Aula 21

Sinais e Sistemas – Capítulo 7

Simon Haykin

Aula 21

Transformada Z Inversa

Formas de se obter a transformada Z inversa:1.Aplicação direta da equação

2.Método das frações parciais3.Método de inspeção de uma série de potência

em z ou z-1

dzzzXj

nx n 1

2

1

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Frações Parciais (aplica-se a sinais unilaterais e bilaterais)

Exemplo 1: Encontre a transformada Z inversa de

111

21

12121

1

1

zzz

zzzX

com região de convergência , usando o método de frações parciais.

21 z

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Frações Parciais

Solução: Fazendo a expansão em frações parciais, temos

13

12

11

121211

z

A

z

A

z

AzX

Para obtermos A1, A2 e A3, fazemos

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Frações Parciais

111

21

111

113

112

111

13

12

11

121211

1

121211

212111211121

121211

zzz

zz

zzz

zzAzzAzzA

z

A

z

A

z

AzX

21113

112

111 1212111211121 zzzzAzzAzzA

Aula 21

Transformada Z Inversa

• Fazendo z=1/2, temos

• Fazendo z=2, temos

• Fazendo z=1, temos

1421212.21 11 AA

Expansão em Frações Parciais

21113

112

111 1212111211121 zzzzAzzAzzA

24121121121.211 22 AA

211121211 33 AA

Daí, 111 1

2

21

2

211

1

zzz

zX

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Frações Parciais

Sabemos que

111 1

2

21

2

211

1

zzz

zX

11

1

az

zYnuanyZ

n

se a região de convergência tem raio mínimo maior do que o módulo do pólo, a, e que

11

11

az

zYnuanyZ

n

se a região de convergência tem raio máximo menor do que o módulo do pólo, a.

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Frações Parciais

nunununx nnn 1.22.221

Daí,

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais)

Exemplo 2: Encontre a transformada Z inversa de

1

1

21

1

2

z

zzX

com região de convergência , usando o método de expansão em série de potências.

21z

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução: Se a região de convergência for do tipo |z|>a, então expressamos X(z) como uma série de potências em z-1. Se a região de convergência for do tipo |z|<a, então expressamos X(z) como uma série de potências em z.

1

1

21

1

2

z

zzX

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução: Neste caso, como a região de convergência é igual a |z|>1/2, então expressamos a série em z-1, como segue:

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução:

3

32

2

21

1

3211

11

21

21

2

2

21222

2

112

z

zz

z

zz

z

zzzz

zz

zX

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução:

n

nznxzzzzX 321 2122

Daí, concluímos que

213

12

21

20

0,0

x

x

x

x

nnx

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução: Se a região de convergência é modificada para |z|<1/2, então expressamos a série em z, como segue:

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução:

2

2

321

11

16

168

8

84

4

3216822

12

12

z

zz

z

z

zzzz

zz

zX zX

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução:

Daí, concluímos que

323

162

81

20

0,0

x

x

x

x

nnx

n

nznxzzzzX 32 321682

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Uma vantagem da expansão em série de potências é a capacidade de se encontrar transformas Z inversas para sinais que não são uma razão de polinômios em z, como veremos no exemplo a seguir.

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências (Limitada a sinais unilaterais)

Exemplo 3: Encontre a transformada Z inversa de

2zezX

com região de convergência igual a todos os z, exceto z

Aula 21

Transformada Z Inversa

Expansão em Série de Potências

Solução: Usando a representação em série de potências para ea, isto é

0 !k

ka

k

ae

de modo que

0

2

0

2

!! k

k

k

k

k

z

k

zzX

Assim, temos que

contráriocaso,!2

1ímpare0,0

n

nnnx

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI nxnhny *Sabe-se que

zXzY

zHzXzHzY

Seja agora a equação de diferenças

Aplicando transformada Z, temos

com X(z)≠0

N

k

M

kkk knxbknya

0 0

Aplicando transformada Z, temos

N

k

kk

M

k

kkN

k

M

k

kk

nkk

n

za

zbzHzXzbzzYzaz

0

0

0 0

Aula 21

Exemplo 4: Encontre a descrição com equação de diferença de um sistema que possui a função de transferência

23

252

zz

zzH

Solução: Primeiramente reescrevemos a função de transferência como uma razão de polinômios em z-1, dividindo numerador e denominador por z2.

21

21

231

25

zz

zzzH

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

Aula 21

Comparando com 21

21

231

25

zz

zzzH

concluímos que M=2, N=2

N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

0

0

b0=0, b1=5, b2=2, a0=1, a1=3 e a2=2.

Logo, 22152213 nxnxnynyny

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

Seja a descrição por variáveis de estado

nnn

nnn

Dxcqy

bxAqq

1

Admitamos que seja a transformada Z de q[n], então, aplicando a transformada Z em , obtemos

zQzQzQz N21~ q

nnn bxAqq 1

zzzzzzz bXAIqbXqAq 1~~~

Aplicando a transformada Z em obtemos

nnn Dxcqy

zzz DXqcY ~

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI

Substituindo em

obtemos

zzz bXAIq 1~

Observe que a expressão para H(z) tem a mesma forma que a resposta em frequência definida no capítulo anterior. De fato, podemos sair de uma para a outra fazendo

zzz DXqcY ~

DbAIcH

DXbXAIcY

1

1

zz

zzzz

jez

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Causalidade

A resposta ao impulso de um sistema causal é nula para n<0. Logo, podemos obter a resposta ao impulso de um sistema causal a partir de sua função de transferência, aplicando a transformada Z lateral direita.

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI - Estabilidade

Aula 21

Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade

Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.