Aula 13 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Simon Haykin

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Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto

(DTFT)

Desenvolvemos a DTFT a partir da DTFS, onde um sinal não periódico é descrito como o limite de um sinal periódico de período fundamental N aproximando-se do infinito.

Mn

MnMnxnx

,0

,~ Seja

Onde é um sinal periódico de período N=2M+1. nx~

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(DTFT) A medida que M se eleva, as réplicas periódicas de x[n] presentes em se distanciam da origem. Quando M->∞, as réplicas movem-se para infinito.

nx~

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(DTFT)

Então, podemos escrever

M

nxnx ~lim

Como é um sinal periódico, então podemos representá-lo pela usando o par de DTFS, isto é

nx~

M

Mk

njkekXnx 0][~

M

Mn

njkenxM

kX 0~12

1][

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(DTFT)

Como , então MnMnxnx ,~

n

njkM

Mn

njk enxM

enxM

kX 00

12

1

12

1][

Definimos agora uma função contínua de frequência

cujas amostras em são iguais aos coeficientes da DTFS normalizados por 2M+1, ou seja

n

njj enxeX ][

0k

12

][][

0

M

eXkX

jk

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(DTFT)

Substituindo a definição de X[k] na DTFS

1220 M

M

Mk

njkekXnx 0][~

temos

M

Mk

njkjk eeXM

nx 00 ][12

1~

Como , então

000 ][

2

1~

M

Mk

njkjk eeXnx


(DTFT) A medida que M se eleva, Ωo diminui (de a para c), provando um decréscimo no espaçamento harmônico.


(DTFT) Desde que , onde

Mnxnx ~lim

000 ][

2

1~

M

Mk

njkjk eeXnx

então

000 ][

2

1lim

M

Mk

njkjk

MeeXnx

Observe que estamos somando valores de uma função avaliados em kΩo, multiplicados pela largura entre amostras, Ωo. Esta consiste em uma aproximação pela regra retangular para integração.

njkjk eeX 00 ][


(DTFT)Deste modo,

é uma aproximação para

000 ][

2

1lim

M

Mk

njkjk

MeeXnx

deeXnx njj

][

2

1

onde foi considerado que Ω=kΩo, de modo que dΩ=Ωo, e que

0lim M

M


(DTFT)A DTFT inversa

nos diz que x[n] é uma superposição ponderada de senóides discretas, onde a superposição é proporcionada pela integral e a ponderação é dada por

deeXnx njj

][

2

1

deX j ][2

1

onde é a DTFT.

n

njj enxeX ][


(DTFT)

Dizemos que e x[n] são um par de DTFT. ][ jeX

Ao obter a DTFT, é considerado que x[n] tem duração finita.Podemos também aplicar esses resultados a sinais x[n] com duração infinita, mas para isso temos que considerar as condições sob as quais a DTFT converge.


(DTFT)

Condição 1: Se x[n] é absolutamente somável, isto é

então a DTFT convergirá uniformemente para uma função contínua de Ω.

n

nx ][

Condição 2: Se x[n] não for absolutamente somável, mas tiver energia finita, isto é

n

nx2

][

então pode-se mostrar que a DTFT converge, mas não ponto a ponto.


(DTFT)

Muitos sinais físicos encontrados na prática da engenharia satisfazem as condições citadas. Entretanto, existem sinais não periódicos de uso comum, por exemplo o degrau unitário, que não satisfaz àquelas condições. Veremos como tratar esses casos no capítulo seguinte.


(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de

Solução: A DTFT de x[n] é dada por

nunx n

0

][n

njn

n

njnj eenueX

O último somatório diverge para |α|≥1. Para |α|<1 temos a série geométrica convergente

1,1

1][

0

j

n

njj

eeeX

Se α é real, então o módulo e a fase são como segue.


(DTFT)

cos21

1

sencos1

1][

2222 jeX


(DTFT)

cos1

sentan][ 1

jeX


(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de um pulso retangular definido como

Solução: A DTFT de x[n] é dada por

M

Mn

nj

n

njj eenxeX ][

Mn

Mnnx

,0

,1][

Fazendo m=n+M, temos


(DTFT)

A penúltima expressão pode ser simplificada fazendo-se a simetria das potências da exponencial do numerador e denominador, conforme a seguir.

4,2,0,12

4,2,0,1

1

][

12

2

0

2

0

Me

ee

ee

eeX

j

MjMj

M

m

mjMj

M

m

Mmjj


(DTFT)

Aplicando L’Hopital, temos que

2sen

122

sen

][222

212212212

M

eee

eeeeeX

jjj

MjMjMjMjj

12][ MeX j

Consequentemente, temos que

,

2sen

122

sen][

MeX j


(DTFT)


(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de

Solução: A DTFT inversa é dada por

W

WeX j

,0

,1][

0,sen1

2

1

2

1

][2

1

nWnnW

We

njde

deeXnx

njW

W

nj

njj


(DTFT)

Usando L’Hopital, mostra-se que W

x 0

Logo, podemos escrever Wnn

nx sen1

com o entendimento que o valor em n=0 é obtido como o limite.

Também podemos escrever

WnW

nx sinc


(DTFT)

WnW

nx sinc


(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT de

Solução: A DTFT é dada por

Consequentemente

1][

n

njj eneX

Consequentemente

1][

n

njj eneX

n


(DTFT)

Exemplo: Encontre a DTFT inversa de

Solução: A DTFT inversa é dada por

,

2

1][

2

1

denx nj


(DTFT)

Observe, no exemplo anterior, que podemos definirPara todos os Ω, escrevendo-o como uma soma infinita de funções delta deslocadas por múltiplos inteiros de 2π, ou seja,

jeX

k

j keX 2

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