunscrito na circunferncia de raio r e centro O, ponto de encontro das bissetrizes do tringulo:

9

Para determinar a rea A desse tringulo em funo do raio r observemos que as bissetrizes do ABC o dividem em trs tringulos:

ABO, de base c e altura r; BCO, de base a e altura r; CAO, de base b e altura r.Logo, a rea do ABC a soma das reas dos tringulos no quais foi decomposto:A= c.r a.r b.r + + 2 2 2

A=r

( a + b + c)2

Como

a +b +c o semipermetro do tringulo: 2

A=p.r REA DOS POLGONOS REGULARESConsideremos o polgono ABCDEF..., de n lados, com o lado medindo l e o aptema medindo a.

l l

l

O polgono foi decomposto em n tringulos congruentes cuja rea =

Atringulo

l .a 2

,

Logo a rea ser A = n .

l .a n.l . Como igual ao semipermetro: 2 2

10

A=a.pAt aqui abrangemos a geometria plana para 8 srie, a partir desse ponto comearemos a geometria voltada o ensino mdio.

REA DO CRCULOA regra egpcia para achar a rea do crculo tem sido considerada um dos maiores sucessos da poca. O escriba Ahmes assume que a rea de um campo circular de dimetro de nove unidades a mesma de um quadrado com lado de oito unidades. Comparando com a frmula moderna A = r 2 vemos que a regra egpcia equivale aproximadamente a atribuir a

2

o valor 3

1 uma aproximao bastante elogivel. 6

Depois disso, o escriba formou um octgono a partir de um quadrado de lado nove unidade dividindo os lados em trs. A rea do octgono sessenta e trs unidades tendo assim o valor de

8 como 4 , mais prximo do valor atual. 9

Considere os polgonos regulares inscritos em crculos de mesmo raio:

A rea de qualquer um deles dada pelo produto do semipermetro pelo aptema:

A = pn . an

11

Quanto maior o nmero de lados, maior a aproximao da rea do polgono com a rea do crculo. Logo, podemos imaginar que o nmero de lados do polgono cresa indefinidamente. Uma forma de indicar isso dizer que n um nmero to grande quanto se queira imaginar ou que n tende a infinito. Assim: o polgono confunde-se com o crculo, e as reas tornam-se iguais; o aptema do polgono vai se aproximando at tornar igual ao raio do crculo: an = r; o semipermetro do polgono torna-se igual ao semipermetro2. r . .r 2

da circunferncia do crculo: pn = Assim, como a rea do polgono inscrito A = pn.an, ento a rea do crculo ser:A= 2..r .r 2

A = r 2J sabemos das Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo que:

c2 = a.n b2 = a.m sabemos tambm que n + m = a , logo: c2 + b2 = a.n + a.m c2 + b2 = a (n + m) c2 + b2 = a.a c2 + b2 = a2 Portanto se ABC um tringulo retngulo, ento o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos catetos.12

a2 = c2 + b2A rea do quadrado regular construdo sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo igual soma das reas dos quadrados regulares construdos sobre os catetos. a c a

c

c

a a

c b

b b

b

Frmula de Hero

Seja ABC um tringulo qualquer e AH a altura relativa ao vrtice A.

Pelo teorema de Pitgoras, nos tringulos AHB e AHC, temos: c2 = h2 + m213

b2 = h2 + (a m) 2, logo, b2 = h2 + a2 2am + m2 Subtraindo membro a membro a primeira igualdade da segunda igualdade, vem: b2 - c2 = a2 2am e isolando m nesta ltima igualdade, teremos: m = a2 - b2 + c2 2a Agora, vamos substituir na primeira igualdade o valor de m encontrado. a2 b2 + c2 c =h + 2a 2 2

2

2

c =h2

2

(a +

2

b2 + c2 4a 2

)

4a 2 c 2 = 4 a 2 h 2 + a 2 b 2 + c 2 4a 2 h 2 = 4 a 2 c 2 a 2 b 2 + c 2

(

) )

2

(

2

Fatorando a diferena de quadrados do segundo membro da ltima igualdade, temos:4a 2 h 2 = 2ac + a 2 b 2 + c 2 2ac a 2 + b 2 c 2 4a 2 h 2 = a 2 + 2ac + c 2 b 2 b 2 a 2 + 2ac c 2 4a 2 h 2 = ( a + c ) b 2 . b 2 ( a c )

( (

)( )(

) )

[

][

2

]

Agora, vamos fatorar as diferenas de quadrados que esto entre os colchetes.4a 2 h 2 = ( a + c + b )( a + c b )( b + a c )( b a + c )

ou ainda,4a 2 h 2 = ( a + b + c )( b + c a )( a + c b )( a + b c )

Fazendo a + b + c = 2p, veja como podemos representar os demais fatores do 2 membro da ltima iqualdade.

14

b + c a = a + b + c 2a = 2 p 2a = 2( p a ) a + c b = a + b + c 2b = 2 p 2b = 2( p b )

a + b c = a + b + c 2c = 2 p 2c = 2( p c )

Ento, podemos escrever a igualdade da seguinte maneira:4a 2 h 2 = 2 p.2( p a ).2( p b ).2( p c ) 4a 2 h 2 =16 p ( p a )( p b )( p c ) a 2 h 2 = 4 p ( p a )( p b )( p c )

Logo,ah = 2 p ( p a )( p b )( p c )

ou ainda,ah = 2 p ( p a )( p b )( p c )

Como

ah a rea do tringulo ABC, conclumos que: 2Atringulo = p ( p a )( p b )( p c )

15